Depois de vermos tudo sobre intervalos de números reais (veja as postagens sobre esse assunto aqui), vamos aprender o que é módulo ou valor absoluto de um número real. Na matemática é comum nos depararmos com o módulo de um número real quando estamos lidando com expressões algébricas, funções e inequações. Então, é bom que saibamos em detalhes o que é o módulo de um número real e também as suas propriedades. Vou abordar esse assunto de módulo aqui em duas postagens, nessa primeira trataremos de sua definição e interpretação geométrica e, na postagem seguinte, trataremos de suas propriedades e faremos a demonstração de algumas delas (com certeza, essa é a melhor parte). Sem enrolação, vamos aprender o que é o módulo, também conhecido como valor absoluto, de um número real.
Módulo ou Valor Absoluto de um número real
Definimos o módulo ou valor absoluto de um número real $x$, denotado por $|x|$, como sendo
$$|x| = \left\{ \begin{array}{rcc} x, & \mbox{se} & x \geq 0 \\ -x, & \mbox{se} & x < 0. \end{array} \right.$$
A definição de módulo, escrita dessa forma, parece ser uma coisa confusa, mas, na verdade, é muito simples. Vamos ver alguns exemplos:
Exemplos:
1. Temos que $|5| = 5$. Isso ocorre pelo seguinte motivo: olhando para a definição de módulo, quem é $x$ nesse caso? Nesse caso $x=5$. Observe que na definição de módulo temos dois casos a serem analisados com respeito a $x$, são eles, se $x \geq 0$, então o módulo de $x$ é o próprio $x$ e, se $x<0$, então o módulo de $x$ é igual a $-x$. Nesse exemplo, como $x$ é igual a $5$, que é um número maior que $0$, segue que o módulo de $5$ é o próprio $5$, ou seja, $|5| = 5$.
2. Temos que $|-2| = 2$. Isso ocorre pelo seguinte motivo: olhando para a definição de módulo, quem é $x$ nesse exemplo? Nesse exemplo $x=-2$. Como no exemplo anterior, os dois casos a serem analisados com respeito a $x$ são, se $x \geq 0$, então o módulo de $x$ é o próprio $x$ e, se $x<0$, então o módulo de $x$ é igual a $-x$. Nesse exemplo, como $x$ é igual a $-2$, que é um número menor que $0$, segue que o módulo de $-2$ é igual a $-(-2) = 2$, isto é, $|-2| = 2$.
3. Pela definição de módulo, temos $|0| = 0$. Para justificar isso, basta ver que, na definição de módulo, quando $x \geq 0$, o módulo de $x$ é o próprio $x$ e, sendo $0 \geq 0$, segue que $|0| = 0$.
Por esses exemplos é fácil perceber que o que o módulo faz com um número real é o seguinte:
Se $x$ é positivo ou $0$, então o módulo "não faz nada" com o $x$. Se $x$ é negativo, o módulo o transforma em positivo.
Seguindo com os exemplos, temos:
4. $|11| = 11$
5. $\left| -\displaystyle\frac{3}{5}\right| = \displaystyle\frac{3}{5}$
6. $|\pi| = \pi$
7. $| -\sqrt[3]{7}| = \sqrt[3]{7}$
Viu como é fácil? Não há nenhum segredo aqui.
Agora vamos entender o significado geométrico do módulo de um número real.
Interpretação geométrica do módulo
A interpretação geométrica do módulo de um número real é importante para se resolver inequações envolvendo módulos e também para escrever intervalos e outros subconjuntos da reta real. Vamos primeiramente entender a representação geométrica e, no postagem seguinte, vamos ver como usar o módulo para escrever intervalos e outros subconjuntos da reta real.
Dado um número real $a$ qualquer, podemos ver o módulo de $a$ como sendo a distância entre $a$ e o número $0$. Para visualizar isso, considere $a$ positivo e olhe a seguinte figura:
Enxergando o módulo de um número real dessa forma, toda vez que tivermos que calcular $|a|$ para algum número real $a$, podemos pensar da seguinte forma:
$|a|$ = distância de $a$ até $0$.
Os seguintes exemplos trazem o módulo de um número real visto geometricamente.
1. $|\sqrt{2}| = \sqrt{2}$
2. $|-2,5| = 2,5$
3. $\left| \displaystyle\frac{9}{4}\right| = \displaystyle\frac{9}{4}$
4. $|-\pi| = \pi$
Como disse no início da postagem, o assunto de módulo de um número real não acabou. Na próxima postagem usaremos o que foi discutido aqui para aprofundarmos nosso conhecimento sobre módulos.
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