Na postagem anterior, abordamos os intervalos limitados de números reais. Como está no título dessa postagem, além dos intervalos limitados, existem também os intervalos ilimitados (às vezes chamados de intervalos infinitos). Esses tipos de intervalos são tão importantes quanto os intervalos limitados e, da mesma forma que os limitados, aparecem como soluções de inequações e influenciam fortemente o comportamento de funções definidas no conjunto dos números reais. Vamos, então, conhecer esses intervalos ilimitados.
Intervalos ilimitados de números reais
Na tabela abaixo estão tipos de intervalos, a definição deles como conjuntos e as notações que os representam.
\begin{array}{|c|c|c|} \hline \mbox{Notação} & \mbox{Conjunto} & \mbox{Tipo} \\ \hline (a,+\infty) & \{x \in \mathbb{R}: x > a \} & \mbox{Aberto} \\ \hline [a,+\infty) & \{x \in \mathbb{R}: x \geq a\} & \mbox{Fechado} \\ \hline (-\infty,b) & \{x \in \mathbb{R}: x < b\} & \mbox{Aberto} \\ \hline (-\infty,b] & \{x \in \mathbb{R}: x \leq b\} & \mbox{Fechado} \\ \hline (-\infty,+\infty) & \mathbb{R} & \mbox{Fechado} \\ \hline \end{array}
Os intervalos acima são chamados intervalos ilimitados (infinitos). Os símbolos $-\infty$ e $+\infty$ são chamados menos infinito e mais infinito, respectivamente. Esses símbolos não são números. O símbolo $-\infty$ carrega consigo a ideia de algo ilimitado, ou seja, algo que sempre está aumentado, que sempre será maior do que qualquer número que se puder imaginar, porém com sinal negativo e, o símbolo $+\infty$, de forma semelhante, representa algo que sempre está aumentado, que sempre será maior do que qualquer número que se puder imaginar, com sinal positivo.
Nos intervalos $(a,+\infty)$, $[a,+\infty)$, $(-\infty,b)$, $(-\infty,b]$ definidos acima, cada um deles possui somente uma extremidade, nos dois primeiros temos $a$ como extremidade e nos dois últimos temos $b$ como extremidade. O intervalo $(-\infty,+\infty)$, que é o conjunto dos números reais, não possui extremidade.
Observação:
(i) Na notação de intervalo, os parênteses $($ e $)$ podem ser substituídos, respectivamente, por $]$ e $[$. Assim, podemos reescrever os intervalos $(a,+\infty)$, $[a,+\infty)$, $(-\infty,b)$, $(-\infty,b]$ e $(-\infty,+\infty)$ na forma $]a,+\infty[$, $[a,+\infty[$, $]-\infty,b[$, $]-\infty,b]$ e $]-\infty,+\infty[$, respectivamente (eu prefiro usar os parênteses).
(ii) Em cada intervalo definido acima, não se pode colocar colchetes (voltados para "dentro" intervalo) onde estão os símbolos $-\infty$ e $+\infty$, pois o colchete está associado à uma limitação, trás a ideia de que o intervalo vai "parar", e os símbolos de $-\infty$ e $+\infty$ carregam consigo a ideia de não "parar", de que não há limitação.
Os intervalos ilimitados também possuem as suas representações geométricas.
Como no caso dos intervalos limitados, fazer as representações geométricas dos intervalos ilimitados é bem simples. Nos primeiros quatro casos da figura acima, primeiramente devemos marcar a extremidade do intervalo e, se a extremidade pertencer ao intervalo, ela será representada por uma bolinha fechada, caso contrário, será representada por uma bolinha aberta. Depois de se fazer isso, verificar se os elementos do intervalo são maiores ou menores que a extremidade. No caso de serem maiores, devemos pintar tudo o que está à direta da extremidade e, no caso se serem menores, devemos pintar tudo o que está à esquerda da extremidade. Para fazer a representação do último intervalo da figura acima, basta desenhar um pedaço da reta e pintar.
Veremos agora alguns exemplos.
Exemplos
1. Alguns intervalos escritos na forma de conjunto.
$$(2, +\infty) = \{x \in \mathbb{R}: x > 2\};$$
$$\left[-\frac{1}{2},+\infty \right) = \left\{x \in \mathbb{R}: x \geq -\frac{1}{2} \right\};$$
$$(-\infty,6) = \{x \in \mathbb{R}: x < 6\};$$
$$(-\infty,-4] = \{x \in \mathbb{R}: x \leq -4\}.$$
2. Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
(a) $1 \in (0,+\infty)$
(b) $-3 \in [-3,+\infty)$
(c) $-2 \in (-\infty,-2)$
(d) $5 \notin (-\infty,5]$
(e) $1,25 \notin (1,+\infty)$
Solução:
(a) Verdadeiro. Esse intervalo é formado por todos os números que são maiores que $0$ e, como $1$ é maior que $0$, segue que $1 \in (0,+\infty)$.
(b) Verdadeiro. O intervalo $[-3,+\infty)$ é formado por todos os números reais maiores ou iguais a $-3$, logo $-3 \in [-3,+\infty)$.
(c) Falso. O intervalo $(-\infty,-2)$ é formado pelos números reais menores que $-2$, Portanto $-2 \notin (-\infty,-2)$.
(d) Falso. A extremidade $5$ pertence ao intervalo $(-\infty,5]$, logo $5 \in (-\infty,5]$.
(e) Falso. O número $1,25$ é maior que $1$ e, assim, $1,25 \in (1,+\infty)$.
3. Representações geométricas de intervalos:
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