Chegamos à segunda postagem sobre expressões numéricas. Na postagem anterior aprendemos como se calcula uma expressão numérica sem parênteses, colchetes e chaves. Vimos a ordem na qual as operações devem ser feitas de modo a calcular a expressão corretamente. Mas, por que algumas expressões numéricas contém parênteses, colchetes ou chaves? Esses símbolos são usados quando é necessário dar prioridade à algumas operações, eles indicam o que deve ser feito por primeiro, por segundo, etc., em uma expressão numérica. Por exemplo, vimos na postagem anterior que, na expressão numérica $3 \times 2 +5$, a multiplicação deve ser feita antes da adição, porém, se quisermos fazer a adição primeiro, devemos usar os parênteses para indicar isso da seguinte forma $3 \times (2+5)$. Esse é um exemplo bem simples. Veremos mais detalhes a seguir.
Expressões com parênteses, colchetes ou chaves
Esses são alguns exemplos de expressões que contêm parênteses, colchetes ou chaves.
1. $2+3 \times (5-1)$
2. $5+2 \times [3^2-10 \div (1+4)]$
3. $\sqrt{3}- 10 \times \{5 + \sqrt{2} \times [(3+5)^3 - 3 \times(3-9)]\}$
4. $2 - 5 \times(\sqrt[3]{31} - (3 + 2) \times (1 + 5^2\div(11-1)))$
Por onde começar a resolver expressões como as do exemplo acima? Já vi muitas regras sobre como resolver expressões numéricas como as do exemplo acima, mas eu digo que há somente uma, que é a seguinte:
A expressão deve ser resolvida de dentro para fora, independentemente de quais símbolos são usados, parênteses, colchetes, ou chaves.
Agora vem outra pergunta: o que significa resolver uma expressão de dentro para fora? Quando uma expressão numérica contêm parênteses, colchetes ou chaves, eventualmente, podemos ter parênteses dentro de parênteses, parênteses dentro de chaves, chaves dentro de chaves, colchetes dentro de chaves, etc. (como nos exemplos acima). Resolver de dentro para fora significa começar a resolver o que está mais a dentro da expressão, independentemente de qual símbolo seja. Outro fato importante, é um mito que o que está entre parênteses deve ser feito primeiro, o que está entre colchetes por segundo e o que está entre chaves deve ser feito por último. É muito comum, em livros do ensino superior, expressões que são escritas somente com parênteses, uns dentro dos outros. Por isso reafirmo, o modo correto de se resolver uma expressão numérica é resolvendo de dentro para fora, independentemente de quais símbolos (parênteses, colchetes ou chaves) estejam na expressão.
Para que esse modo de resolver fique claro, vamos ver alguns exemplos.
Exemplos
1. Resolva a seguinte expressão $3+4 \times (3+1)$.
Solução: Na expressão do enunciado temos somente uma expressão dentro dos parênteses e, dentro deles, não há outros parênteses, não há outros colchetes e nem chaves. Então, nessa situação, basta resolver o que está entre parênteses primeiro e depois continuar o cálculo usando a ordem das operações que vimos na postagem anterior.
\begin{eqnarray*} 3+4 \times (3+1) &=& 3+4 \times 4 \\ &=& 3+16 = 19 \end{eqnarray*}
Essa expressão poderia estar escrita nessas formas $3+4 \times [3+1]$ ou $3+4 \times \{3+1\}$ que não estaria errado.
2. Resolva a seguinte expressão $3^2 +10 \div (2+3) - 3 \times (-2-4)$.
Solução: Nessa expressão os parênteses aparecem duas vezes. Observe que, mesmo aparecendo duas vezes, eles não estão um dentro do outro. Quando esse tipo de coisa ocorre numa expressão, ou seja, vários parênteses (colchetes ou chaves) sem que estejam um dento do outro, resolvemos os parênteses (colchetes ou chaves) primeiro, ao mesmo tempo, se preferir.
\begin{eqnarray*}3^2 +10 \div (2+3) - 3 \times (-2-4) &=& 3^2 + 10 \div 5 - 3 \times (-6) \\ &=& 3^2 + 2 + 18 \\ &=& 9 + 2 + 18 \\ &=& 11 + 18 = 29 \end{eqnarray*}
Nessa expressão, no lugar dos parênteses, poderia ter colchetes ou chaves.
3. Calcule o valor da expressão $\sqrt{81} \cdot (4-2) - 10 \div (2 + 3)$.
Solução: Nessa expressão ocorre a mesma coisa que ocorre no exemplo anterior. Para resolvê-la usamos o mesmo processo usado anteriormente.
\begin{eqnarray*} \sqrt{81} \cdot (4-2) - 10 \div (2 + 3) &=& \sqrt{81} \cdot 2 - 10 \div 5 \\ &=& 9 \cdot 2 - 10 \div 5 \\ &=& 18-2 = 16 \end{eqnarray*}
Nessa expressão, no lugar dos parênteses, poderia ter colchetes ou chaves.
4. Resolva a expressão $3 \times (5 \div 2) + (3 + 4) \times 14$.
Solução: Essa expressão está no mesmo caso dos exemplos anteriores.
\begin{eqnarray*} 3 \times (5 \div 2) + (3 + 4) \times 14 &=& 3 \times 2,5 + 7 \div 14 \\ &=& 7,5 + 0,5 = 8 \end{eqnarray*}
Vamos passar para exemplos um pouco mais complicados.
5. Calcule o valor da seguinte expressão $3^2 + 2 \times [1 + 28 \div (2 + 12)]$.
Solução: Observe que nessa expressão há colchetes e parênteses onde os parênteses aparecem dentro dos colchetes. Assim, vamos resolver a expressão de dentro para fora, primeiro calculando os parênteses e depois os colchetes.
\begin{eqnarray*} 3^2 + 2 \times [1 + 28 \div (2 + 12)] &=& 3^2 + 2 \times [1+28 \div 14] \\ &=& 3^2 + 2 \times [1+2] \\ &=& 3^2 + 2 \times 3 \\ &=& 9 + 6 = 15 \end{eqnarray*}
Essa expressão poderia estar escrita na forma $3^2 + 2 \times (1 + 28 \div (2 + 12))$. Não estaria errado e a forma de resolver seria a mesma, de dentro para fora.
6. Calcule o valor da expressão $(1-2) \times 3 + 4 \div [1 + 2^2 + 3 \times (4-5)]$.
Solução: Note que nessa expressão temos parênteses e colchetes. Temos duas expressões entre parênteses e uma delas está entre colchetes. Lembre-se, comece a resolver de dentro para fora, calcule primeiro a expressão nos parênteses que estão dentro dos colchetes, aí depois você pode resolver o que vai ficar entre colchetes e o que está entre parênteses do lado de fora dos colchetes.
.\begin{eqnarray*} (1-2) \times 3 + 4 \div [1 + 2^2 + 3 \times (4-5)] &=& (1-2) \times 3 + 4 \div [1 + 2^2 + 3 \times (-1)] \\ &=& (1-2) \times 3 + 4 \div [1+2^2 -3] \\ &=& (1-2) \times 3 + 4 \div [1+ 4 - 3] \\ &=& (1-2) \times 3 + 4\div[5 - 3] \\ &=& (-1) \times 3 + 4 \div 2 \\ &=& -3 + 2 = -1 \end{eqnarray*}
7. Resolva a expressão $\displaystyle\frac{2}{3} \div 2 - 2 \cdot[\sqrt{16} + \displaystyle\frac{1}{2} \cdot (5-3)] + 3 \cdot [3^2 + 2 \cdot (2+4)]$.
Solução: Nessa expressão temos duas expressões entre colchetes e dentro dos colchetes temos parênteses. Vamos usar o mesmo raciocínio que temos usado, vamos fazer as contas de dentro para fora, isto é, vamos fazer o que está entre parênteses e depois o que estiver nos colchetes.
\begin{eqnarray*} \displaystyle\frac{2}{3} \div 2 - 2 \cdot [\sqrt{16} + \displaystyle\frac{1}{2} \cdot (5-3)] + 3 \cdot [3^2 + 2 \cdot (2+4)] &=& \displaystyle\frac{2}{3} \div 2 - 2 \cdot [\sqrt{16} + \displaystyle\frac{1}{2} \cdot 2] + 3 \cdot [3^2 + 2 \cdot 6] \\ &=& \displaystyle\frac{2}{3} \div 2 - 2 \cdot [4 + \displaystyle\frac{1}{2} \cdot 2] + 3 \cdot [9 + 12] \\ &=& \displaystyle\frac{2}{3} \div 2 - 2 \cdot [4 + 1] + 3 \cdot[9 + 12] \\ &=& \displaystyle\frac{2}{3} \div 2 - 2 \cdot 5 + 3 \cdot 21 \\ &=& \displaystyle\frac{1}{3} - 10 + 63 \\ &=& - \displaystyle\frac{29}{3} + 63 = \displaystyle\frac{160}{3} \end{eqnarray*}
8. Resolva a expressão $\displaystyle\frac{3}{4} \times \left[4 \div \displaystyle\frac{1}{2} + 2 \times \left[3 + \sqrt[3]{27} \div\left (\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\right)\right]\right]$.
Solução: Vamos identificar quais são os parênteses, colchetes ou chaves que estão mais "à dentro" e começamos a resolver a expressão por eles.
\begin{eqnarray*} \displaystyle\frac{3}{4} \times \left[4 \div \displaystyle\frac{1}{2} + 2 \times\left[3 + \sqrt[3]{27} \div\left (\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\right)\right]\right] &=& \displaystyle\frac{3}{4} \times \left[4 \div \displaystyle\frac{1}{2} + 2 \times[3 + \sqrt[3]{27} \div 1]\right] \\ &=& \displaystyle\frac{3}{4} \times \left[4 \div \displaystyle\frac{1}{2} + 2 \times[3 + \sqrt[3]{27}]\right] \\ &=& \displaystyle\frac{3}{4} \times \left[4 \div \displaystyle\frac{1}{2} + 2 \times[3 + 3]\right] \\ &=& \displaystyle\frac{3}{4} \times\left[4 \div \displaystyle\frac{1}{2} + 2 \times 6\right] \\ &=& \displaystyle\frac{3}{4} \times [8 + 12] \\ &=& \displaystyle\frac{3}{4} \times 20 = 15 \end{eqnarray*}
9. Calcule o valor da expressão $-2 \times (5+3 \times (1+2))-\displaystyle\frac{1}{2} \times ((2 \times ( 5+ \sqrt{4}) - 8)+ 2^4)-1$.
Solução: Começando sempre de dentro para fora.
\begin{eqnarray*} -2 \times (5+3 \times (1+2))-\frac{1}{2} \times ((2 \times ( 5+ \sqrt{4}) - 8)+ 2^4)-1 &=& -2 \times (5+3 \times (1+2))-\frac{1}{2} \times ((2 \times ( 5+ 2) - 8)+ 2^4)-1 \\ &=& -2 \times (5+3 \times (1+2))-\frac{1}{2} \times ((2 \times 7 - 8)+ 2^4)-1 \\ &=& -2 \times (5+ 3 \times (1+2))-\frac{1}{2} \times ((14 - 8)+ 2^4)-1 \\ &=& -2 \times (5+3 \times 3)-\frac{1}{2} \times (6+ 2^4)-1 \\ &=& -2 \times (5+9)-\frac{1}{2} \times (6+ 16)-1 \\ &=& -2 \times 14 -\frac{1}{2} \times 22-1\\ &=& -28 -11-1 \\&=& -39 -1 = -40 \end{eqnarray*}
10. Calcule o valor da expressão $2 \cdot\{[(1+4) \times 2 -1] -2^2 + 10 \div[3 \cdot (3+2)]\}$.
Solução:
\begin{eqnarray*}2 \cdot\{[(1+4) \times 2 -1] -2^2 + 10 \div[3 \cdot (3+2)]\} &=& 2 \cdot\{[5 \times 2 -1] -2^2 + 10 \div[3 \cdot 5]\} \\ &=& 2 \cdot\{[5 \times 2 -1] -2^2 + 10 \div[3 \cdot 5]\} \\ &=& 2 \cdot\{[10 -1] -2^2 + 10 \div[3 \cdot 5]\} \\&=& 2 \cdot\{9 -2^2 + 10 \div 15\} \\&=& 2 \cdot\left\{9 -2^2 + \frac{2}{3}\right\} \\ &=& 2 \cdot\left\{9 - 4 + \frac{2}{3}\right\} \\ &=& 2 \cdot\left\{5 + \frac{2}{3}\right\} \\ &=& 2 \cdot \frac{17}{3} = \frac{34}{3} \end{eqnarray*}
O que ainda pode aparecer em expressões numéricas são expressões dentro de potências e dentro de radicais. Vamos ver alguns exemplos onde isso ocorre.
11. Calcule o valor da expressão $2 + 2 \times 5 - (2-1 + 7)^3$.
Solução: Nessa expressão há uma expressão entre parênteses elevada a uma potência. Em expressões desse tipo, basta resolver os parênteses primeiro e depois calcular a potência.
\begin{eqnarray} 2 + 2 \times 5 - (2-1 + 7)^3 &=& 2 + 2 \times 5 - (1+7)^3 \\ &=& 2 + 2 \times 5 - 8^3 \\ &=& 2 + 10 - 512 \\ &=&12 -512 = 500 \end{eqnarray}
12. Calcule o valor da expressão $(2+3\div 9 + 4 \times \sqrt{16})^2$.
Solução: Nesse exemplo temos uma expressão entre parênteses que está elevada a uma potência. O método de resolução aqui é o mesmo, resolver de dentro para fora. Resolvemos primeiro a expressão que está dentro da potência e depois resolvemos a potência.
\begin{eqnarray} (2+3\div 9 + 4 \times \sqrt{16})^2 &=& (2+3\div 9 + 4 \times 4)^2 \\ &=&\left(2+\frac{1}{3} + 16\right)^2 \\ &=& \left(\frac{7}{3} + 16\right)^2 \\ &=& \left(\frac{55}{3} \right)^2 = \frac{3025}{3} \end{eqnarray}
13. Resolva a expressão $1- [2 + 3 \times (1 + 5)^2 - 8 \div 2]^3$
Solução: Basta resolver de dentro para fora.
\begin{eqnarray}1- [2 + 3 \times (1 + 5)^2 - 8 \div 2]^3 &=& 1- [2 + 3 \times 6^2 - 8 \div 2]^3 \\ &=& 1- [2 + 3 \times 36 - 8 \div 2]^3 \\ &=& 1- [2 + 108 - 4]^3 \\ &=& 1- [110 - 4]^3 \\ &=& 1 - [106]^3 \\ &=& 1 - 1191016 = -1191015 \end{eqnarray}
14. Calcule o valor da expressão $(2 + 3 \times 4)^2 - (2 \times [3-2]^2)^5$.
Solução: Basta resolver de dentro para fora.
\begin{eqnarray} (2 + 3 \times 4)^2 - (2 \times [3-2]^2)^5 &=& (2 + 3 \times 4)^2 - (2 \times 1^2)^5 \\ &=& (2 + 3 \times 4)^2 - (2 \times 1)^5 \\ &=& (2 + 12)^2 - 2^5 \\ &=& 14^2 - 2^5 \\ &=& 196 - 32 = 164 \end{eqnarray}
15. Calcule o valor da expressão $3 \times (2 \div \sqrt{2 \times 3 - 2})$.
Solução: Quando uma expressão possui um radical e dentro desse radical há uma outra expressão, como é o caso desse exemplo, o radical funciona como se fosse parênteses (colchete ou chaves) e podemos colocá-lo na ordem de resolução da expressão usando o mesmo princípio que temos usado em todos os exemplos, resolvendo sempre de dentro para fora.
\begin{eqnarray} 3 \times (2 \div \sqrt{2 \times 3 - 2}) &=& 3 \times (2 \div \sqrt{6 - 2}) &=& 3 \times (2 \div \sqrt{4}) \\ &=& 3 \times (2 \div 2) \\ &=& 3 \times 1 = 3 \end{eqnarray}
16. Resolva a expressão $\sqrt{2+ 10 \div 5} - 4 \times \left(2 + 18 \div \left[4 + \sqrt[3]{130 - 5 \times 2^0}\right]\right)$.
Solução: Vamos resolver de dentro para fora.
\begin{eqnarray} \sqrt{2+ 10 \div 5} - 4 \times \left(2 + 18 \div \left[4 + \sqrt[3]{130 - 5 \times 2^0}\right]\right) &=& \sqrt{2+2} - 4 \times \left(2 + 18 \div \left[4 + \sqrt[3]{130 - 5 \times 1}\right]\right) \\ &=& \sqrt{4} - 4 \times \left(2 + 18 \div \left[4 + \sqrt[3]{130 - 5}\right]\right) \\ &=& 2 - 4 \times \left(2 + 18 \div \left[4 + \sqrt[3]{125}\right]\right) \\ &=& 2 - 4 \times \left(2 + 18 \div \left[4 + 5 \right]\right) \\ &=& 2 - 4 \times (2 + 18 \div 9) \\ &=& 2 - 4 \times (2 + 2) \\ &=& 2-4 \times 4 \\ &=& 2-16 = -14 \end{eqnarray}
Podemos ter também expressões dentro de radicais que, por sua vez estão dentro de potências e vice-versa.
17. Calcule o valor da expressão $2 + 24 \div (3+5) + \sqrt{(3+ 2 \times 7)^2 - 33}$.
Solução: Não é exagero sempre lembrar: vamos resolver de dentro para fora:
\begin{eqnarray} 2 + 24 \div (3+5) + \sqrt{(3+ 2 \times 7)^2 - 33} &=& 2 + 24 \div 8 + \sqrt{(3+ 14 )^2 - 33}\\ &=& 2 + 24 \div 8 + \sqrt{(3+ 14 )^2 - 33} \\ &=& 2+3 + \sqrt{17^2 - 33} \\ &=& 5 + \sqrt{289 - 33} \\ &=& 5 + \sqrt{256} \\ &=& 5 + 16 = 21 \end{eqnarray}
18. Calcule o valor da expressão $3 \times \left\{2 - 4 \times\left[\sqrt[3]{5+ 22 \times(5-2^2)^4 } + 1\right]\right\}$.
Solução:
\begin{eqnarray} 3 \times \left\{2 - 4 \times\left[\sqrt[3]{5+ 22 \times(5-2^2)^4}+1\right]\right\} &=& 3 \times \left\{2 - 4 \times\left[\sqrt[3]{5+ 22 \times(5-4)^4}+ 1\right]\right\} \\ &=& 3 \times \left\{2 - 4 \times\left[\sqrt[3]{5+ 22 \times 1^4} + 1\right]\right\} \\ &=& 3 \times \left\{2 - 4 \times\left[\sqrt[3]{5+ 22 \times 1} +1\right]\right\} \\ &=& 3 \times \left\{2 - 4 \times\left[\sqrt[3]{5+ 22} + 1\right]\right\} \\ &=& 3 \times \left\{2 - 4 \times\left[\sqrt[3]{27} + 1\right]\right\} \\ &=& 3 \times \left\{2 - 4 \times\left[3 + 1 \right]\right\} \\ &=& 3 \times \left\{2 - 4 \times 4\right\} \\ &=& 3 \times \left\{2 - 16 \right\} \\ &=& 3 \times \{-14\} = -42 \end{eqnarray}
Agora, depois de ver como se resolve um expressão numérica com parênteses, colchetes ou chaves, sugiro que você faça bastante exercícios de cálculo de expressões para praticar.
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