Na primeira postagem dessa série sobre inequações vimos o que é uma inequação e o que devemos fazer na hora de encontrar sua solução, isto é, na hora resolvê-la. A partir dessa postagem vamos ver como resolver alguns tipos de inequações e, especificamente nessa postagem, vamos aprender a resolver as inequações do primeiro grau, que também são conhecidas como inequações lineares com uma variável. Esse tipo de inequação é o mais fácil de resolver, mas nem por isso elas são menos importantes. Saber como resolver uma inequação do primeiro grau é fundamental para resolver os outros tipo de inequaçções. Por esse motivo, entender bem o conteúdo dessa postagem é um passo muito importante para aprender a resolver as inequações. Então, vamos lá!
Inequação do primeiro grau
Antes de mais nada, vamos ver a definição de inequação do primeiro grau.
Definição: Qualquer inequação que pode ser escrita em uma das formas
$$ax + b < 0, \mbox{ } ax+b \leq 0, \mbox{ } ax+b > 0 \mbox{ ou } ax + b \geq 0$$
com $a,b \in \mathbb{R}$ e $a \neq 0$ é chamada inequação do primeiro grau.
Vejamos alguns exemplos:
Exemplos:
1. $x+ 1 < 0$
2. $\displaystyle\frac{x}{2} - 4 \leq 0$
3. $-\sqrt{2}x + \displaystyle\frac{3}{4} > 0$
4. $4x \geq 0$
Algumas vezes, talvez na maioria delas, as inequações lineares não aparecem no formato em que estão as inequações dos quatro exemplos anteriores e, para deixá-las nesse formato, é necessário fazer algumas simplificações usando as propriedades de ordem com as opearações dos números reais e as próprias operações. Vamos continuar os exemplos vendo alguns desses casos.
5. Escreva a inequação $3x - 4 < 2x +1$ no formato $ax + b < 0$.
Solução: Vamos fazer esse exemplo bem detalhadamente, apresentando em cada passo as propriedades de ordem que estamos usando. Para que a inequação $3x - 4 < 2x +1$ fique no formato desejado, devemos "transformar" ou "fabricar" um $0$ no lado direito do símbolo $<$. Vamos fazer isso usando a seguinte propriedade:
Se $a < b$, então $a + c < b+c$ para todo $c \in \mathbb{R}$.
Essa propriedade nos diz que podemos somar um mesmo número em ambos os lados de um símbolo de desigualdade, que o símbolo não se altera. Lembre-se que essa propriedade também vale se trocarmos o símbolo $<$ por $\leq$, $>$ ou $\geq$. Sendo assim, devemos somar em ambos os lados da inequação $3x - 4 < 2x +1$ os termos $-1$ e $-2x$. Fazendo isso passo a passo, temos:
\begin{eqnarray} 3x - 4 &<& 2x + 1 \\ 3x - 4 + (-1) &<& 2x + 1 + (-1) \\ 3x - 4 - 1 &<& 2x + 1 - 1 \\ 3x - 4 - 1 &<& 2x \\ 3x - 5 &<& 2x \\ 3x - 5 + (-2x) &<& 2x + (-2x) \\ 3x - 5 - 2x &<& 2x - 2x \\ 3x - 5 - 2x &<& 0 \\ x - 5 &<& 0 \end{eqnarray}
Logo, a inequação $3x - 4 < 2x +1$ pode ser reescrita na forma $x - 5 < 0$.
Continuando nesse exemplo, vamos reescrever a simplificação feita cima, omitindo algumas linhas.
\begin{eqnarray} 3x - 4 &<& 2x + 1 \\ 3x - 4 - 1 &<& 2x \\ 3x - 5 &<& 2x \\ 3x - 5 - 2x &<& 0 \\ x - 5 &<& 0 \end{eqnarray}
As linhas omitidas na simplificação acima foram àquelas em que somamos um mesmo termo nos dois lados do símbolo $<$ e as linhas que tinham o resultado dessas somas. Observando a simplificação com essas linha omitidas, ao aplicarmos a propriedade de ordem que citamos anteriormente, parece que passamos o $1$ do lado direito para o lado esquerdo, com o sinal trocado, e também o $2x$ do lado direito para o lado esquerdo, com o sinal trocado. Isso nos mostra que, em qualquer inequação, assim como nas equações, podemos passar um termo que está sendo somado ou subtraído de um lado para o outro trocando o seu sinal. Esse processo nos será muito útil na hora de resolver as inequações. Não se esqueça disso.
6. Escreva a inequação $2(x - 3) +1 \geq 5x - 8$ no formato $ax + b \geq 0$.
Solução: Se uma inequação possui alguma operação a ser feita em um ou nos dois lados do símbolo de desigualdade, essas operações devem ser feitas por primeiro, a fim de simplificar as expressões que estão nos dois lados da inequação, para que esta possa ser reescrita no formato $ax + b \geq 0$. Na inequação do enunciado, no lado esquerdo do símbolo de desigualdade, temos a expressão $2(x-3)+1$. Desse modo, vamos começar a reescrever a inequação $2(x - 3) +1 \geq 5x - 8$, simplificando essa expressão. Temos:
\begin{eqnarray} 2(x-3)+1 &\geq& 5x-8 \\ 2x - 6 + 1 &\geq & 5x - 8 \\ 2x -5 &\geq& 5x-8 \\ 2x - 5 + 8 \geq 5x \\ 2x +3 &\geq& 5x \\ 2x + 3 - 5x &\geq& 0 \\ -3x + 3 & \geq & 0 \end{eqnarray}
Logo, a inequação $2(x - 3) +1 \geq 5x - 8$ pode ser reescrita na forma $-3x+3 \geq 0$.
Nesses dois últimos exemplos podemos perceber que, para identificar uma inequação do primeiro grau mesmo que ela não esteja em um dos formatos da definição, basta olharmos para a incónita presente na inequação, vamos chamá-la de $x$ para facilitar. Se não houver uma potência fracionária, inteira negativa, nula, ou maior ou igual a $2$ em $x$, se $x$ não estiver dentro de uma raiz, não estiver na parte de baixo de um quociente e nem dentro de um módulo, então a inequação é do primeiro grau, pois nesses caso, ela sempre vai poder se reescrita em um dos formatos que estão na definição.
Então, não precisamos fazer como nos exemplos 5 e 6 para identificar uma inequação do primeiro grau. Mas, mesmo assim, esses exemplos são importantes, pois eles nos mostram que, se um termo está somando ou subtraindo, podemos trocá-lo de lado mudando seu sinal e que podemos simplificar as expressões que estão em cada lado do símbolo de desigualdade nas inequações. Agora, vamos ver como resolver as inequações do primeiro grau e como escrever seu conjunto solução.
Como resolver uma inequação do primeiro grau
Quando se trata de equações, para resolvê-las, o principal objetivo é isolar a incógnita. Quando se trata de inequações do primeiro grau, o principal objetivo é o mesmo, isolar a incógnita, isto é, deixar a incógnita sozinha em um dos lados do símbolo de desigualdade. Vamos ver como fazer isso por meio de exemplos, começando pelos mais fáceis e depois passando para os mais complicados.
Exemplos:
7. Resolva a inequação $5x+10 < 0$.
Solução: Vamos isolar o $x$ na inequação do enunciado, deixando o $x$ sozinho do lado esquerdo do símbolo de desigualdade. Já vimos anteriormente que podemos passar um termo que está somando ou subtraindo para o outro lado do símbolo de desigualdade trocando o seu sinal. Desse modo, temos:
\begin{eqnarray} 5x + 10 &<& 0 \\ 5x &<& -10 \end{eqnarray}
Agora, do lado esquerdo, temos $5x$. Para "transformá-lo" em $x$, vamos usar a seguinte propriedade:
Se $a < b$ e $c > 0$, então $ac < bc$.
Essa propriedade nos diz que podemos multiplicar os dois lados de uma inequação por um número positivo que o símbolo de desigualdade não muda. Lembre-se que essa propriedade também vale se trocarmos o símbolo $<$ por $\leq$, $>$ ou $\geq$. Como do lado esquerdo temos $5x$, vamos multiplicar os dois lados da inequação por $\displaystyle\frac{1}{5}$, o inverso do $5$, pois multiplicando um número pelo seu inverso, o resultado sempre é igual a $1$, assim, vamos conseguir isolar o $x$. Assim, temos:
\begin{eqnarray} 5x + 10 &<& 0 \\ 5x &<& -10 \\ \frac{1}{5} \cdot 5x &<& \frac{1}{5} \cdot (-10) \\ x &<& \frac{-10}{5} \\ x &<& -2 \end{eqnarray}
Vamos reescrever os cálculos acima omitindo a linha em que multiplicamos os dois lados da inequação por $\displaystyle\frac{1}{5}$. Temos:
\begin{eqnarray} 5x + 10 &<& 0 \\ 5x &<& -10 \\ x &<& \frac{-10}{5} \\ x &<& -2 \end{eqnarray}
Perceba que, quando aplicamos a regra citada acima, o $5$ que estava multiplicando o $x$ passou para o outro lado dividindo. Assim, em qualquer inequação, se um número positivo está multiplicando o $x$, ele pode passar para o outro lado dividindo. Além disso, usando o mesmo raciocínio, o contrário também vale, isto é, se um número positivo está dividindo o $x$, ele pode passar para o outro lado multiplicando.
Agora, vamos para o último passo da resolução da inequação, ou seja, escrever o conjunto solução. No final das contas que fizemos, chegamos a $ x < -2$. Uma das maneiras de escrever o conjunto solução é usando a notação de intervalo. Todos os $x$ que satisfazem $x < -2$ estão no intervalo $(-\infty, -2)$, isto é, dizer que $x < -2$ é o mesmo que dizer que $x \in (-\infty, -2)$. Assim, podemos dizer que o conjunto solução $S$ da inequação é $S = (-\infty, -2)$. Outra maneira de escrever o conjunto solução é usando a notação de conjunto mesmo, usando as chaves e descrevendo a propriedade do conjunto. Nesse formato, podemos escrever o conjunto solução $S$ da inequação na forma $S = \{x \in \mathbb{R}:x<-2\}$. Em algumas ocasições, o conjunto solução nem vai ter nome e vai ser simplesmente escrito como $x < -2$, mas é importante conhecer todas as maneiras de escrever o conjunto solução.
8. Resolva a inequação $-2x + 8 < 0$.
Solução: Assim como no exemplo anteior, vamos isolar o $x$ na inequação do enunciado, deixando o $x$ sozinho do lado esquerdo do símbolo de desigualdade. Vamos começar a fazer isso, passando o $8$ para o outro lado da inequação. Desse modo, temos:
\begin{eqnarray} -2x + 8 &<& 0 \\ -2x &<& -8 \end{eqnarray}
Perceba que o número que está multiplicando $x$ não é positivo, assim, não podemos proceder da mesma forma que o exemplo anterior, ou seja, passar o $-2$ dividindo o outro lado. Nesse caso, a propriedade a ser usada é a seguinte:
Se $a < b$ e $c < 0$, então $ac > bc$.
Essa propriedade nos diz que podemos multiplicar os dois lados de uma inequação por um número negativo, mas ao fazermos isso, o símbolo de desigualdade deve ser invertido. Lembre-se que essa propriedade também vale se trocarmos o símbolo $<$ por $\leq$, $>$ ou $\geq$ (lembrando também de inverter o símbolo após multiplicar pelo número negativo). Como do lado esquerdo temos $-2x$, vamos multiplicar os dois lados da inequação por $\displaystyle\frac{1}{-2}$, o inverso do $-2$, pois multiplicando um número pelo seu inverso, o resultado sempre é igual a $1$, assim, vamos conseguir isolar o $x$. Assim, temos:
\begin{eqnarray} -2x + 8 &<& 0 \\ -2x &<& -8 \\ \frac{1}{-2} \cdot (-2x) &>& \frac{1}{-2} \cdot (-8) \\ x &>& \frac{-8}{-2} \\ x &>& 4 \end{eqnarray}
Vamos reescrever os cálculos acima omitindo a linha em que multiplicamos os dois lados da inequação por $\displaystyle\frac{1}{-2}$. Temos:
\begin{eqnarray} -2x + 8 &<& 0 \\ -2x &<& -8 \\ x &>& \frac{-8}{-2} \\ x &>& 4 \end{eqnarray}
Perceba que, quando aplicamos a regra citada acima, o $-2$ que estava multiplicando o $x$ passou para o outro lado dividindo e o símbolo de desigualdade foi invertido. Assim, em qualquer inequação, se um número negativo está multiplicando o $x$, ele pode passar para o outro lado dividindo, mas sempre é necessário inverter o símbolo de desigualdade. Além disso, usando o mesmo raciocínio, o contrário também vale, isto é, se um número negativo está dividindo o $x$, ele pode passar para o outro lado multiplicando, desde que o símbolo de desigualdade seja invertido.
No final das contas que fizemos, chegamos a $ x > 4$. Desse modo, o conjunto solução $S$ da inequação é $S = (4, + \infty)$ ou $S = \{x \in \mathbb{R}:x > 4\}$, ou ainda, simplesmente $x > 4$.
Agora que sabemos quais propriedades usar, como usá-las e também por onde começar a resolver uma inequação, vamos fazer os próximos exemplos de forma mais direta.
9. Determine o conjunto solução da inequação $2(3x-4)-4x \leq x+1$.
Solução: Temos:
\begin{eqnarray} 2(3x-4)-4x &\leq& x+1 \\ 6x-8-4x &\leq& x+1 \\ 2x-8 &\leq& x+1 \\ 2x-x -8 &\leq& 1 \\ x - 8 &\leq& 1 \\ x &\leq& 1+9 \\ x &\leq& 10\end{eqnarray}
Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S = (- \infty, 10]$. Observe que usamos o colchete no limitante direito do intervalo pois o número $10$ está no conjunto solução.
10. Resolva a inequação $\displaystyle\frac{2x}{3} - 2(x+1) \geq 3x - \displaystyle\frac{1}{2}$
Solução: Efetuando os cálculos, temos:
\begin{eqnarray} \frac{2x}{3} - 2(x+1) &\geq& 3x - \frac{1}{2} \\ \frac{2x}{3} - 2x-2 &\geq& 3x - \frac{1}{2} \\ -\frac{4x}{3} - 2 &\geq& 3x - \frac{1}{2} \\ -\frac{4x}{3} &\geq& 3x - \frac{1}{2} + 2 \\ -\frac{4x}{3} &\geq& 3x + \frac{3}{2} \\ -\frac{4x}{3} - 3x &\geq& \frac{3}{2} \\ -\frac{13x}{3} &\geq& \frac{3}{2} \\ -13x &\geq& 3 \cdot \frac{3}{2} \\ -13x &\geq& \frac{9}{2} \\ x &\leq& \frac{\frac{9}{2}}{-13} \\ x &\leq& \frac{9}{2}\cdot \frac{1}{-13} \\ x &\leq& \frac{9}{2}\cdot \frac{1}{-13} \\ x &\leq& - \frac{9}{26} \end{eqnarray}
Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S = \left(-\infty, -\displaystyle\frac{9}{26}\right]$.
11. Determine o conjunto solução da inequação $\displaystyle\frac{x+2}{3} < x+ 2(x -2) + 4$.
Solução: Efetuando os cálculos, temos:
\begin{eqnarray}\frac{x+2}{3} &<& x+ 2(x -2) + 4 \\ \frac{x+2}{3} &<& x+ 2x -4 + 4 \\ \frac{x+2}{3} &<& 3x \\ x+2 &<& 3 \cdot 3x \\ x+2 &<& 9x \\ x -9x+2 &<& 0 \\ -8x+2 &<& 0 \\ -8x &<& -2 \\ x &>& \frac{-2}{-8} \\ x &>& \frac{1}{4} \end{eqnarray}
Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S = \left(\displaystyle\frac{1}{4}, +\infty \right)$.
12. Determine o conjunto solução da inequação $\displaystyle\frac{3x+2}{4}-x + 3(x-1) \geq 5+ 2(x -2) + \displaystyle\frac{2}{5}$.
Solução: Efetuando os cálculos, temos:
\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{3x+2}{4}-x + 3(x-1) &\geq& 5+ 2(x -2) + \displaystyle\frac{2}{5} \\ \displaystyle\frac{3x+2}{4}-x + 3x-3 &\geq& 5+ 2x -4 + \displaystyle\frac{2}{5} \\ \displaystyle\frac{3x+2}{4}+2x-3 &\geq& 2x +1 + \displaystyle\frac{2}{5} \\ \displaystyle\frac{3x+2}{4}+2x-3 &\geq& 2x + \displaystyle\frac{7}{5} \\ \displaystyle\frac{3x+2}{4}+2x-3 -2x &\geq& \displaystyle\frac{7}{5} \\ \displaystyle\frac{3x+2}{4}-3 &\geq& \displaystyle\frac{7}{5} \\ \displaystyle\frac{3x+2}{4} &\geq& \displaystyle\frac{7}{5}+3 \\ \displaystyle\frac{3x+2}{4} &\geq& \displaystyle\frac{22}{5} \\ 3x+2 &\geq& 4 \cdot \displaystyle\frac{22}{5} \\ 3x+2 &\geq& \frac{88}{5} \\ 3x &\geq& \frac{88}{5} - 2 \\ 3x &\geq& \frac{78}{5} \\ x &\geq& \frac{\frac{78}{5}}{3} \\ x &\geq& \frac{78}{5}\cdot \frac{1}{3} \\ x &\geq& \frac{78}{15} \\ x &\geq& \frac{26}{5} \end{eqnarray}
Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S = \left[\displaystyle\frac{26}{5}, +\infty \right)$.
Exemplos em vídeo:
Observação importante: Alguma vezes pode acontecer que, ao simplicar uma inequação para resolvê-la, a inequação se torne sempre verdadeira ou sempre falsa. Por exemplo, simplificando a inequação $3x+1 > 3x$ vamos obter a inequação $1 > 0$, que é sempre verdade. Logo, essa inequação é verdadeira para todo $x \in \mathbb{R}$ e, o seu conjunto solução é $\mathbb{R}$ ou $(-\infty, +\infty)$. Agora, considere inequação $2x - 2 > 1 + 2x$. Simplificando essa inequação vamos obter a inequação $-2 > 1$, que é uma afirmação falsa. Logo, essa inequação é falsa para todo $x \in \mathbb{R}$, ou seja, ela nunca é verdadeira, independentemente de quem seja o $x$, ou ainda, ela não possui solução. Portanto, o seu conjunto solução é $\emptyset$ (conjunto vazio).
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