Já estamos na nona postagem sobre teoria dos conjuntos. Que legal! E essa não será a última postagem sobre esse assunto, pois ele é muito importante e deve ser tratado com detalhes. Se você quiser ver as postagens anteriores, e aconselho que você faça isso, clique aqui. Depois de falarmos de união, interseção e de diferença de conjuntos, chegou a hora de falar sobre conjunto complementar. Vamos lá aprender o que é o conjunto complementar!
Conjunto complementar
Considere dois conjuntos $A$ e $B$, tais que $B \subset A$. Chamamos de complementar de $B$ em relação a $A$ o conjunto $A-B$ (diferença de conjuntos definida no post anterior), ou seja, o conjunto complementar de $B$ em relação a $A$ é o conjunto formado pelos pontos que estão $A$ e não estão em $B$.
Denotamos o conjunto complementar de $B$ em relação a $A$ por $C_{A}^{B}$. Assim, temos
$$C_{A}^{B} = A-B.$$
Existem ainda outras notações para o conjunto complementar de $B$ em relação a $A$, são elas $B^{C}$, que significa complementar de $B$ e é usada quando está claro em relação a qual conjunto se está calculando o complementar de $B$ e $\overline{B}$, que também significa complementar de $B$ e é usado na mesma situação.
Podemos visualizar o conjunto complementar de $B$ em relação a $A$ pelo seguinte diagrama:
$C_{A}^{B} = A-B$
Antes dos exemplos, uma observação importante, se $B=A$, então $C_{A}^{B} = \emptyset$ e $C_{A}^{\emptyset} = A$. Agora, vamos ver alguns exemplos.
Exemplos:
1. Considere os conjuntos $A = \{2,3,5,7,11,13,17\}$ e $B = \{2,5,11,17\}$. Observe que $B \subset A$ e, desse modo, de acordo com a definição de conjunto complementar de $B$ em relação a $A$, temos
$$C_{A}^{B} = \{3,7,13\}.$$
2. Sejam os conjuntos
$$X=\mathbb{Z}, \mbox{ } Y =\{x \in \mathbb{Z}: x \mbox{ é par}\} \mbox{ e } Z = \{x \in \mathbb{Z}: x \mbox{ é ímpar}\}.$$
Temos
$$C_X^Y = Z \mbox{ e } C_X^Z = Y.$$
3. Considere os conjuntos
$$E=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}, F = \{1,2,4,7,8,9\} \mbox{ e } G=\{2,4,7\}.$$
Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
(a) $2 \in C_{E}^{F}$
(b) $6 \in C_{E}^{G}$
(c) $9 \notin C_{F}^{G}$
(d) $\{3,6\} \subset C_{E}^{F}$
(e) $\{1,8,9\} \not\subset C_F^G$.
Solução:
(a) Falso. Por definição $C_E^F = E-F$ e, como $2 \in F$, segue que $2 \notin C_E^F$.
(b) Verdadeiro. Como $6 \in E$ e $6 \notin G$, temos que $6 \in C_E^G$.
(c) Falso. Como $9 \in F$ e $9 \notin G$, segue que $9 \in C_F^G$.
(d) Verdadeiro. Note que $3,6 \in E$ e $3,6 \notin F$, ou seja, $3,6 \in C_{E}^{F}$. Portanto $\{3,6\} \subset C_E^F$.
(e) Falso. Observe que $1,8,9 \in F$ e $1,8,9 \notin G$, o que implica, $1,8,9 \in C_F^G$. Consequentemente $\{1,8,9\} \subset C_F^G$.
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