Agora que já sabemos o que é o módulo ou valor absoluto de um número real e também a sua interpretação geométrica, podemos passar para as suas propriedades. Saber quais são as propriedades do módulo é fundamental. Elas são muito úteis no estudo de intervalos de números reais, limites de funções e de sequências, séries numéricas e de potência, derivada e integral de funções (eu poderia citar mais exemplos onde os módulos podem aparecer, mas acredito que esses já justificam o estudo dos módulos). Sem mais demora, vamos às propriedades do módulo.
Observação: Para entender bem essa postagem é necessário ter em mente o que é potenciação (mais especificamente, elevar ao quadrado) e o que é radiciação (mais especificamente, raiz quadrada).
Propriedades imediatas do módulo
Essas são propriedades que seguem imediatamente da definição de módulo e das propriedades dos números reais.
(i) $|x| \geq 0$;
(ii) $|x| = 0$ se, e somente se, $x=0$;
(iii) $|-x| = |x|$ para todo $x \in \mathbb{R}$.
Vamos fazer a demonstração da propriedade (iii). Se $x=0$, vamos ter $|-0| = |0| = 0$, ou seja, a propriedade vale para $x=0$. Vamos considerar agora $x < 0$, ou seja, $x$ negativo. Assim, se $x$ é negativo, então $-x$ é positivo. Sendo $-x$ positivo, vamos ter, pela definição de módulo, que $|-x| = -x$. Agora, como $x$ é negativo, novamente pela definição de módulo, temos $|x| = -x$. Logo, para $x < 0$, temos $|-x| = |x|$. Considere agora $x > 0$, ou seja, $x$ positivo. Sendo $x$ positivo, segue que $-x$ é negativo e, pela definição de módulo $|-x| = -(-x) = x$. Mas, como $x$ é positivo, vamos ter que $|x| = x$. Logo $|-x| = |x|$ para todo $x>0$. Mostramos então que, para qualquer $x \in \mathbb{R}$, sempre vamos ter $|-x| = |x|$.
Exemplo: Temos $|-5| = |5| = 5$.
Propriedades do módulo e intervalos
As propriedades a seguir relacionam módulos e intervalos na reta real. Para $x, a \in \mathbb{R}$ com $a > 0$, temos:
(i) $|x| \leq a$ se, e somente se, $x \in [-a,a]$ (equivalentemente, $-a \leq x \leq a$).
(ii) $|x| < a$ se, e somente se, $x \in (-a,a)$ (equivalentemente, $-a < x < a$).
(iii) $|x| \geq a$ se, e somente se, $x \in (-\infty,-a]$ ou $x \in [a, +\infty)$ (equivalentemente, $x \leq -a$ ou $x \geq a$).
(iv) $|x| > a$ se, e somente se, $x \in (-\infty,-a)$ ou $x \in (a, +\infty)$ (equivalentemente, $x < -a$ ou $x > a$).
Não faremos a demonstração formal dessas propriedades, mas justificaremos as propriedades (i) e (iii) usando a interpretação geométrica do módulo.
Justificativa da propriedade (i): Dado um número real $x$, pela interpretação geométrica do módulo, sabemos que $|x|$ é a distância de $x$ até o número $0$ na reta real. Desse modo, podemos interpretar a inequação $|x| \leq a$ como sendo o conjunto dos números $x$ tais que suas distâncias para o zero são menore ou iguais a $a$. Na figura abaixo, está marcado em vermelho, os números que estão a uma distância menor ou igual a $a$ do $0$.
Assim, para que a distância de um número $x$ para o zero seja menor ou igual a $a$, ele deve estar em algum lugar desse intervalo em vermelho representado acima. Logo, ele deve estar em $[-a,a]$, ou ainda, vale $-a \leq x \leq a$. Observe que a recíproca também é verdadeira, se $x \in [-a,a]$ ou, de forma equivalente, se $-a \leq x \leq a$, então $x$ está no intervalo pintado de vermelho na figura acima. Isso significa que a distância de $x$ para o zero é menor ou igual a $a$. Logo $|x| \leq a$. Portanto, está justificada a propriedade (i).
Para justificar a propriedade (ii), basta seguir de forma análoga ao que foi feito em (i), trocando onde está "$\leq$" por "$<$" e trocando na figura as bolinhas fechadas por bolinhas abertas.
Justificativa da propriedades (iii): Dado um número real $x$, novamente usando a interpretação geométrica do módulo, segue que $|x|$ é a distância de $x$ até o número $0$ na reta real. Desse modo, podemos ver a inequação $|x| \geq a$ como sendo o conjunto dos números $x$ tais que suas distâncias para o zero são maiores ou iguais a $a$. Na figura abaixo, está marcado em vermelho, os números que estão a uma distância maior ou igual a $a$ do $0$.
Desse modo, para que a distância de um número $x$ até o zero seja maior ou igual a $a$, ele deve estar em algum desses intervalos destacados em vermelho representados na figura acima. Assim, ele deve estar em $(-\infty,-a]$ ou em $[a, +\infty)$, o que é equivalente a $x \leq a$ ou $x \geq a$. A recíproca também é verdadeira, se $x \in (-\infty, -a]$ ou $x \in [a, +\infty)$ ou, de forma equivalente, se $x \leq -a$ ou $x \geq a$, então $x$ está em um dos intervalos pintados de vermelho na figura acima. Isso significa que a distância de $x$ para o zero é maior ou igual a $a$. Logo $|x| \geq a$. Portanto, está justificada a propriedade (iii).
Para justificar a propriedade (iv), basta seguir de forma semelhante ao que foi feito em (iii), trocando onde está "$\leq$" e "$\geq$" por "$<$" e "$>$", respectivamente, e trocando na figura as bolinhas fechadas por bolinhas abertas.
Exemplos:
1. Se $|x| \leq 2$, então $x \in [-2,2]$ ou, de forma equivalente, $-2 \leq x \leq 2$.
2. Se $|x| < 1$, então $x \in (-1,1)$ ou, de forma equivalente, $-1 < x < 1$.
3. Se $|x| \geq 3$, então $x \in (-\infty,-3]$ ou $x \in [3,+\infty)$. De forma equivalente, $x \leq -3$ ou $x \geq 3$.
4. Se $|x| > 9$, então $x \in (-\infty,-9)$ ou $x \in (9,+\infty)$. De forma equivalente, $x < -9$ ou $x > 9$.
Outras propriedades importantes do módulo
Nessa seção veremos mais algumas propriedades dos módulos que podem ser bastante úteis.
(i) Para todo $x \in \mathbb{R}$ tem-se $|x|^2 = x^2$.
Demonstração: Se $x \geq 0$, pela definição de módulo, segue que $|x| = x$ e, assim, $|x|^2 = x^2$. Se $x < 0$, novamente pela definição de módulo, temos que $|x| = -x$ e, sendo assim, $|x|^2 = |x||x| = (-x)(-x) = x^2$. Portanto essa propriedade é verdadeira.
Exemplos:
1. $|5|^2 = 5^2 = 25$.
2. $|-8|^2 = 8^2 = 64 = (-8)^2$.
Observação importante: Para $a \in \mathbb{R}$ com $a \geq 0$, $\sqrt{a}$ indica a raiz quadrada positiva de $a$. Assim, da propriedade anterior, temos
$$\sqrt{x^2} = |x|.$$
Exemplos:
1. $\sqrt{9^2} = |9| = 9$.
2. $\sqrt{(-4)^2} = |-4| = 4$.
(ii) Dado $a \in \mathbb{R}$ com $a > 0$, as soluções reais da equação $|x| = a$ são $a$ e $-a$.
Demonstração: Das propriedades imediatas do módulo que vimos no início da postagem, temos que $|x| \geq 0$. Disso, do fato que $a>0$ e de $|x| = a$, segue que $|x|^2 = a^2$. Da propriedade anterior, temos que $|x|^2 = x^2$. Como $|x|^2=a^2$ e $|x| = x^2$, então $x^2=a^2$, ou ainda, $x^2-a^2 = 0$. Essa última igualdade pode ser escrita na forma $(x-a)(x+a) = 0$. Assim, temos um produto de dois números, $x-a$ e $x+a$, igual a zero, logo, as soluções dessa equação são os números onde cada um dos fatores do produto é igual a zero. Então, as soluções da equação $(x-a)(x+a) = 0$ são $a$ e $-a$. Portanto, provamos que, se $|x| = a$, então $x=-a$ ou $x=a$, isto é, a propriedade (ii) é verdadeira.
Exemplo: As soluções da equação $|x| = 10$ são $x=10$ e $x = -10$.
(iii) Se $x,y \in \mathbb{R}$, então $|x||y| = |xy|$.
Demonstração: Como $x$, $y$ e $xy$ são números reais quaisquer, podemos aplicar neles a propriedade (i). Fazendo isso, vamos obter,
$$|xy|^2 = (xy)^2 = x^2y^2 = |x|^2|y|^2 = (|x||y|)^2.$$
Como $|xy| \geq 0$ e $|x||y| \geq 0$ (pois $|x| \geq 0$ e $y \geq 0$), segue que,
$$|xy|^2 = (|x||y|)^2 \mbox{ que implica } \sqrt{|xy|^2} = \sqrt{(|x||y|)^2} \mbox{ que, por sua vez, implica } |xy| = |x||y|.$$
Portanto $|xy| = |x||y|$.
Exemplos:
1. $|2 \cdot 3| = |6| = 6$ e $|2||3| = 2 \cdot 3 = 6$.
2. $|(-1) \cdot 5| = |-5| = 5$ e $|-1||5| = 1 \cdot 5 =5$.
3. $|3 \cdot (-7)| = |-21| = 21$ e $|3||-7| = 3 \cdot 7 = 21$.
4. $|-4 \cdot (-8)| = |32| = 32$ e $|-4||-8| = 4 \cdot 8 = 32$.
(iv) Dados $x, y \in \mathbb{R}$ com $y \neq 0$, vale $\left|\displaystyle\frac{x}{y}\right| = \displaystyle\frac{|x|}{|y|}$.
Demonstração: É análoga à da propriedade anterior.
Exemplos:
1. $\left|\displaystyle\frac{3}{2}\right| = \displaystyle\frac{3}{2}$ e $\displaystyle\frac{|3|}{|2|} = \displaystyle\frac{3}{2}$.
2. $\left|\displaystyle\frac{-6}{5}\right| = \left|-\displaystyle\frac{6}{5}\right| = \displaystyle\frac{6}{5}$ e $\displaystyle\frac{|-6|}{|5|} = \displaystyle\frac{6}{5}$.
3. $\left|\displaystyle\frac{2}{-7}\right| =\left|-\displaystyle\frac{2}{7}\right| = \displaystyle\frac{2}{7}$ e $\displaystyle\frac{|2|}{|-7|} = \displaystyle\frac{2}{7}$.
4. $\left|\displaystyle\frac{-11}{-9}\right| = \left|\displaystyle\frac{11}{9}\right| = \displaystyle\frac{11}{9}$ e $\displaystyle\frac{|-11|}{|-9|} = \displaystyle\frac{11}{9}$.
(v) Para qualquer $x \in \mathbb{R}$, tem-se $x \leq |x|$ e $-x \leq |x|$.
Demonstração: Se $x \geq 0$, temos pela definição de módulo que, $|x|=x$. Assim, já temos que $x \leq |x|$. Como $x \geq 0$, segue que, $-x \leq 0$. Agora, sendo $|x| \geq 0$, obtemos $|x| \geq 0 \geq -x$, ou seja, $-x \leq |x|$.
Vamos considerar agora $x < 0$. Assim, pela definição de módulo, $|x| = -x$. Consequentemente, já temos que $-x \leq |x|$. Observe que $|x| \geq 0$ e, juntando isso ao fato de que estamos considerando $x < 0$, temos que $x \leq |x|$. Portanto, não importa qual seja $x \in \mathbb{R}$, sempre teremos $x \leq |x|$ e $-x \leq |x|$.
Exemplos:
1. $|4| = 4 \geq 4$ e $|4| = 4 \geq -4$.
2. $|-2| = 2 \geq -2$ e $|-2| = 2 \geq -(-2) = 2$.
(vi) (Desigualdade Triangular) Dados $x,y \in \mathbb{R}$, segue que $|x+y| \leq |x| + |y|$.
Demonstração: Vamos considerar duas possibilidades para $x+y$, são elas, $x+y \geq 0$ e $ x+y < 0$.
Se $x+y \geq 0$, pela definição de módulo, vamos ter $|x+y| = x+y$. Aplicando a propriedade anterior a $x$ e a $y$, podemos escrever $x \leq |x|$ e $y \leq |y|$. Com isso, usando as propriedades de ordem dos números reais, vale a seguinte desigualdade, $x + y \leq |x| + |y|$. Como $|x+y| = x+y$, concluímos que $|x+y| \leq |x| + |y|$.
Se $x+y < 0$, da definição de módulo segue que $|x + y| = -(x+y) = -x-y = (-x) + (-y)$. Aplicando novamente a propriedade anterior a $x$ e a $y$, temos $-x \leq |x|$ e $-y \leq |y|$. Disso e das ropriedades de ordem dos números reais, vale a desigualdade, $-x + (-y) \leq |x| + |y|$. Como $|x+y| = -x+(-y)$, concluímos que $|x+y| \leq |x| + |y|$. Portanto, essa propriedade vale para quaisquer números reais $x$ e $y$.
Exemplos:
1. $|2+3| = |5| = 5$, $|2|+|3| = 2+3 = 5$ e $5 \leq 5$.
2. $|-1+4| = |3| = 3$, $|-1|+|4| = 1+4 = 5$ e $3 \leq 5$.
3. $|6-4| = |6+(-4)| = |2| = 2$, $|6|+|-4| = 6+4 = 10$ e $2 \leq 10$.
4. $|-2-5| = |-2+(-5)| = |-7| = 7$, $|-2|+|-5| = 2+5 = 7$ e $7 \leq 7$.
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