Nosso estudo sobre raízes de polinômios está avançando, nessa postagem veremos como encontrar raízes de polinômios de grau $4$ ou, pelo menos, tentar fazer isso. Já vimos que é bem fácil determinar a raiz de um polinômio de grau $1$ e que ela sempre existe. Os polinômios de grau $2$ nem sempre possuem raízes reais, mas é sempre possível saber se ele possui raízes reais e, nesse caso, é até que fácil calculá-las. Já no caso de polinômio de grau $3$ as coisas já complicam um pouco (para não dizer muito). A Fórmula de Tartaglia, que fornece uma raiz de um polinômio de grau $3$, é bem complicada e fornece somente uma raiz, que ainda pode ser complexa, assim, ela não é muito prática. E para os polinômio de grau $4$? É, aqui as coisas complicam mais ainda... Vamos ver o que conseguimos fazer para este caso. Vamos lá!
A Fórmula de Ferrari
Um polinômio de grau $4$ sempre vai ter a forma $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2++dx+e$. Uma raiz desse polinômio é um número $x$ tal que $f(x)=0$, ou ainda,
$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$
Toda equação no formato da equação acima é chamada equação do quarto grau. Determinar uma raiz de um polinômio de grau $4$ é o mesmo que resolver ou, encontrar as soluções, de uma equação do quarto grau.
Existe uma fórmula para determinar as raízes de qualquer polinômio de grau $4$, é a chamada Fórmula de Ferrari, porém ela é muito grande e muito complicada de ser usada e, portanto, não é muito útil. Por esse motivo eu não vou demonstrá-la aqui e nem colocar exemplos de como usá-la (existem formas mais eficientes de procurar pelas raízes de polinômios de grau $4$, veremos isso nas próximas postagens).
Para quem quiser conhecer a Fórmula de Ferrari e saber de onde ela vem, vou deixar os links abaixo:
Vídeo aula sobre a Fórmula de Ferrari (muito interessante): Para compreender esse vídeo é bom ter em mente que podemos considerar qualquer polinômio de grau $4$ tendo a forma $f(x) = x^4+\alpha x^3+\beta x^2 + \gamma x + \delta = 0$ na hora de calcular suas raízes. Podemos fazer isso por que as soluções das equações
$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ com $a \neq 0$ e $x^4+\frac{b}{a}x^3+\frac{c}{a}x^2+\frac{d}{a}x+\frac{e}{a}=0$
são as mesmas. Para obter a segunda, dividimos a primeira por $a$.
Texto explicando a Fórmula de Ferrari: Se você prefere um texto, nesse link está uma abordagem diferente da do vídeo acima.
A seguir vamos estudar um caso particular de polinômio de grau $4$ para o qual não é necessário usar a fórmula de Ferrari para determinar suas raízes.
Polinômios na forma $f(x) = ax^4+bx^2+c$.
Vamos estudar um meio de determinar as raízes reais de um polinômio de grau $4$ na forma $f(x) = ax^4+bx^2+c$ com $a \neq 0$. Uma raiz desse polinômio é um número $x$ tal que $f(x)=0$, ou ainda, tal que
$ax^4+bx^2+c=0$
As equação no formato acima são chamadas de equações biquadradas. Esse nome se deve ao fato de $x^4 = (x^2)^2$, ou seja, um "duplo" quadrado. Assim, determinar uma raiz de um polinômio no formato do polinômio $f(x)=ax^4+bx^2+c$ é o mesmo que encontrar as soluções de uma equação biquadrada.
Resolver uma equação biquadrada é relativamente fácil, o processo de resolução de uma equação nessa forma é o seguinte. Primeiramente fazemos uma mudança de variável, substituímos $x^2$ por $y$, isto é, fazemos $y=x^2$. Fazendo isso, a equação biquadrada $ax^4+bx^2+c=0$ fica na forma
\begin{eqnarray}0 &=& ax^4+bx^2+c = a(x^2)^2 + bx^2+c \\ &=& ay^2+by+c. \end{eqnarray}
Transformamos então equação $ax^4+bx^2+c=0$ na equação $ay^2+by+c=0$, ou seja, numa equação do segundo grau. Agora, o próximo passo é resolver a equação $ay^2+by+c=0$ usando a Fórmula de Bhaskara ou algum outro método alternativo que possa ser usado e, com os valores de $y$ obtidos, encontrar os valore de $x$ usando o fato de $y=x^2$. Esse é o processo. Vamos fazer alguns exemplos para esse processo de resolução fique ainda mais claro.
Exemplos:
1. Calcule as raízes do polinômio $f(x) = x^4-6x^2+8$.
Solução: Para calcular as raízes desse polinômio, precisamos resolver a seguinte equação
$x^4-6x^2+8=0.$
Como podemos perceber, esta é uma equação biquadrada, assim, vamos fazer a seguinte mudança de variável $y=x^2$. Fazendo essa mudança, a equação acima ficará na forma
$$y^2-6y+8=0.$$
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver esta última equação. Temos
\begin{eqnarray} \Delta = b^2-4ac &=& (-6)^2-4 \cdot 1 \cdot 8 \\ &=& 36-32 = 4. \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} y = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} &=& \displaystyle\frac{-(-6) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} \\ &=& \displaystyle\frac{6 \pm 2}{2}. \end{eqnarray}
Logo, as raízes da equação são $y_1 = \displaystyle\frac{6+2}{2} = 4$ e $y_2 = \displaystyle\frac{6-2}{2} = 2$. Observe que encontramos as soluções da equação $y^2-6y+8=0$, mas queremos as soluções da equação $x^4-6x^2+8=0$. Para isso, basta usar que $y=x^2$, assim
$y_1 = 4 = x^2 \Rightarrow x=\pm \sqrt{4} = \pm 2$ e
$y_2 = 2 = x^2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}$.
Portanto as raízes do polinômio $f(x) = x^4-6x^2+8$ são $-2$, $2$, $-\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$.
2. Calcule as raízes do polinômio $f(x) = x^4+x^2-2$.
Solução: Novamente, para calcular as raízes desse polinômio, precisamos resolver a seguinte equação
$x^4+x^2-2=0.$
Vamos fazer a seguinte mudança de variável $y=x^2$. Fazendo essa mudança, a equação acima ficará na forma
$$y^2+y-2=0.$$
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver esta última equação. Temos
\begin{eqnarray} \Delta = b^2-4ac &=& 1^2-4 \cdot 1 \cdot(-2) \\ &=& 1+8 = 9. \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} y = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} &=& \displaystyle\frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} \\ &=& \displaystyle\frac{-1 \pm 3}{2}. \end{eqnarray}
Logo, as raízes da equação são $y_1 = \displaystyle\frac{-1+3}{2} = 1$ e $y_2 = \displaystyle\frac{-1-3}{2} = -2$. Agora vamos usar que $y=x^2$, para determinar as soluções de $x^4+x^2-2$, assim
$y_1 = 1 = x^2 \Rightarrow x=\pm \sqrt{1} = \pm 1$ e
$y_2 = -2 = x^2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{-2}$.
Portanto as raízes reais do polinômio $f(x) = x^4+x^2-2$ são $1$ e $-1$, pois não existem números reais que satisfaçam $x=\pm\sqrt{-2}$.
3. Calcule as raízes do polinômio $g(x) = 2x^4+5x^2+4$.
Solução: Precisamos resolver a seguinte equação
$2x^4+5x^2+4=0.$
Fazendo a mudança de variável $y=x^2$, vamos obter a equação
$$2y^2+5y+4=0.$$
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver esta última equação. Temos
\begin{eqnarray} \Delta = b^2-4ac &=& 5^2-4 \cdot 2 \cdot 4 \\ &=& 25-32 = -7. \end{eqnarray}
Como $\Delta < 0$, segue que a equação do segundo grau em $y$ não possui raízes reais e, desse modo, a equação original $2x^4+5x^2+4=0$ também não possui raízes reais.
4. Calcule as raízes do polinômio $h(x) = 3x^4 - x^2$.
Solução: Temos resolver a seguinte equação
$3x^4-x^2=0.$
Fazendo a mudança de variável $y=x^2$, vamos obter a equação
$$3y^2-y=0.$$
Não precisamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação acima, podemos resolver da seguinte forma
\begin{eqnarray} 3y^2-y=0 &\Rightarrow& y(3y-1)=0. \end{eqnarray}
Logo, as raízes dessa equação são $y_1 = 0$ e $y_2=\frac{1}{3}$ (que veio do fato de $3y-1=0$). Usando que $y=x^2$, temos
$y_1 = 0 = x^2 \Rightarrow x=\pm \sqrt{0} = 0$ e
$y_2 = \frac{1}{3} = x^2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Logo, as raízes da equação $3x^4-x^2=0$ são, $0$, $\frac{\sqrt{3}}{3}$, e $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
5. Calcule as raízes do polinômio $h(x) = 2x^4 - 8$.
Solução: Temos resolver a seguinte equação
$2x^4-8=0$
Fazendo a mudança de variável $y=x^2$, vamos obter a equação
$$2y^2-8=0.$$
Também não precisamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação acima, podemos resolver da seguinte forma
\begin{eqnarray} 2y^2-8=0 &\Rightarrow& 2y^2-8=0 \\ & \Rightarrow& y^2 = 4 \\ y=\pm 2. \end{eqnarray}
Logo, as raízes dessa equação são $y_1 = 2$ e $y_2=-2$. Usando que $y=x^2$, temos
$y_1 = 2 = x^2 \Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$ e
$y_2 = -2 = x^2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{-2} $.
Como não existe $x$ real tal que $x = \pm \sqrt{-2}$, as raízes da equação $2x^4-8=0$ são, $-\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$.
Exemplo em vídeo:
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