Nas duas postagens anteriores definimos o que é uma raiz de um polinômio e vimos algumas de suas propriedades, mas não vimos ainda nenhum método para encontrar as raízes de um polinômio. Dado um polinômio qualquer, não é fácil encontrar as suas raízes. Conforme o grau do polinômio aumenta, mais difícil é encontrar suas raízes, ou ainda, verificar se ele possui raiz ou não. Por esse motivo, vamos estudar métodos diferentes para encontrar as raízes de um polinômio de acordo com seu grau. Vamos começar pelo começo, vamos ver uma forma de encontrar a raiz de um polinômio de grau $1$. Determinar a raiz de um polinômio de grau $1$ é a mesma coisa que resolver uma equação do primeiro grau. A seguir na postagem veremos mais detalhes sobre isso. Vamos lá!
Como encontrar a raiz de um polinômio de grau 1 (equação do primeiro grau)
Dado um polinômio de grau $1$, ele vai ter a forma $p(x) = ax + b$ com $a \neq 0$ ($a$ deve ser diferente de $0$ pois do contrário $p(x)$ não teria grau $1$). Para encontrar uma possível raiz desse polinômio, basta procurarmos por um valor de $x$ tal que $p(x) = 0$, ou seja,
$ax+b = 0$.
Equações no formato da equação acima são chamadas de equação do primeiro grau, justamente por serem um polinômio de grau $1$ igual a $0$. Assim, determinar a raiz de um polinômio de grau $1$ é a mesma coisa que resolver uma equação do primeiro grau.
Um polinômio de grau $1$ sempre possui uma raiz, independentemente de estar sobre $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ e essa raiz é única. Essa afirmação pode ser reescrita na seguinte forma, toda equação do primeiro grau possui uma única solução. Vamos provar isso. Para tanto, vamos isolar o $x$ em um dos lados dequação $ax+b=0$, ou seja, deixar o $x$ sozinho em um dos lados da equação. Somando $-b$ em ambos os lados da equação $ax+b=0$, vamos ter
\begin{eqnarray} ax+b &=& 0 \\ ax+b-b &=& 0-b \\ ax &=& -b. \end{eqnarray}
Agora, observe que, como $a \neq 0$, existe o número $\displaystyle\frac{1}{a}$ inverso de $a$. Multiplicando ambos os lados da última equação por $\displaystyle\frac{1}{a}$, vamos ter
\begin{eqnarray} \frac{1}{a} \cdot ax &=& \frac{1}{a} \cdot (-b) \\ 1 \cdot x &=& -\frac{b}{a} \\ x &=& -\frac{b}{a}, \end{eqnarray}
isto é, o valor de $x$ é $x = -\displaystyle\frac{b}{a}$.
Para concluirmos que $x = -\displaystyle\frac{b}{a}$ é de fato solução da equação $ax+b=0$, vamos substituir esse valor da $x$ na equação. Vejamos
$a \cdot \left(-\displaystyle\frac{b}{a}\right) + b = -b+b = 0$
Com isso, provamos que a solução de qualquer equação na forma $ax+b=0$ é $x=-\displaystyle\frac{b}{a}$. Consequantemente, provamos que $x = -\displaystyle\frac{b}{a}$ é raiz do polinômio $p(x) = ax+b$.
Observe novamente a seguinte conta
\begin{eqnarray} ax+b &=& 0 \\ ax+b-b &=& 0-b \\ ax &=& -b. \end{eqnarray}
Se você olhar somente a primeira e a terceira linha, você verá que o $b$ passou do lado esquerdo da equação para o lado direito e virou $-b$. Esse é o famoso "passa para o outro lado e troca o sinal". A segunda linha tem a explicação do por que isso acontece quando resolvemos uma equação, passar para o outro lado com o sinal trocado é na verdade somar o oposto de um número dos dois lados da equação, o que não altera a igualdade. Passar para o outro lado com o sinal trocado não é uma mágica.
Observe agora essa outra conta
\begin{eqnarray} ax &=& -b \\ \frac{1}{a} \cdot ax &=& \frac{1}{a} \cdot (-b) \\ 1 \cdot x &=& -\frac{b}{a} \\ x &=& -\frac{b}{a}, \end{eqnarray}
Se você olhar a primeira e a última linha, você vai perceber que o $a$ que multiplicava o $x$ do lado esquerdo da equação passou para o outro lado dividindo o $-b$. Mais uma vez, isso não é mágica. Isso ocorre por que multiplicamos ambos os lados da equação por $\displaystyle\frac{1}{a}$, o que não altera a equação.Isto pode ser visto na segunda e terceira linhas.
Desse modo estão justificados as contas de "passar para o outro lado com o sinal trocado" e "passar o que está multiplicando para o outro lado dividindo". Fazemos isso com o objetivo de deixar o $x$ sozinho em um dos lados do sinal de igual para determinarmos o seu valor.
Falta mostrar que a solução $x=-\displaystyle\frac{b}{a}$ de $ax+b=0$ é única. Para provar isso, vamos supor que exista uma outra solução $x=c$ dessa equação. Assim,
\begin{eqnarray} a \cdot c +b &=& 0 \\ a \cdot c &=& -b \\ c &=& -\frac{b}{a}, \end{eqnarray}
isto é, $c = -\displaystyle\frac{b}{a}$ e, assim, não pode existir outra solução.
Agora podemos calcular a raiz de um polinômio de grau, pois sabemos que essa raiz existe e é única. Vamos fazer isso repetindo o processo que fizemos para provar a existência da solução da equação $ax+b=0$. Vejamos alguns exemplos.
Exemplos:
1. Calcule a raiz do polinômio $p(x) = 3x-4$.
Solução: Conforme vimos acima, basta resolver a equação $3x-4=0$. Primeiramente, vamos passar o $-4$ para o outro lado da equação. Quando ele muda de lado, ele muda de sinal (ele vai para o outro lado como sendo $-(-4) = +4$). Assim, vamos ter
$$3x=4$$.
Agora, só falta passa o $3$ que está multiplicando o $x$ dividindo o $4$. Desse modo
$$x = \displaystyle\frac{4}{3}.$$
Esta é a raiz do polinômio $p(x)$.
2. Determine a raiz do polinômio $f(x) = -4x +2$.
Solução: Vamos resolver da mesma forma. Temos
\begin{eqnarray} -4x+2 &=& 0 \\ -4x &=& -2 \\ x &=& \frac{-2}{-4} \\ x &=& \frac{1}{2}. \end{eqnarray}
3. Determine a raiz do polinômio $g(x) = \displaystyle\frac{x}{2} + 1$.
Solução: O processo para determinar a raiz de um polinômio de grau $1$ é sempre o mesmo. Temos
\begin{eqnarray} \displaystyle\frac{x}{2} + 1 &=& 0 \\ \displaystyle\frac{x}{2} &=& -1 \\ x &=& 2 \cdot (-1) \\ x &=& -2. \end{eqnarray}
Observe que o $2$ estava dividindo o $x$ no lado esquerdo da equação e passou para o outro lado multiplicando o $-1$. Isso ocorre por que o que é feito nesse passo é multiplicar os dois lados da equação pelo inverso de $\displaystyle\frac{1}{2}$ que é igual a $2$ (observe que $\frac{1}{2}$ está multiplicando $x$ no lado esquerdo da equação).
4. Calcule a raiz do polinômio $h(x) = 5x + \displaystyle\frac{3}{2}$.
Solução: Temos o seguinte,
\begin{eqnarray} 5x - \frac{3}{2} &=& 0 \\ 5x &=& \frac{3}{2} \\ x &=& \frac{\frac{3}{2}}{5} \\ x &=& \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{5} \\ x &=& \frac{3}{10}. \end{eqnarray}
Observe que na terceira linha da resolução há um divisão de frações, a saber, $\displaystyle\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{5}}$.
5. Calcule a raiz do polinômio $l(x) = \displaystyle\frac{3}{4}x + \displaystyle\frac{1}{2}$.
Solução: Fazendo as contas, temos
\begin{eqnarray} \frac{3}{4}x = \frac{1}{2} &=& 0 \\ \frac{3}{4}x &=& -\frac{1}{2} \\ x &=& \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} \\ x &=& -\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \\ x &=& -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}.\end{eqnarray}
Exemplo em vídeo:
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