Na última postagem estudamos as operações com funções reais, mais específicamente, aprendemos como somar, subtrair, multiplicar e dividir funções. Além disso, aprendemos como calcular o domínio das funções resultantes dessas operações. Agora, vamos falar de uma outra operação importante com funções, vamos estudar a composição de funções. Vamos ver todos os detalhes sobre a composição de funções e também como determinar o domínio de uma função que é obtida da composição de outras funções. Mas, antes de entrarmos na postagem de fato, para entendê-la bem, você vai precisar ter conhecimentos sobre domínios de funções e também sobre como resolver inequações. Agora, vamos lá!
Composição de funções
Vamos começar com a definição de composição com funções.
Definição: Sejam $f: A \rightarrow B$ e $g: B \rightarrow C$ duas funções reais de uma varável real. Definimos a função composta de $g$ com $f$, denotada por $g \circ f : A \rightarrow D$, como sendo
$$(g \circ f)(x) = g(f(x))$$
para todo $x \in A$.
Antes de continuarmos, vamos entender melhor o que a definição de composição de funções nos diz. Primeiramente, observe que o conjunto $B$ é tanto o contradomínio de $f$ como o domínio de $g$. Coloquei a definição dessa forma, pois quando calculamos $g(f(x))$, o valor de $f(x)$ deve estar no domínio de $g$ para que esse cálculo faça sentido. Outro motivo de ter colocado a definição dessa forma é que fica mais fácil de entender o que de fato a composição de funções faz. Vamos visualizar isso por meio do seguinte diagrama:
No diagrama acima podemos ver exatamente o que a composição de funções faz. Podemos dizer que ela "encurta" o caminho de $A$ até $C$. Temos que $f$ leva os elementos de $A$ em $B$ e $g$ leva os elementos de $B$ em $C$, enquando que $g \circ f$ leva os elementos de $A$ diretamente em $C$. Outro aspecto importante desse diagrama é que parece que tem algo de errado nele. Repare só, quando olhamos o caminho acima, temos $f$ aplicada primeiramente em $x$ e depois temos $g$ aplicada em $f(x)$. Por outro lado, quando olhamos o caminho de baixo, vemos a função $g \circ f$ que sai de $A$ e vai para $C$. Ao compararmos esses dois caminhos, parece que um está ao contrário em relação ao outro, não é? Mas não estão, quando escrevemos $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ estamos dizendo exatamente que a função $f$ é aplicada primeiro e depois aplicamos a $g$ no resultado da $f$.
Observação 1: Existem outras maneiras de definir a composição de duas funções, não exatamente a operação de composição, mas a condição para se fazer a composição. No lugar de considerar $f: A \rightarrow B$ e $g: B \rightarrow C$ na definição acima, poderíamos escrever $f: A \rightarrow B$ e $g: C \rightarrow D$ com $Im(f) \subseteq D(g)$, o que não mudaria em nada a operação de composição. Em alguns livros não é colocada nenhuma condição para se fazer a composição de funções, nesse caso, se considera que é possível fazer a composição.
Observação 2: Na definição de função composta acima, temos somente duas funções, mas podemos definir a composição para um número qualquer de funções. Por exemplo, considere as funções $f: A \rightarrow B$, $g: B \rightarrow C$ e $h: C \rightarrow D$. A função composta de $h$, $g$ e $f$, denotada por $h \circ g \circ f$, é definida por
$$(h \circ g \circ f)(x) = h(g(f(x))).$$
Vamos seguir agora com exemplos de como calcular a composição de funções sem nos preocuparmos com os domínios das funções e nem o domínio da função composta. Vamos fazer isso para treinar os cálculos e depois veremos a questão do domínio da função composta.
Exemplos:
1. Considere as funções $f(x) = x^2 +1$ e $g(x) = x+2$. Calcule $g \circ f$.
Solução: Primeiramente, devemos escrever a definição de função composta para não errarmos os cálculos. Temos,
$$(g \circ f)(x) = g(f(x))$$
Observe que devemos aplicar a composição em $x$, isto é, devemos escrever $(g \circ f)(x) = \cdots$. Isso deve ser feito para encontrarmos a expressão que define a função $g \circ f$. Se escrevermos $g \circ f = \cdots$, está errado. Agora, continuando os cálculos à partir da definição de função composta que já escrevemos, vamos substituir as funções de dentro para fora, da seguinte forma:
\begin{eqnarray} (g \circ f)(x) &=& g(f(x)) \\ &=& g(x^2 +1) \end{eqnarray}
Veja que a função $g$ leva o $x$ em $x+2$, isso significa que a função $g$ leva "qualquer coisa" em "qualquer coisa"$+ 2$. Assim, para calcularmos $g(x^2+1)$, basta colocar a expressão $x^2+1$ no lugar do $x$ que está na expressão que define $g$. Temos então,
\begin{eqnarray} (g \circ f)(x) &=& g(f(x)) \\ &=& g(x^2 +1) \\ &=& (x^2+1) + 2 \\ &=& x^2+1+2 \\ &=& x^2+3 \end{eqnarray}
Portanto, $(g \circ f)(x) = x^2 + 3$.
2. Seja $f(x) = x^2 +1$. Calcule $f \circ f$.
Solução: Nesse exemplo, iremos um pouco mais direto, usando exatamente o mesmo raciocínio do exemplo anterior. Observe que esse exemplo nos pede para fazermos a composta entre duas funções iguais. Isso pode ser feito? Sim. Então, vamos fazer.
\begin{eqnarray} (f \circ f)(x) &=& f(f(x)) \\ &=& f(x^2+1) \\ &=& (x^2+1)^2 + 1 \\ &=& x^4 + 2x^2 +1 +1 \\ &=& x^4 + 2x^2 + 2\end{eqnarray}
Portanto, $(f \circ f)(x) = x^4 + 2x^2 + 2$.
3. Considere as funções $g(x) = \displaystyle\frac{x}{x^2-3}$ e $h(x) = 4x +1$. Calcule $g \circ h$ e $h \circ g$.
Solução: Nesse exemplo temos as funções $g$ e $h$ e vamos calcular $g \circ h$ e $h \circ g$. Sempre que temos duas funções, podemos calcular essas duas composições. Vamos ver que, na maioria das vezes, elas dão resultados diferentes. Vamos calcular primeiramente $g \circ h$, temos:
\begin{eqnarray} (g \circ h)(x) &=& g(h(x)) \\ &=& g(4x+1) \\ &=& \frac{4x+1}{(4x+1)^2-3} \\ &=& \frac{4x+1}{16x^2+8x+1 -3} \\ &=& \frac{4x+1}{16x^2+8x-2} \end{eqnarray}
Logo, $(g \circ h)(x) = \displaystyle\frac{4x+1}{16x^2+8x-2}$
Vamos calcular agora $h \circ g$. Temos,
\begin{eqnarray} (h \circ g)(x) &=& h(g(x)) \\ &=& h\left(\frac{x}{x^2-3}\right) \\ &=& 4 \cdot \frac{x}{x^2-3} +1 \\ &=& \frac{4x}{x^2-3} + 1 \end{eqnarray}
Logo, $(h \circ g)(x) = \displaystyle\frac{4x}{x^2-3} + 1$
4. Considere as funções $f(x) = x^2$, $g(x) = 2x+1$ e $h(x) = -x$. Calcule $f \circ g \circ h$.
Solução: Nesse exemplo, vamos calcular a composição de três funções. Nesse caso, a definição de composição de funções fica na forma,
$$(f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x)))$$
Para calcularmos essa composição, podemos, primeiramente, fazer a composição $g(h(x))$ e depois aplicamos $f$ ao resultado dessa composição. Vamos fazer isso. Temos
\begin{eqnarray} (g \circ h)(x) &=& g(h(x)) \\ &=& g(-x) \\ &=& 2(-x) +1 \\ &=& -2x + 1 \end{eqnarray}
Logo, $g(h(x)) = -2x+1$. Agora, vamos aplicar $f$ em $g(h(x))$. Temos
\begin{eqnarray} (f \circ g \circ h)(x) &=& f(g(h(x))) \\ &=& f(-2x+1) \\ &=& (-2x+1)^2 \\ &=& 4x^2-4x+1 \end{eqnarray}
Portanto, $(f \circ g \circ h)(x) = 4x^2-4x+1$.
Vamos falar um pouco agora sobre o domínio de uma função composta.
Domínio de uma função composta
Dadas duas funções $f$ e $g$, segue da definição de função composta que, o domínio da função $g \circ f$ é formado por todo $x$ no domínio de $f$ tal que $f(x)$ pertence ao domínio de $g$. Em símbolos, temos
$$D(g \circ f)(x) = \{x \in D(f): f(x) \in D(g)\}.$$
Vamos fazer alguns exemplos de como calcular o domínio de uma função composta.
Exemplos:
5. Considere as funções $f(x) = \sqrt{x-4}$ e $g(x) = x^4+2$. Calcule $f \circ g$ e calcule seu domínio.
Solução: Primeiramente, como fizemos nos exemplos anteriores, vamos calcular $f \circ g$. Temos
\begin{eqnarray} (g \circ f)(x) &=& g(f(x)) \\ &=& g(\sqrt{x-4}) \\ &=& \left(\sqrt{x-4}\right)^4 + 2 \\ &=& (x-4)^2 + 2 \\ &=& x^2-8x + 16 + 2 \\ &=& x^2-8x+18 \end{eqnarray}
Logo, $(g \circ f)(x) = x^2-8x+18$. Agora, muito cuidado ao calcular o domínio dessa função composta. Olhando para a função $g \circ f$, vemos que ela é dada por meio de um polinômio, assim, poderíamos concluir que o seu domínio é $\mathbb{R}$. Mas, isto está errado. Como $g \circ f$ é uma função composta, devemos usar a definição do domínio de uma função composta que vimos acima, isto é,
$$D(g \circ f)(x) = \{x \in D(f): f(x) \in D(g)\}.$$
Assim, para calcular o domímio dessa função composta, precisamos primeramente calcular os domínos de $f$ e $g$. Não é difícil ver que $D(f) = [4, +\infty)$ e $D(g) = \mathbb{R}$. Logo, $D(g \circ f)$ é formado por todo $x \in [4, +\infty)$ tal que $f(x) \in \mathbb{R}$. Como $f$ é uma função real, $f(x) \in \mathbb{R}$ para todo $x \in [4, +\infty)$. Portanto, $D(g \circ f) = [4, +\infty)$ (o qual é diferente de $\mathbb{R}$, que poderíamos ter concluído erroneamente depois de calcularmos $g \circ f$).
6. Considere as funções $g(x) = \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x-3}}$ e $f(x) = x^2-1$. Calcule $g \circ f$ e determine seu domínio.
Solução: Vamos começar calculando a função composta.
\begin{eqnarray} (g \circ f)(x) &=& g(f(x)) \\ &=& g(x^2-1) \\ &=& \frac{x^2-1}{\sqrt{(x^2-1)-3}} \\ &=& \frac{x^2-1}{\sqrt{x^2-1-3}} \\ &=& \frac{x^2-1}{\sqrt{x^2-4}} \end{eqnarray}
Logo, $(g \circ f)(x) = \displaystyle\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2-4}}$. O domínio da função $g \circ f$ é formado por todo $x \in D(f)$ tal que $f(x) \in D(g)$. Temos que $D(f) = \mathbb{R}$ e $D(g) = (3, +\infty)$ e, assim, $D(g \circ f)$ é formado por todo $x \in \mathbb{R}$ tal que $f(x) \in (3, +\infty)$, ou ainda, tal que $x^2-1 \in (3, +\infty)$. Assim, devemos então, determinar os valores de $x$ reais tais que $x^2-1 > 3$. Essa última inequação é equivalente a $x^2-4 > 0$. Pensando rapidamente, a solução dessa inequação é o conjunto $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$. Portanto $D(g \circ f) = (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.
Vamos fazer mais um exemplo.
7. Considere as funções $g(x) = \displaystyle\frac{1}{x^2-1}$ e $h(x) = \sqrt[4]{x}$. Calcule $h \circ g$ e determine seu domínio.
Solução: Calculando a função composta temos
\begin{eqnarray} (h \circ g)(x) &=& h(g(x)) \\ &=& h\left(\frac{1}{x^2-1}\right) \\ &=& \sqrt[4]{\frac{1}{x^2-1}} \end{eqnarray}
Portanto, $(h \circ g)(x) = \displaystyle\sqrt[4]{\frac{1}{x^2-1}}$.
Agora, temos que $D(h \circ g)$ é formado por todo $x \in D(g)$ tal que $g(x) \in D(h)$. Observe que $D(g) = (-\infty,-1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$ e que $D(h) = [0, +\infty)$. Sendo assim, $D(h \circ g)$ é formado por todo $x \in (-\infty,-1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$ tal que $\displaystyle\frac{1}{x^2-1} \in [0, +\infty)$, ou ainda, $\displaystyle\frac{1}{x^2-1} \geq 0$. Esta ultima inequação é equivalente a $x^2-1 > 0$. Resolvendo-a, encontramos o conjunto solução $x \in (-\infty,-1) \cup (1, +\infty)$. Portanto, $D(g \circ h) = x \in (-\infty,-1) \cup (1, +\infty)$ (Veja que $(-\infty,-1) \cup (1, +\infty) \subset (-\infty,-1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$).
Exemplo em vídeo:
Acredito que, depois dessa postagem, você não vai mais errar o cálculo de funções compostas e nem o cálculo de seus domínios.
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