Nas postagens anteriores, abordamos as funções de um jeito mais conceitual, juntamente com os conceitos de domínio, contradomínio e imagem. Agora, essa postagem será dedicada ao estudo do domínio de uma função de uma varável real com mais detalhes, com tudo o que você precisa saber sobre o domínio desse tipo de função. Em geral, em textos de matemática, as funções reais de uma variável real não são apresentadas juntamente com seus domínios, isto é, na maioria das vezes as funções não são dadas assim: "Considere a função $f:\mathbb{R} - \{-1, 1\} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \displaystyle\frac{1}{x^2-1}$", onde está claro que o domínio de $f$ é o conjunto $\mathbb{R}-\{-1,1\}$. Na maioria das vezes elas aparecem simplesmente assim: "Seja $h(x) = \sqrt{x+1}$ uma função", sem apresentar o domínio de $h$. Então, o que fazemos quando uma função é dada sem seu domínio? Nessa postagem vamos responder a essa pergunta e vamos detalhar bem esse assunto para que, quando você precisar lidar com domínios de funções, não haja nenhuma dúvida. Então, vamos lá.
Domímio de uma função de uma variável real
Quando uma função é dada com seu domínio, por exemplo, $g: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $g(x) = x^2$, nós podemos calcular os valores de $g(x)$ somente para $x \in (0, +\infty)$, isto é, não podemos calcular $g(-1)$, apesar de ser possível trocar o $x$ por $-1$ na expressão $x^2$ e fazermos as contas. Isso ocorre pois a informação $g: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ nos diz que $g$ está considerada somente sobre o conjunto $(0, +\infty)$ e fora dele ela não faz sentido (independentemente de qual seja o motivo para isso).
Agora, quando uma função $f$ é dada sem seu domímio, nós consideramos o que chamamos de domínio natural da função. O domínio natural de uma função é o conjunto formado por todos os números reais na qual podemos aplicar a dada função. Em outras palavras, é o conjunto formado por todos os números reais $x$ tais que é possível calcular $f(x)$, ou ainda, é o "maior" subconjunto de $\mathbb{R}$ onde $f$ está definida.
Para deixar isso mais claro, vamos ver um exemplo. Considere a função $p(x) = \displaystyle\frac{x^2-1}{\sqrt{1-x}}$. Observe que, para $x = -3$, é possível calcular $p(-3)$. De fato, temos
\begin{eqnarray}p(-3) &=& \frac{(-3)^2 - 1}{\sqrt{1-(-3)}} \\ &=& \frac{9-1}{\sqrt{1+3}} \\ &=& \frac{8}{2} = 4 \end{eqnarray}
Logo, $-3$ pertence ao domínio natural de $f$.
Vamos tantar aplicar a função $f$ em $x = 1$. Temos
\begin{eqnarray}p(1) &=& \frac{1^2 - 1}{\sqrt{1-1}} \\ &=& \frac{1-1}{\sqrt{0}} \\ &=& \frac{0}{0} \end{eqnarray}
Encontramos que $p(1) = \displaystyle\frac{0}{0}$. Como não é possível fazer a conta $\displaystyle\frac{0}{0}$, não existe $p(1)$, o valor $p(1)$ não pode ser calculado, ou ainda, $p(1)$ não está definido. Logo, o número $1$ não faz parte do domínio natural da função $p$.
Para reforçar esse conceito, o domíno natural de uma função é o conjunto formado por todos os números reais onde a função está definida. Geralemente, o chamamos simplesmente de domínio da função.
Com o que vimos até aqui, podemos respoder à pergunta da introdução da postagem: então, o que fazemos quando uma função é dada sem seu domínio? E a resposta é: podemos calculá-lo.
Ok, podemos calculá-lo, mas como calcular o domínio de uma função? Bom, com certeza não é testando todos os números reais. No exemplo da função $p$ acima, tentamos calcular $p(-3)$ e $p(1)$ simplesmente para mostrar que $-3$ está no domínio de $p$ enquanto o $1$ não. Para determinar o domínio de uma função, devemos pensar de outra forma. E é isso o que vamos ver a seguir.
Como calcular o domínio de uma função
Antes de fazermos qualquer conta para calcular o domínio de uma função, vamos pensar na seguinte pergunta: Quais são os cálculos que não podem ser feitos com números reais? São dois, não podemos calcular raízes de índice par de números negativos e não podemos dividir por zero. É nisso que precisamos pensar na hora de calcular o domínio de uma função. Quando olhamos para a expressão de uma função devemos pensar assim: há raízes na expressão dessa função? Se sim, dentro das raízes de índice par não podemos ter nada negativo. Há quocientes na expressão dessa função? Se sim, a parte de baixo deles não pode ser zero. Desse modo, conseguimos determinar o domínio de uma dada função. Vamos fazer alguns exemplos para aplicar esse raciocício.
Exemplos:
1. Determine o domínio da função $q(x) = x^2+x-2$.
Solução: Temos que determinar o domínio da função $q(x) = x^2+x-2$. Quando olhamos para ela vimos alguma raiz de índice par ou algum quociente (divisão)? Não. Então, não importa o número que colocamos no lugar do $x$, $q(x)$ sempre poderá ser calculado. Outra forma de ver isso é perceber que em $q$ há somente potências com expoentes inteiros, multiplcações, somas e subtrações. Essas operações podem ser feitas com qualquer número real. Portanto o domínio da função $p$ é igual a $\mathbb{R}$. Usando a notação de domíno, podemos escrever $D(p) = \mathbb{R}$.
Observação: O que foi feito no examplo anterior pode ser estendido para qualquer função que seja dada por meio de um polinômio. Tais funções são chamadas funções polinomiais. Desse modo, o domínio de qualquer função polinomial é igual a $\mathbb{R}$.
2. Determine o domínio da função $h(x) = \displaystyle\frac{x^2-4}{x^3-3x^2+2x}$.
Solução: Olhando para a função $h$, podemos perceber que ela possui um quociente (divisão). Como observamos anteriormente, não podemos fazer divisão por zero. Desse modo, devemos determinar todos os valores de $x$ para os quais a parte de baixo do quociente é igual a $0$, pois eles não fazem parte do domínio. Logo, devemos resolver a equação $x^3-3x^2+2x = 0$ para sabermos quais valores de $x$ não estão no domínio.
Temos que $x^3-3x^2+2x = 0$ é equivalente a $x(x^2-3x+2) = 0$, o que nos garante que $x = 0$ é uma solução da equação. Agora, para determinar as outras soluções, devemos resolver a equação $x^2-3x+2 = 0$. Usando Soma e Produto, temos que as raízes da ùltima equação são $1$ e $2$. Logo, as soluções da equação $x^3-3x^2+2x = 0$ são $0$, $1$ e $2$. Portanto o domínio da função $h$ é $\mathbb{R} - \{0,1,2\}$, ou, de outra forma,. usando intervalos, $D(h) = (-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1,2) \cup (2, +\infty)$.
Observação: As funções no formato do exemplos acima, ou seja, funções que são o quociente de dois polinômios, são chamadas funções racionais. O raciocínio aplicado no exemplo anterior pode ser aplicado a qualquer função racional. O domínio de qualquer função racional é sempre igual a $\mathbb{R}$ retirando-se os números que anulam o polinômio que está na parte de baixo do quociente.
3. Calcule o domínio da função $f(x) = \sqrt{x-1}$.
Solução: Na função $f$ não temos um quociente, mas temos uma raiz quadrada. Como sabemos, dentro de uma raiz quadrada não pode haver números negativos, sendo assim, a função $f$ só pode ser aplicada em valores de $x$ tais que $x-1 \geq 0$. Desse modo, o conjunto solução dessa inequação é o domínio da função $f$. Resolvendo a inequação, temos
\begin{eqnarray} x - 1 &\geq& 0 \\ x &\geq& 1 \end{eqnarray}
Logo, a solução da inequação é o conjunto $(1, +\infty)$ e, consequentemente $D(f) = (1,+\infty)$.
4. Determine o domínio da função $g(x) = \displaystyle\frac{\sqrt{4-x^2}}{x + 1}$.
Solução: Na função $g$ tem uma raiz quadrada e também um quociente. Isso nos dá duas condições que os valores de $x$ precisam satisfazer para estarem no domínio de $g$, são elas, dentro da raiz quadrada não pode haver valores negativos, ou seja, $4-x^2 \geq 0$ e a parte de baixo do quociente não pode ser zero, ou seja, $x+1$ deve ser diferente de $0$. Vamos analisar essas casos separadamente. Temos
Inequação $4-x^2 \geq 0$:
Essa inequação pode ser reescrita na forma
$$(2+x)(2-x) \geq 0$$
Usando análise de sinal de polinômios (ou o gráfico da função $f(x) = 4-x^2$) temos que a solução dessa inequação é o conjunto $S = [-2,2]$. Logo, à priori, $x$ deve estar nesse intervalo para que possamos aplicar a função $g$. Vamos guardar esse resultado e analisar o próximo caso.
Equação $x+1 = 0$:
Observe que queremos que $x+1$ seja diferente de $0$, por isso, vamos resolver a equação $x+1=0$ para saber qual valor de $x$ não podemos ter no domínio de $g$. Temos:
\begin{eqnarray} x+1 &=& 0 \\ x &=& -1 \end{eqnarray}
Logo, $-1$ não pode estar no domínio de $g$.
Sendo assim, $x$ só pode assumir valores em $[-2,2]$ e $x$ não pode ser $-1$. Como o $1$ está no intervalo intervalo $[-2,2]$, devemos retirar o $1$ desse intervalo para obtermos o domínio de $g$. Portanto, o domínio de $g$ é o conjunto $[-2,1) \cup (1,2]$, ou, de outra forma, $D(g) = [-2,2]-\{-1\}$.
5. Calcule o domínio da função $p(x) = \displaystyle\frac{x^4-2x+1}{\sqrt[3]{x-2}}$.
Solução: Nessa função temos um quociente e, como sabemos, a parte de baixo do quociente nunca pode ser igual a zero. Olhando para a parte de baixo do quociente vemos uma raiz que possui índice ímpar igual a $3$, ou seja, é uma raiz cúbica. Como o índice da raiz é ímpar, não precisamos nos preocupar com o sinal da expressão que está dentro da raiz, pois as raízes de índice ímpar estão definidas para qualquer número real. Logo, como ela está em baixo no quociente, ela não ser igual a zero somente. Desse modo, temos que resolver a equação $\sqrt[3]{x-2} = 0$. Uma raiz, de qualquer índice, é igual a $0$ se, e somente se, o que está dentro da raiz é igual a $0$. Assim, a equação $\sqrt[3]{x-2} = 0$ é equivalente a $x-2 = 0$ que possui solução $x = 2$. Logo, o único valor no qual a função $p$ não está definida é o $2$. Portanto, $D(p) = \mathbb{R} - \{2\}$.
6. Determine o domínio da função $l(x) = \displaystyle\frac{x^2}{\sqrt[4]{2x+3}}$.
Solução: Na função $l$ há um quocientes onde temos uma raiz na parte de baixo. Assim, o que está dentro da raiz não pode ser igual a $0$ e, além disso, como a raíz possui índice par igual a $4$, o que está dentro dela também deve ser estritamente maior que $0$. Desse modo, temos que resolver a inequação $2x+3 > 0$. Temos
\begin{eqnarray} 2x + 3 &>& 0 \\ 2x &>& -3 \\ x &>& -\frac{3}{2} \end{eqnarray}
Logo, o conjunto solução da inequação é $S = \left(-\displaystyle\frac{3}{2}, +\infty\right)$. Portanto $D(l) = \left(-\displaystyle\frac{3}{2}, +\infty\right)$.
7. Determine o domínio da função $f(x) = \displaystyle\frac{1}{x} + \displaystyle\frac{4x}{x^2-2}$.
Solução: Na função $f$ temos dois quociente com as expressões $x$ e $x^2-2$, respectivamente, na parte de baixo dos quocientes. Desse modo, nenhuma delas pode ser zero e, assim, devemos resolver as equações $x = 0$ (que já está resolvida) e $x^2-2=0$, pois as soluções delas não estão no domínio de $f$. Temos que as soluções da equação $x^2-2=0$ são $\sqrt{2}$ e $-\sqrt{2}$. Portanto, $D(f) = \mathbb{R} - \{0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}\}$.
8. Determine o domínio da função $f(x) = \displaystyle\frac{\sqrt{x+1}}{2} - \displaystyle\frac{1}{x+4}$.
Solução: Nessa função, temos uma raiz quadrada com a expressão $x+1$ dentro e um quociente com a expressão $x+4$ em baixo. Desse modo, devemos ter $x+1 \geq 0$ e $x+4$ diferente de $0$. Resolvendo a inequação, temos $x \geq -1$, ou seja, essa é a primeira condição que $x$ tem que satisfazer. Da equação $x+4=0$, temos que $x=-4$, ou seja, $x$ deve ser diferente de $4$ para que esteja no domínio da função. Observe que $x \geq -1$ implica que $x \neq 4$, assim, já é suficiente $x$ satisfazer a primeira condição. Logo, $D(f) = [-1, +\infty)$.
9. Determine o domínio da função $f(x) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x+4}} + \displaystyle\frac{4x}{\sqrt{2-x}}$.
Solução: Nessa função temos dois quocientes com raízes quadradas na parte de baixo. Desse modo, elaa não podem ser iguais a $0$ e nem o que está dentro delas ser negativo. Assim, os valores de $x$ que estão no domínio dessa função satisfazem $x+4 > 0$ e $2-x > 0$. Em outras palavras, o domínio dessa função será a interseção dos conjuntos solução dessas duas inequações. Temos:
Primeira inequação:
\begin{eqnarray} x + 4 &>& 0 \\ x &>& -4 \end{eqnarray}
Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S_1 = (-4, +\infty)$
Segunda inequação:
\begin{eqnarray} 2-x &>& 0 \\ -x &>& -2 \\ x &<& 2 \end{eqnarray}
Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S_2 = (-\infty, 2)$.
Portanto, o domínio da função $f$ é $S_1 \cap S_2 = (-4,2)$.
Resumo da postagem e exemplo:
Acredito que, com os exemplos feitos aqui, você será capaz de determinar o domínio de qualquer função algébrica.
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