Já vimos as operações de união e de interseção de conjuntos e suas propriedades, agora podemos seguir em frente com a operação de diferença de conjuntos. Essa operação não é tão frequente nos cálculos matemáticos básicos, mas aparece com uma certa frequência em cálculos mais avançados e no ensino superior. Apesar disso, a diferença de conjuntos não é uma operação complexa, pelo contrário, é bem simples. Então, vamos aprender o que é a diferença de conjuntos.
Diferença de Conjuntos
Considere dois conjuntos $A$ e $B$ quaisquer. Chamamos diferença de conjuntos, denotada por $A-B$, a operação entre conjuntos definida por
$$A-B = \{x:x \in A \mbox{ e } x \notin B\}.$$
Ou seja, o conjunto $A-B$ é formado pelos elementos que estão em $A$ mas não estão em $B$.
A diferença de conjuntos, algumas vezes, aparece denotada como $A \backslash B$.
Podemos visualizar essa operação por meio de diagramas.
$A-B$
Vejamos alguns exemplos.
Exemplos
1. Considere os conjuntos
$$A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \mbox{ e } B=\{2,4,6,8\}.$$
Determine $A-B$.
Solução: Pela definição de diferença de conjuntos, o conjunto $A-B$ é formado pelos elementos que estão em $A$ e não estão em $B$. Logo,
$$A-B=\{1,3,5,7\}.$$
2. Sejam $A = \{a,b,c,d\}$ e $B = \{c,d,e,f\}$. Determine $A-B$.
Solução: Novamente, usando a definição de diferença de conjuntos temos
$$A-B = \{a,b\}.$$
3. Considere os seguintes conjuntos
$$A=\{\{1,2\},3,5,7\} \mbox{ e } B=\{1,2,9,11\}.$$
Determine $A-B$.
Solução: Neste caso, $A-B = \{\{1,2\},3,5,7\}$, que é o próprio conjunto $A$. Isso ocorre pois nenhum elemento de $A$ está em $B$, ou seja, todo elemento de $A$ não é elemento de $B$. Assim, quando procuramos, dentre os elementos de $A$, aqueles que não estão em $B$, vemos que todos os elementos de $A$ não estão em $B$, logo, $A-B = A$.
4. Sejam $A = \{a,b\}$ e $B=\{1,a,b,2\}$. Determine $A-B$.
Solução: O conjunto $A-B$ é formado por todos os elementos de $A$ que não estão em $B$. Nesse caso, todos os elementos de $A$ estão também em $B$, em outras palavras, não existe elemento em $A$ que não esteja em $B$. Portanto $A-B = \emptyset$.
5. Considere os conjuntos
$$A = \{a,b,c,1,2\}; \mbox{ } B = \{b,c,3,4,5\} \mbox{ e } C = \{3,4,5\}.$$
Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
(a) $b \in A-B$
(b) $a \in A-C$
(c) $5 \notin B-C$
(d) $2 \notin A-B$
(e) $\{1,2\} \subset A-C$
Solução:
(a) Falso. Observe que $b \in A$ e $b \in B$. Desse modo $b \notin A-B$.
(b) Verdadeiro. Temos que $a \in A$ e $a \notin C$, ou seja, $a$ satisfaz a definição para estar em $A-C$.
(c) Verdadeiro. Observe que $5$ está em $B$ e está em $C$, logo $5$ não pode estar em $B-C$.
(d) Falso. Temos que $2 \in A$ e $2 \notin B$, logo $2 \in A-B$.
(e) Verdadeiro. O números $1$ e $2$ estão no conjunto $A$ e não estão no conjunto $C$. Desse modo, os elementos de $\{1,2\}$ estão em $A-C$. Logo, pela definição de inclusão de conjuntos $\{1,2\} \subset A-C$.
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