Nos últimos dois post estudamos duas operações importantíssimas com conjuntos, a união e a interseção de conjuntos. Antes de prosseguirmos com mais operações com conjuntos, vamos ver as propriedades que a união e a interseção de conjuntos possuem. As propriedades da união e da interseção de conjuntos são muito úteis para resolver problemas da Teoria dos Conjuntos. Vamos lá!
Propriedades da união e da interseção de conjuntos
Propriedades da união de conjuntos
Considere $A$, $B$ e $C$ conjuntos.
1. $A \cup A = A$
2. $A \cup \emptyset = A$
3. $A \cup B = B \cup A$
4. $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$
Todas a propriedades de um objeto matemático ou de uma operações possuem demonstração. Tudo na matemática possui justificativa. Vamos demonstrar a propriedade 2 da união de conjuntos.
Demonstração do item 2: Para mostrarmos que $A \cup \emptyset = A$, pela definição de igualdade de conjuntos, devemos mostrar que $A \cup \emptyset \subset A$ e que $A \subset A \cup \emptyset$. Dados dois conjuntos quaisquer $A$ e $B$, para mostrar que $A \subset B$, devemos tomar um elemento $x \in A$ qualquer e mostrar que $x \in B$. Vamos fazer isso para mostrar as duas inclusões $A \cup \emptyset \subset A$ e $A \subset A \cup \emptyset$. De fato, dado $x \in A \cup \emptyset$, pela definição de união de conjuntos, $x \in A$ ou $x \in \emptyset$. Como não há elementos no conjunto vazio, segue que $x \in A$. Logo, todo elemento de $A \cup \emptyset$ é também elemento de $A$, assim $A \cup \emptyset \subset A$. Considere agora $x \in A$, pela definição de união de conjuntos $x \in A \cup \emptyset$. Desse modo, todo elemento de $A$ é também elemento de $A \cup \emptyset$. Portanto $A \subset A \cup \emptyset$. Da duas inclusões, $A \cup \emptyset \subset A$ e que $A \subset A \cup \emptyset$, concluímos que $A \cup \emptyset = A$.
Propriedades da interseção de conjunto
Considere $A$, $B$ e $C$ conjuntos.
1. $A \cap A = A$
2. Se $A \subset B$, então $A \cap B = A$
3. $A \cap \emptyset = \emptyset$
4. $A \cap B = B \cap A$
5. $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
Aqui, vamos demonstrar a propriedade 4.
Demonstração da propriedade 4: Assim como fizemos para demonstrar a propriedade 2 da união de conjuntos, vamos fazer aqui, ou seja, vamos mostrar que $A \cap B \subset B \cap A$ e $B \cap A \subset A \cap B$. Dado $x \in A \cap B$, pela definição de interseção de conjuntos, segue que $x \in A$ e $x \in B$. Sendo assim, temos que $x \in B$ e $x \in A$, ou seja, $x \in B \cap A$. Logo $A \cap B \subset B \cap A$. Considere agora $x \in B \cap A$. Desse modo, pela definição de interseção de conjuntos, temos que $x \in B$ e $x \in A$, ou ainda, $x \in A$ e $x \in B$. Logo, $x \in A \cap B$. Assim, $B \cap A \subset A \cap B$. Portanto, podemos concluir que $A \cap B = B \cap A$.
Outras propriedades da união e da interseção de conjuntos
Sejam $A$, $B$ e $C$ conjuntos quaisquer. As seguintes propriedades relacionam a união e a interseção de conjuntos.
1. $A \cup (A \cap B) = A$
2. $A \cap (A \cup B) = A$
3. $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
4. $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
Vamos demonstrar a propriedade 3.
Demonstração da propriedade 3: Seguindo o raciocínio que usamos nas duas demonstrações anteriores e usando a definição de igualdade de conjuntos, vamos mostrar que $A \cup (B \cap C) \subset (A \cup B) \cap (A \cup C)$ e $(A \cup B) \cap (A \cup C) \subset A \cup (B \cap C)$. Vejamos, considere $x \in A \cup (B \cap C)$. Sendo assim, pela definição de união de conjuntos, $x \in A$ ou $x \in B \cap C$. Usando agora a definição de interseção de conjuntos, temos que $x \in A$ ou $x \in B$ e $x \in C$. Podemos reescrever essa última afirmação de modo equivalente, isto é, $x \in A$ ou $x \in B$ e $x \in A$ ou $x \in C$. Usando novamente a definição de união de conjuntos, obtemos que $x \in A \cup B$ e $x \in A \cup C$. Da definição de interseção de conjuntos, temos que $x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)$. Portanto, temos a primeira inclusão, $A \cup (B \cap C) \subset (A \cup B) \cap (A \cup C)$. Vamos agora mostrar a segunda inclusão. Seja $x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)$. Pela definição de interseção de conjuntos, segue que $x \in A \cup B$ e $x \in A \cup C$. Usando agora a definição de união de conjuntos, temos que $x \in A$ ou $x \in B$ e $x \in A$ ou $x \in C$. Equivalentemente, $x \in A$ ou $x \in B$ e $x \in C$. Consequentemente, usando a definição de interseção de conjuntos, $x \in A$ ou $x \in B \cap C$ e, usando a definição de união de conjuntos, $x \in A \cup (B \cap C)$. Portanto $(A \cup B) \cap (A \cup C) \subset A \cup (B \cap C)$. Está demonstrada então a igualdade $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$.
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