Nas quatro postagens anteriores sobre teoria dos conjuntos (acesse-as aqui) vimos o que é bem básico, como definição de elementos, de conjuntos, a relação de pertinência, a definição de subconjuntos, a relação de inclusão de conjuntos e a definição de igualdade de conjuntos. Com a base bem definida e compreendida, podemos passar agora às operações de conjuntos, que são, união de conjuntos, interseção de conjuntos e diferença de conjuntos. Nesse post abordaremos a união de conjuntos, que algumas vezes é chamada de reunião de conjuntos. Então, vamos aprender o que é a união ou reunião de conjuntos.
União de conjuntos
Considere dois conjuntos quaisquer $A$ e $B$. Definimos união do conjunto $A$ com o conjunto $B$, denotada por $A \cup B$ (lê-se $A$ união $B$), como sendo o conjunto
$$A \cup B = \{x : x \in A \mbox{ ou } x \in B\}.$$
Em outras palavras, o conjunto $A \cup B$ é formado por todos os elementos que estão em $A$ ou estão em $B$. Podemos ainda pensar no conjunto $A \cup B$ como sendo o conjunto formado da seguinte forma: pegamos todos os elementos de $A$ e todos os elementos de $B$ e formamos um novo conjunto com esses elementos. Esse conjunto será $A \cup B$.
$A \cup B$
Para que um elemento $x$ não esteja em $A \cup B$, ele não pode estar nem em $A$ e nem em $B$.
Usando um diagrama, podemos visualizar a união de dois conjuntos
$A \cup B$
Vejamos alguns exemplos:
Exemplos
1. Considere os conjuntos
$$A = \{1,2,3,4\} \mbox{ e } B=\{8,9,10\}.$$
O conjunto $A \cup B$ é
$$A \cup B = \{1,2,3,4,8,9,10\}.$$
Perceba como a defnição de união está satisfeita nesse último conjunto, observando cada elemento, percebemos que ele está em $A$ ou está em $B$.
2. Sejam $A = \{a,b,c\}$ e $B=\{b,c,d,e,f\}$. Temos
$$A \cup B = \{a,b,c,d,e,f\}.$$
Observe que, os elementos $b,c$ estão em $A$ e em $B$. Quando construímos o conjunto $A \cup B$, não há a necessidade de colocar esses elementos duas vezes na união. Sempre que fizermos a união de dois conjuntos, onde esses conjuntos possuem elementos em comum, esses elementos em comum aparecem somente uma vez na união dos conjuntos.
3. Considere os conjuntos
$$A=\{1,2,3\}, \mbox{ } B=\{2,5,a,b\} \mbox{ e } C = \{a,3,6,7\}.$$
Classifique as seguintes afirmações em verdadeiras ou falsas.
(a) $1 \in A \cup B$
(b) $3 \in B \cup C$
(c) $5 \in A \cup C$
(d) $a \notin A \cup B$
(e) $b \notin A \cup C$
Solução:
(a) Verdadeiro. Temos $A \cup B = \{1,2,3,5,a,b\}$. Claramente $1 \in A \cup B$.
(b) Verdadeiro. No item anterior calculamos a união dos conjuntos para verificar se a afirmação era falsa ou verdadeira, mas não precisamos fazer isso. Quando os conjuntos são muito grandes, esse caminho pode ser trabalhoso. Pela definição de união de conjuntos, para que um elemento esteja na união de dois conjuntos, basta que ele esteja em um deles. Assim, para verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa, basta verificarmos se $3$ está em $A$ ou em $B$. Observe que $3 \in A$, logo a afirmação é verdadeira.
(c) Falso. Considerando $A$ e $B$ quaisquer, para que um elemento esteja em $A \cup B$, pela definição, ele deve estar em $A$ ou $B$. Assim, como vimos logo após a definição de união de conjuntos, para que um elemento não esteja em $A \cup B$, ele não deve estar nem $A$ e nem $B$. Observe que $5 \notin A$ e $5 \notin C$ e, portanto $5 \notin A \cup C$.
(d) Falso. Veja que $a \in B$, o que implica $a \in A \cup B$.
(e) Verdadeiro. Veja que $b \notin A$ e $b \notin C$, logo $b \notin A \cup C$.
União de conjuntos com mais de dois conjuntos
A união de conjuntos pode ser definida para mais de dois conjuntos. Na verdade, pode ser definida para uma quantidade infinita (inclusive, não enumerável) de conjuntos. Vamos nos ater aqui a uma quantidade finita.
Considere $A_1, A_2, \dots, A_n$ $n$ conjuntos quaisquer onde $n$ é um número natural maior ou igual a $2$. Definimos a união dos conjuntos $A_1, A_2, \dots, A_n$ por
$$A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \{x : x \in A_i \mbox{ para algum } i=1,2,\dots, n\}.$$
Em outras palavras, o conjunto $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$ é o conjunto formado por todos os elementos que estão em algum $A_i$ com $i=1,2,\dots,n$. Podemos ainda dizer que $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$ é construído da seguinte forma: pegamos os elementos de todos os $A_i$ com $i = 1,2, \dots, n$ e construímos um novo conjunto, esse conjunto é $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$.
Podemos escrever essa união de $n$ conjuntos de uma forma mais resumida, usando a seguinte notação:
$$A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \displaystyle\bigcup_{i=1}^n A_i.$$
Para que um elemento $x$ não esteja em $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$, ele não pode estar em nenhum $A_i$ com $i = 1,2,\dots,n$.
Usando um diagrama, podemos ver a união de mais de dois conjuntos
Vejamos alguns exemplos.
Exemplos
1. Considere os conjuntos
$$A=\{a,b\}, \mbox{ }B = \{\{a\},1,2,3\}, \mbox{ } C=\{4,5\} \mbox{ e } D=\{a,b,c\}.$$
Temos,
$$A \cup B = \{a,b,\{a\},1,2,3\}$$
$$A \cup B \cup C = \{a,b,\{a\},1,2,3,4,5\}$$
$$A \cup B \cup C \cup D = \{a,b,\{a\},1,2,3,4,5,c\}$$
2. Sejam
$$A = \{a,b,c\}, \mbox{ } B=\{\{a\},b,c\}, \mbox{ e } C=\{\{a,b\},c,d\}.$$
Classifique as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas.
(a) $\{a,b\} \in A \cup B$
(b) $\{a\} \notin A \cup B$
(c) $\{b\} \in A \cup B \cup C$
(d) $d \in A \cup B \cup C$
Solução:
(a) Falso. O conjunto $\{a,b\}$ é um elemento de $C$, mas não é elemento nem de $A$ e nem de $B$. Logo $\{a,b\} \notin A \cup B$.
(b) Falso. O conjunto $\{a\}$ é um elemento de $B$, sendo assim, $\{a\} \in A \cup B$.
(c) Falso. Observe que $\{b\}$ não é elemento nem de $A$, nem de $B$ e nem de $C$. Logo $\{b\} \notin A \cup B \cup C$.
(d) Verdadeiro. Temos que $d \in C$. Portanto $d \in A \cup B \cup C$.
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