Nesse post vamos dar continuidade às operações com conjuntos. No post anterior aprendemos o que é a união de conjuntos e, agora, vamos aprender o que é a interseção de conjuntos. A união e a interseção de conjuntos são operações entre conjuntos muito usadas na matemática, é muito importante conhecê-las. Vamos lá!
Interseção de conjuntos
Considere dois conjuntos quaisquer $A$ e $B$. Definimos interseção do conjunto $A$ com o conjunto $B$, denotada por $A \cap B$ (lê-se $A$ interseção $B$), como sendo o conjunto
$$A \cap B = \{x : x \in A \mbox{ e } x \in B\}.$$
Em outras palavras, o conjunto $A \cap B$ é formado por todos os elementos que estão em $A$ e em $B$, ao mesmo tempo.
Para que um elemento $x$ não esteja em $A \cap B$, ele não pode estar em $A$ ou em $B$, ou seja, se $x$ está em $A$ e não está em $B$ ou, se $x$ está em $A$ e não está em $B$, então $x \notin A\cap B$.
Podemos representar a interseção de dois conjuntos pelo diagrama
Vejamos alguns exemplos:
Exemplos
1. Considere os conjuntos
$$A = \{1,2,3\} \mbox{ e } B=\{1,3,5,7\}.$$
O conjunto $A \cap B$ é
$$A \cap B = \{1,3\}.$$
Perceba como a definição de interseção está satisfeita nesse último conjunto, os números $1$ e $3$ são os únicos elementos que estão em $A$ e em $B$.
2. Sejam $A = \{a,b,c\}$ e $B=\{d,e,f,g\}$. Temos
$$A \cap B = \emptyset.$$
Quando temos dois conjuntos que não possuem elementos em comum, não haverá nenhum elemento na interseção desses conjuntos, pois não existe um elementos que esteja nos dois conjuntos ao mesmo tempo. Desse modo, a interseção desses conjuntos será o conjunto vazio, o conjunto no qual não há elementos.
3. Considere os conjuntos
$$A=\{0,2,3\}, \mbox{ } B=\{1,2,5,a,b\} \mbox{ e } C = \{a,0,2,3,5,7\}.$$
Classifique as seguintes afirmações em verdadeiras ou falsas.
(a) $2 \in A \cap B$
(b) $3 \in B \cap C$
(c) $5 \in A \cap C$
(d) $a \notin A \cap C$
(e) $0 \notin A \cap C$
Solução:
(a) Verdadeiro. Temos $A \cap B = \{2\}$. Claramente $2 \in A \cap B$.
(b) Falso. No item anterior calculamos a interseção dos conjuntos para verificar se a afirmação era falsa ou verdadeira, mas isso não é necessário. Quando os conjuntos são muito grandes, isso pode dar trabalho. Pela definição de interseção de conjuntos, para que um elemento esteja na interseção de dois conjuntos, ele deve estar nos dois conjuntos. Assim, para verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa, basta verificarmos se $3$ está em $A$ e em $B$. Observe que $3 \notin B$, logo a afirmação é falsa.
(c) Falso. Basta observarmos que $5 \notin A$.
(d) Verdadeiro. Veja que $a \notin A$, o que implica $a \notin A \cap B$.
(e) Falso. Como $0 \in A$ e $0 \in C$, logo $0 \in A \cap C$.
Interseção de conjuntos com mais de dois conjuntos
A interseção de conjuntos pode ser definida para mais de dois conjuntos. Na verdade, pode ser definida para uma quantidade infinita (inclusive, não enumerável) de conjuntos. Vamos nos ater aqui a uma quantidade finita.
Considere $A_1, A_2, \dots, A_n$ $n$ conjuntos quaisquer onde $n$ é um número natural maior ou igual a $2$. Definimos a interseção dos conjuntos $A_1, A_2, \dots, A_n$ por
$$A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n = \{x : x \in A_i \mbox{ para todo } i=1,2,\dots, n\}.$$
Em outras palavras, o conjunto $A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n$ é o conjunto formado por todos os elementos que estão em $A_i$ para todo $i=1,2,\dots,n$, ou ainda, é formado pelos elementos que estão em todos os $A_i$'s.
Podemos escrever essa interseção de $n$ conjuntos de uma forma mais resumida, usando a seguinte notação:
$$A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n = \displaystyle\bigcap_{i=1}^n A_i.$$
Para que um elemento $x$ não esteja em $A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n$, ele não pode estar em algum $A_i$ com $i = 1,2,\dots,n$, ou seja, se existe algum índice $i$ para o qual $x \notin A_i$, então $x \notin A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n$.
Usando um diagrama, podemos visualizar a interseção de mais de dois conjuntos
$A \cap B \cap C \cap D \cap E$
Vejamos alguns exemplos.
Exemplos
1. Considere os conjuntos
$$A=\{a,b,2,4,6\}, \mbox{ }B = \{\{a\},a,b,2,3,4,6\}, \mbox{ } C=\{4,5,6\} \mbox{ e } D=\{a,b,c,4,8,10\}.$$
Temos,
$$A \cap B = \{b,2,4,6\}$$
$$A \cap B \cap C = \{4,6\}$$
$$A \cap B \cap C \cap D = \{4\}$$
2. Sejam
$$A = \{a,b,c,d\}, \mbox{ } B=\{\{a\},b,c,d\}, \mbox{ e } C=\{\{a,b\},a,b,c\}.$$
Classifique as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas.
(a) $\{a,b\} \in A \cap B$
(b) $\{a\} \notin A \cap B$
(c) $b \in A \cap B \cap C$
(d) $d \in A \cap B \cap C$
Solução:
(a) Falso. O conjunto $\{a,b\}$ é um elemento de $C$, mas não é elemento nem de $A$ e nem de $B$. Logo $\{a,b\} \notin A \cap B$.
(b) Verdadeiro. O conjunto $\{a\}$ é um elemento de $B$, mas não é um elemento de $A$, sendo assim, $\{a\} \notin A \cap B$.
(c) Verdadeiro. Observe que $b$ é um elemento de $A$, de $B$ e de $C$. Logo $b \in A \cap B \cap C$.
(d) Falso. Temos que $d \notin C$. Portanto $d \notin A \cap B \cap C$.
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