Esse é o primeiro post sobre números reais. É muito bom começar a falar desse assunto, pois ele é muito importante. Sob o meu ponto de vista, esse assunto de números reais é o elo de ligação entre o ensino médio e o ensino superior, pois esse assunto vai desde a matemática básica até a matemática "não tão básica assim", aquela que já está com um pé no ensino superior. E esse caminho é percorrido sem saltos, tudo está interligado.
A maneira na qual vou abordar esse assunto aqui vai ajudar, com toda a certeza, tanto quem está para fazer vestibular ou enem quanto quem vai começar um curso superior que possui alguma disciplina de matemática, por exemplo, Cálculo I. Digo isso pois vou começar desde o começo mesmo, desde a definição de número real e suas propriedades. Vamos aprender o que é um número real. Fique ligado nas postagens do blog. Vamos lá!
Observação: Para uma boa compreensão dos números reais é bom saber um pouco de Teoria dos Conjuntos, pelo menos as relações de pertinência e de inclusão. Se você se lembra disso, ótimo, pode continuar, mas se não lembra muito bem, relembre esses assuntos aqui.
Números reais
Um número real é qualquer número que possa ser escrito na forma decimal, ou seja, é qualquer número, digamos, "com vírgula", com nenhuma casa decimal, com um número finito de casas decimais ou com um número infinito de casas decimais. Vejamos alguns exemplo de números reais:
$$-8; \mbox{ } 0; \mbox{ } 1,75; \mbox{ } -2,333; \mbox{ } 0,\overline{36}; \mbox{ } \displaystyle\frac{8}{5}; \mbox{ } \sqrt{3}; \mbox{ } -\sqrt[3]{16}; \mbox{ } \pi.$$
No número $0,\overline{36}$, a barra significa que a sequência de números abaixo da barra se repete infinitamente, ou seja,
$$0,\overline{36} = 0.3636363636\dots.$$
O conjunto dos números é denotado por $\mathbb{R}$.
Como vocês podem ver, a definição de número real é bem simples. Vamos continuar com mais detalhes sobre os números reais.
Subconjuntos dos números reais
Dentro do conjunto dos números reais há vários subconjuntos importantes, muitas vezes eles são chamados de subconjuntos numéricos. São eles:
- O conjunto dos números naturais: $\mathbb{N} = \{0,1,2,3,4,\dots\}$;
- O conjuntos dos números inteiros: $\mathbb{Z} = \{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$;
- O conjuntos dos números racionais: $\mathbb{Q} = \left\{\displaystyle\frac{a}{b}:a,b \in \mathbb{Z} \mbox{ e } b \neq 0\right\}$;
- O conjunto dos números irracionais: $\mathbb{I} = \mathbb{R} - \mathbb{Q}$.
Vamos ver esses subconjunto mais em detalhes. Como já foi dito anteriormente, temos $\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$, $\mathbb{Z} \subset \mathbb{R}$, $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ e $\mathbb{I} \subset \mathbb{R}$.
Observando os conjuntos $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$ vemos, claramente, que $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$, ou seja, todo número natural é também um número inteiro. Observe que a inclusão contrária não vale.
O conjunto dos números racionais $(\mathbb{Q})$ nada mais é do que o conjunto de todas as frações, ou seja, os elementos de $\mathbb{Q}$ são da forma $\displaystyle\frac{a}{b}$ onde o número inteiro $a$ é chamado de numerador e o inteiro não nulo $b$ é chamado de denominador. Olhando agora para os conjuntos $\mathbb{Z}$ e $\mathbb{Q}$, temos que $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$, pois cada número inteiro $a$ pode ser escrito na forma $\displaystyle\frac{a}{1}$, ou seja, uma fração com denominado igual a $1$, por exemplo
$$2 = \displaystyle\frac{2}{1}; \mbox{ } -5 = \displaystyle\frac{-5}{1}; \mbox{ } 0 = \displaystyle\frac{0}{1}.$$
Logo, todo número inteiro também é um número racional. Assim, temos uma sequência de inclusões
$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{Z}.$$
Vamos falar um pouco agora sobre os números irracionais. Como vimos na definição acima, o conjunto dos números irracionais é dado por $\mathbb{I} = \mathbb{R} - \mathbb{Q}$, isto é, o conjunto dos números reais que não são racionais, ou ainda, é o conjunto de todos os números que não podem ser escritos como fração. E quais são esses números? Como $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$ estão contidos em $\mathbb{Q}$, os naturais e os inteiros não podem ser irracionais. Assim, para discutirmos se são irracionais ou não, sobraram os números decimais que possuem uma quantidade finita de casas decimais, os que possuem uma quantidade infinita de casas decimais com blocos de repetição (como o $0,\overline{36}$) e os que possuem uma quantidade infinita de casas decimais sem blocos de repetição, ou seja, os números nas casas decimais nunca vão formar um padrão de repetição.
O fato é que, para os números decimais com um número finito de casas decimais e para os números decimais que possuem um número infinito de casas decimais com blocos de repetição existem métodos para escrevê-los como frações, ou seja, esses números são também números racionais (vamos tratar desses métodos futuramente). Desse modo, sobraram os números decimais que possuem um número infinito de casas decimais sem blocos de repetição e esses são os números irracionais, não é possível escrever esses números como uma fração. Esse é o conjunto $\mathbb{I}$. Vamos ver alguns exemplos de números irracionais:
$$\sqrt{3} = 1,7320508\dots, \mbox{ } \pi = 3,14159265\dots, \mbox{ } -\sqrt{2} = -1,4142135\dots \mbox{ e } e=2,7182818\dots.$$
Temos então que $\mathbb{I} \subset \mathbb{R}$, porém $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ e $\mathbb{Q}$ são conjuntos disjuntos de $\mathbb{I}$, ou seja, não possuem elementos em comum. Podemos visualizar a relação dos subconjuntos de $\mathbb{R}$ no seguinte diagrama.
Assista uma aula sobre os subconjuntos dos números reais.
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