Acredito que a Teoria dos Conjuntos é uma parte fundamental da Matemática. Ela simplesmente aparece em todas as áreas da Matemática (em todas mesmo). Não é possível estudar Cálculo, Geometria, Álgebra Linear, Álgebra, Equações Diferenciais, etc., sem saber, pelo menos, o básico da Teoria dos Conjuntos. Então, esse é um assunto que não pode ser deixado de lado. Por esse motivo, nesse post, vamos começar do começo, vamos definir o que é um conjunto, o que é um elemento de um conjunto e algo muito importante, como escrever um conjunto de maneira correta. Além disso, veremos também os conjuntos numéricos. Ao final veremos alguns exemplos.
Definição de conjuntos e elementos
Na Matemática, a palavra conjunto tem o mesmo significado que usamos no português (isso pode ter parecido estranho, mas na Matemática, aberto não é antônimo de fechado). Assim, um conjunto é uma coleção, um agrupamento ou uma classe de objetos que podem ser abstratos ou não. Os objetos nesse conjunto são chamados de elementos ou membros do conjunto. Dizemos que um elemento do conjunto pertence ao conjunto. Se um objeto não é um elemento de um dado conjunto, dizemos que ele não pertence a esse conjunto. Assim, está definida a relação que existe entre objetos e conjuntos, a chamada relação de pertinência, isto é, dado um objeto e um conjunto, podemos dizer se este objeto pertence ou não pertence ao conjunto, verificando se ele é um elemento do conjunto.
Notações
De um modo geral (e isto não é uma regra), os conjuntos são comumente denotados por letras maiúsculas:
$$A, B, C, \dots$$
Também de um modo geral, os elementos são denotados por letras minúsculas:
$$a,b,c, \dots$$
Usamos o símbolo $\in$ para dizer que um objeto pertence a um conjunto e o símbolo $\not\in$ para dizer que um objeto não pertence. Por exemplo, dados um objeto $x$ e um conjunto $A$, escrevemos $x \in A$ se $x$ pertence a $A$, ou seja, se $x$ é um elementos de $A$ e escrevemos $x \not\in A$ se $x$ não pertence a $A$, ou seja, se $x$ não é um elemento de A.
Podemos representar conjuntos usando diagramas:
$x \in A$ e $y \not\in A$
Maneiras de Escrever um Conjunto
Agora, vamos aprender a escrever um conjunto. Podemos escrever um conjunto de duas formas diferentes, a saber:
1. Listando os elementos entre chaves (não entre colchetes e nem entre parênteses, mas entre chaves).
Vejamos alguns exemplos:
(a) $\mathbb{N} = \{0,1,2,3,4,5,\dots\}$ (conjunto dos números naturais)
(b) $\mathbb{Z} = \{\dots -3,-2,-1, 0,1,2,3,\dots\}$ (conjunto dos números inteiros)
(c) $A = \{1,3,5,7,\dots,97,99\}$
(d) $B = \{\dots, -4, -2, 0, 2, 4, \dots\}$
(e) $C = \{2,4,6,8\}$
(f) $D = \{\dots,-2,-1,0,1,2,3, \dots\}$
Essa maneira de descrever um conjunto é mais adequada quando o conjunto é finito ou infinito com um padrão bem claro de como são obtidos os elementos que não estão propriamente escritos no conjunto. Para dizer que o padrão do conjunto se repete, usamos reticências, que podem aparecer antes, no meio, ou depois dos elementos listados. Nos itens 1(a) e 1(b) temos as definições dos conjuntos dos números naturais e dos números inteiros, denotados respectivamente por $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$. No item 1(c) temos o conjunto dos números naturais ímpares menores 101, no item 1(d) o conjunto dos inteiros pares, no item 1(e) um conjunto finito no qual todos seus elementos estão listados e no item 1(f) os inteiros menores que 4.
2. Descrevendo os elementos do conjunto por meio de uma propriedade (e isso também entre chaves).
Para ficar mais claro, de um modo geral, essa segunda maneira de escrever um conjunto tem a seguinte forma:
$$\{x : x \mbox{ possui a propriedade P}\}, \mbox{ ou }$$
$$\{x \in U : x \mbox{ possui a propriedade P}\}$$
Aqui, esses dois pontos significam tal que e podem ser substituídos por uma barra vertical $|$. Assim, a primeira forma é lida como conjunto dos elementos $x$ tal que x possui a propriedade P e a segunda forma é lida como conjunto dos elementos x pertencentes a $U$ tal que $x$ possui a propriedade P. O conjunto $U$ é chamado de conjunto universo.
Vejamos alguns exemplos:
(a) $\mathbb{Q} = \left\{\displaystyle\frac{a}{b} : a,b \in \mathbb{Z} \mbox{ e } b \neq 0\right\}$ (conjunto dos números racionais)
(b) $\mathbb{R} = \{x : x \mbox{ pode ser escrito na forma decimal}\}$ (conjunto dos números reais)
(c) $X = \left\{\displaystyle\frac{1}{n}: n \mbox{ é um número natural}\right\}$
(d) $Y = \{ x \in \mathbb{R} : x > 0\}$
(e) $Z = \{a \in \mathbb{N} : a \mbox{ divide } 36\}$
(f) $S = \{ x \in \mathbb{R} : 0<x<1\}$
Essa maneira de descrever um conjunto é mais usada quando o conjunto é infinito ou quando os elementos não possuem um padrão de repetição. Porém, nada impede que essa forma seja usada para descrever conjuntos finitos ou com um padrão de repetição bem claros. Nos itens 1(a) e 1(b) temos os conjuntos numéricos dos racionais e dos reais, denotados respectivamente por $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}$. No item 2(c) temos um conjunto formado por elementos na forma $\displaystyle\frac{1}{n}$ onde $n \in \mathbb{N}$. Por exemplo, os números $\displaystyle\frac{1}{2}$ e $\displaystyle\frac{1}{10}$ são elementos desse conjunto. O conjunto no item 2(d) não pode ser descrito listando seus elementos, pois não há um padrão nos números reais maiores que zero. Desse fato, escrever esse conjunto com a propriedade que ele possui é a maneira correta de escrevê-lo. Os números naturais que dividem 36 são: 1, 2, 3, 6, 12 e 18. Isto é, o conjunto do item 2(e) é finito e poderia ser escrito listando os seus elementos. Pelo mesmo motivo do item 2(d), o conjunto do item 2(f) deve ser escrito meio de sua propriedade.
Observação: Há mais um conjunto numérico, chamado de conjunto dos números irracionais, o qual é denotado e definido por:
$$\mathbb{I} = \{x \in \mathbb{R} : x \not\in \mathbb{Q}\}$$
Saiba mais sobre esse conjunto lendo esse post.
Dica valiosa de um professor universitário: Estudar essas coisas de elementos e conjuntos, maneiras de escrever conjuntos, parece ser meio chato. Bom, talvez seja (eu não acho). Porém isso é muito importante, pois quando você chegar no ensino superior (se você já não estiver lá), não será cobrado somente para resolver um exercício de maneira correta, mas também para escrever a solução de maneira correta. Nos relatórios, provas, trabalhos que você for fazer, lembre-se disso, você vai ser cobrado para escrever de maneira correta, não só no português, mas também na matemática.
Exemplos:
1. Considere os conjuntos:
$$A = \{1,2,17, 34\}, \mbox{ } B = \{5,6,7,8,9, \dots\} \mbox{ e } C = \{x \in \mathbb{R} : x < 9\}.$$
Verifique se as seguintes afirmação são verdadeiras ou falsas:
(a) $2 \in A$ (b) $1 \in B$ (c) $-1 \not\in C$
(d) $\frac{9}{5} \in C$ (e) $100 \not\in B$ (d) $0 \in A$
Solução:
(a) Verdadeiro. O número 2 está listado entre os elementos de $A$.
(b) Falso. Em $B$ estão somente os números naturais maiores ou iguais 5, seguindo seu padrão de repetição. Como 1 é menor que 5, 1 não é um elemento de $B$.
(c) Falso. O conjunto $C$ é formado pelos números reais menores que 9 e, como -1 é menor que 9, -1 pertence a $C$.
(d) Verdadeiro. O número $\frac{9}{5}$ é menor que 9, portanto está em $C$.
(e) Falso. Em $B$ estão todos os números naturais maiores ou iguais a 5. O número 100 é maior que 5, logo 100 é um elemento de $B$.
(d) Falso. O número 0 não está listado entre os elementos de $A$.
2. Em cada item, escreva o conjunto dadas suas propriedades.
(a) Números naturais múltiplos de 5.
(b) Números inteiros múltiplos de 5.
(c) Números racionais com denominador igual a 2.
(d) Números reais maiores que -1 e menores que 1.
(e) Números inteiros divisores de 10.
Solução:
(a) $\{0,5,10,15,20, \dots\}$ ou $\{5x: x \in \mathbb{N}\}$.
(b) $\{\dots, -10,-5,0,5,10,\dots\}$ ou $\{5x: x \in \mathbb{Z}\}$.
(c) $\left\{\displaystyle\frac{a}{2} : a \in \mathbb{Z}\right\}$
(d) $\{x \in \mathbb{R} : -1< x < 1\}$.
(e)$\{1,2,5\}$
Antes de finalizar, existe um conjunto muito importante na Matemática, chamado conjunto vazio. O conjunto vazio, por definição é o conjunto que não possui elementos e é denotado por $\emptyset$ ou $\{\}$.
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