Na postagem anterior vimos uma maneira de se definir os polinômios. A partir dessa postagem vamos começar a falar sobre as operações com polinômios, que são, soma (adição), subtração (diferença), multiplicação (produto) e divisão. Dessas quatro operações, abordaremos na sequência as três primeiras e a operação de divisão de polinômios ficará mais para frente. Nessa segunda postagem vamos definir a soma de polinômios e estudaremos as suas propriedades. Vamos lá!
Soma (adição) de polinômios e suas propriedades
Considere $p(x)$ e $g(x)$ dois polinômios, onde
$$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0 \mbox{ e } q(x) = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x+b_0$$
com $n,m \in \mathbb{N}$ podendo ser, eventualmente, diferentes. Vamos considerar esse polinômios com coeficientes em $\mathbb{R}$ ou em $\mathbb{C}$ (independentemente de onde estiverem os coeficientes desses polinômios, a definição da soma será a mesma).
Definição: Dados os polinômios $p(x)$ e $q(x)$ como acima, definimos a soma (adição) de $p(x)$ e $q(x)$, denotada por $p(x) + q(x)$, em três casos diferentes
- Se $n < m$, temos
\begin{eqnarray} p(x) + q(x) &=&(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0) + (b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x+b_0) \\ &=& a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0 + b_mx^m + \cdots + b_{n+1}x^{n+1} + b_nx^n + \cdots + b_1x+b_0 \\ &=& b_mx^m + \cdots + b_{n+1}x^{n+1} + (a_n + b_n)x^n + \cdots + (a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0); \end{eqnarray}
- Se $n=m$, temos
\begin{eqnarray} p(x) + q(x) &=&(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0) + (b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + \cdots + b_1x+b_0) \\ &=& a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0 + b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + \cdots + b_1x+b_0 \\ &=& (a_n + b_n)x^n + (a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1} + \cdots + (a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0); \end{eqnarray}
- Se $n > m$, temos
\begin{eqnarray} p(x) + q(x) &=&(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0) + (b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x+b_0) \\ &=& a_nx^n + \cdots + a_{m+1}x^{m+1} + a_mx^m+ \cdots + a_1x + a_0 + b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x+b_0 \\ &=& a_nx^n + \cdots + a_{m+1}x^{m+1} + (a_m + b_m)x^m + \cdots + (a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0). \end{eqnarray}
A definição acima está bem formal, mas para não ficarmos decorando ou complicando muito as coisas, para somar dois polinômios, basta somar os coeficientes que acompanham a mesma potência de $x$, ou seja, devemos somar o termo independente de $p(x)$ com o termo independente de $q(x)$, o coeficiente de $x$ de $p(x)$ com o coeficiente de $x$ em $q(x)$ e multiplicar por $x$, o coeficiente de $x^2$ de $p(x)$ com o coeficiente de $x^2$ de $q(x)$ e multiplicar por $x^2$ e assim por diante. Isto é, exatamente, somar os temos que são semelhantes. Caso se tenha um $a_r$, coeficiente de $x^r$, em $p(x)$ e não se tenha $x^r$ em $q(x)$, basta considerar o $x^r$ com coeficiente igual a $0$ em $q(x)$. O contrário também pode ser feito.
Para essa definição ficar mais clara, vamos fazer alguns exemplos.
Exemplos:
1. Calcule a soma de $p(x) = 3x^2+x-1$ e $q(x) = -2x^2+3x+5$.
Solução: Seguindo a definição acima, temos
\begin{eqnarray} p(x) + q(x) &=& (3x^2+x-1) + (-2x^2+3x+5) \\ &=& 3x^2+x-1 -2x^2+3x+5 \\ &=& (3+(-2))x^2 + (1+3)x + (-1+5) \\ &=& x^2 + 4x + 4. \end{eqnarray}
Observe que este é o caso onde $m=n=2$. Note também que o termo $x^r$ num polinômio possui coeficiente igual a $1$.
2. Calcule $p(x) + q(x)$ onde $p(x) = 3x^4+x^3 - 5x^2 +4x-2$ e $q(x) = x^2-9x-1$.
Solução: Esse é o caso onde $n=4$ e $m=2$, ou seja, $n > m$. Assim, não temos em $q(x)$ termos com $x^4$ e $x^3$ e, sendo assim, eles podem ser considerados em $q(x)$ como possuindo coeficientes iguais a $0$.
\begin{eqnarray} p(x) + q(x) &=& (3x^4+x^3 - 5x^2 +4x-2) + (x^2-9x-1) \\ &=& 3x^4+x^3 - 5x^2 +4x-2 + x^2-9x-1 \\ &=& 3x^4 + x^3 + (-5+1)x^2 + (4-9)x + (-2+ (-1)) \\ &=& 3x^4+x^3 + (-4)x^2 + (-5)x + (-3) \\ &=& 3x^4+x^3-4x^2-5x-3. \end{eqnarray}
3. Calcule a soma de $f(x) = x+1$ e $g(x)=x^3+2x^2-4x+8$.
Solução: Esse é o caso em que $n=1$ e $m=3$, ou seja, $n < m$. Note que em $f(x)$ não há termos com $x^3$ ou $x^2$, desse modo, seus coeficientes são considerados como sendo iguais a $0$. Fazendo a soma, temos
\begin{eqnarray} f(x) + g(x) &=& (x+1) + (x^3+2x^2-4x+8) \\ &=& x+1 + x^3+2x^2-4x+8 \\ &=& x^3 + 2x^2 + (1+(-4))x + (1+8) \\ &=& x^3 + 2x^2 + (-3)x + 9 \\ &=& x^3 + 2x^2 -3x + 9. \end{eqnarray}
4. Sejam $f(x) = x^5 -3x^3+x^2+5x$ e $g(x) = x^6 + x^4 - x^3 +10x^2 +4$. Calcule $f(x) + g(x)$.
Solução: Em $f(x)$ não temos termos com $x^6$, $x^4$ e nem o termo independente, ou seja, ele é igual a $0$ e em $g(x)$ não temos termos com $x^5$, $x^2$ e $x$. Logo, nos respectivos polinômios, os coeficientes desses termos são iguais a $0$. Assim,
\begin{eqnarray} f(x) + g(x) &=& (x^5 -3x^3+x^2+5x) + (x^6 + x^4 - x^3 +10x^2 +4) \\ &=& x^5 -3x^3+x^2+5x + x^6 + x^4 - x^3 +10x^2 +4 \\ &=& x^6+x^5 +x^4+ (-3+(-1))x^3 + (1+10)x^2 +5x+4 \\ &=& x^6+x^5 +x^4+ (-4)x^3 + 11x^2 +5x+4 \\ &=& x^6+x^5 +x^4-4x^3 + 11x^2 +5x+4. \end{eqnarray}
5. Efetue a adição dos polinômios $p(x) = x^4 -3x^3-4x+2$ e $q(x) = -2x^3+x^2+10x$.
Solução: Vamos fazer esse exemplo mais rápido, vamos simplesmente somar os termos semelhantes diretamente.
\begin{eqnarray} p(x) + q(x) &=& x^4 -3x^3-4x+2 + (-2x^3+x^2+10x) \\ &=& x^4 -3x^3-4x+2 -2x^3+x^2+10x \\ &=& x^4 -5x^3 + x^2+6x+2. \end{eqnarray}
6. Efetue a adição dos polinômios $p(x) = x^6 - 3x^4-8x^3+ 3x^2+x-5$ e $q(x) = 3x^4+x^3 -4x^2+10x+1$.
Solução: Vamos proceder como no exemplo anterior.
\begin{eqnarray} p(x) + q(x) &=& x^6- 3x^4-8x^3+ 3x^2+x-5 + (3x^4+x^3 -4x^2+10x+1) \\ &=& x^6- 3x^4-8x^3+ 3x^2+x-5 + 3x^4+x^3 -4x^2+10x+1 \\ &=& x^6 -7x^3 - x^2+11x-4. \end{eqnarray}
Vamos ver agora algumas propriedades da soma de polinômios.
Propriedades:
Dados $f(x)$, $g(x)$ e $h(x)$ polinômios quaisquer, valem as seguintes propriedades:
(i) $f(x) + g(x) = g(x) + f(x)$ (a soma é comutativa);
(ii) $(f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x))$ (a soma é associativa);
(iii) Existe um elemento neutro para a soma de polinômios. Esse elemento é o polinômio $p(x) = 0$, ou seja, é o polinômio constante igual a $0$. Tal polinômio é chamado de polinômio nulo. Ele possui a seguinte propriedade:
$$p(x) + f(x) = f(x) \mbox{ e } f(x) + p(x) = f(x)$$
para qualquer que seja $f(x)$.
(iv) Para cada polinômio $f(x)$ existe um polinômio $q(x)$ tal que $f(x) + q(x) = 0$ e $q(x) + f(x) = 0$, isto é, $q(x)$ somado com $f(x)$, em ambos os lados, é igual ao polinômio nulo. O polinômio $q(x)$ é chamado oposto de $f(x)$. Para obter o polinômio $q(x)$ (oposto de $f(x)$), basta fazer o seguinte: se $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0$, o seu oposto será $p(x) = -a_nx^n - a_{n-1}x^{n-1}- \cdots - a_1x-a_0$, isto é, o oposto do polinômio $f(x)$ é o polinômio formado com a somas das mesmas potências de $x$ de $f(x)$ onde seus coeficientes são os opostos dos coeficientes de $f(x)$. Como por exemplo
o oposto de $f(x) = x^3+x+3$ é $p(x) = -x^3-x-3$;
o oposto de $f(x) = x^4+x^2 - 4x-10$ é $p(x) = -x^4-x^2 + 4x+10$ e
o oposto de $f(x) = -x^2+5x -8$ é $p(x) = x^2-5x +8$.
O oposto de $f(x)$ é denotado por $-f(x)$.
Agora que definimos o oposto de um polinômio, podemos definir a subtração (diferença) de polinômios.
Definição: Dados os polinômios
$$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0 \mbox{ e } q(x) = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x+b_0,$$
definimos a subtração (diferença) dos polinômios $p(x)$ e $q(x)$, denotada por $p(x) - q(x)$, como sendo
$$p(x) - q(x) = p(x) + (-q(x)),$$
isto é, a subtração (diferença) de $p(x)$ e $q(x)$ é a soma de $p(x)$ com o oposto de $q(x)$.
Vamos ver alguns exemplos de subtração de polinômios.
Exemplos:
7. Calcule $p(x) - q(x)$ onde $p(x) = x^2+2x-1$ e $q(x) = 2x^2-4x-10$.
Solução: Para fazer esse cálculo, basta usar a definição de subtração de polinômios e ficar atento com os sinais, pois é necessário fazer jogo de sinais para efetuar a subtração.
\begin{eqnarray} p(x) - q(x) &=& x^2+2x-1 - (2x^2-4x-10) \\ &=& x^2+2x-1 -2x^2+4x+10 \\ &=& (1-2)x^2 + (2+4)x + (-1+10) \\ &=& -x^2 + 6x + 9. \end{eqnarray}
Veja que, para passar da primeira linha para a segunda linha, no cálculo acima foi feito jogo de sinal com cada termo do polinômio $q(x)$ e, na segunda linha, temos exatamente a soma de $p(x)$ com o oposto de $q(x)$, que é a definição de subtração de polinômios. Na prática, é assim que as coisas funcionam. Da terceira linha em diante segue a soma de polinômios como definimos anteriormente.
8. Calcule a diferença entre os polinômios $f(x) = 5x^4 + x^3-3x-4$ e $g(x) = 3x^3+2x^2-x-1$.
Solução: Basta proceder como no exemplo anterior.
\begin{eqnarray} f(x) - g(x) &=& 5x^4 + x^3-3x-4 - (3x^3+2x^2-x-1) \\ &=& 5x^4 + x^3-3x-4 -3x^3-2x^2+x+1 \\ &=& 5x^4 + (1-3)x^3 -2x^2 + (-3+1)x + (-4 +1) \\ &=& 5x^4 + (-2)x^3 -2x^2 + (-2)x + (-3) \\ &=& 5x^4 -2x^3 -2x^2 -2x -3. \end{eqnarray}
9. Calcule $p(x) - q(x)$ onde $p(x) = x^3-5x+10$ e $q(x) = 3x^6 - x^2+x+10$.
Solução: Podemos fazer as contas aqui um pouco mais rápido também, assim como nos exemplos 5 e 6, somando os termos semelhantes.
\begin{eqnarray} p(x) - q(x) &=& x^3-5x+10 - (3x^6 - x^2+x+10) \\ &=& x^3-5x+10 -3x^6 + x^2-x-10 \\ &=& -3x^6 + x^3+x^2 -6x + 0. \end{eqnarray}
Exemplo em vídeo:
Gostou do conteúdo dessa postagem? Foi útil para você? Tem alguma dúvida? Deixe um comentário.