Chegamos ao assunto de polinômios. Que beleza! Os polinômios são muito importantes. Eles aparecem em muitas áreas da Matemática, aparecem no Cálculo, na Álgebra Linear, nas Equações Diferenciais, em Geometria, etc.. Por esse motivo é muito importante saber o que é um polinômio, suas características, fazer contas com polinômios, saber como fatorar um polinômio e calcular suas raízes. Nessa primeira postagem sobre polinômios vamos ver uma forma de defini-los (há mais de uma forma) usando a definição de função.
O que são polinômios?
Podemos definir um polinômio usando a definição de função, e é o que vamos fazer aqui nessa postagem. Por isso, vamos lembrar a definição de função.
Definição (de função): Sejam $A$ e $B$ dois conjuntos quaisquer. Uma função de $A$ em $B$ é uma regra (lei) que associa a cada elemento de $A$ um único elemento de $B$.
Exemplos
1. Considere $A$ o conjunto de todas pessoas do mundo e $B$ o conjunto de todos os nomes possíveis. Podemos associar cada elemento de $A$ a um único elemento de $B$ da seguinte forma: cada pessoa está associada a um único primeiro nome. Isso é uma função de $A$ en $B$, ou seja, do conjunto das pessoas no conjunto dos nomes.
2. Considere $A$ conjunto de todos os carros do Brasil e $B$ o conjunto de todas as sequencias finitas de números e letras. Cada carro possui um único número de chassi, assim, associar os carros a seus números de chassi é uma função de $A$ em $B$.
Os exemplos acima são casos bem gerais de funções. Na matemática as funções são muito usadas para associar dois conjuntos numéricos.
3. Considere $A = B = \mathbb{R}$. Para cada número $x \in A$ vamos associar o número $y=x+1$. Dessa forma temos que $2$ está associado a $2+1 = 3$, $-8$ está associado a $-8+1 = -7$, etc. Esta é uma função entre $A$ e $B$, ou ainda, entre $\mathbb{R}$ e $\mathbb{R}$.
Na matemática usamos as letras para dar nomes às funções, por exemplo, função $f$, função $g$, função $T$. Para dizer que uma função $f$ associa os elementos de $A$ aos elementos de $B$, escrevemos
$$f: A \rightarrow B.$$
O conjunto $A$ é chamado domínio da função $f$ e o conjunto $B$ é chamado contradomínio da função $f$. Escrevemos $f(x)$, que se lê "$f$ de $x$", para designar o número em $B$ que está associado ao número $x$ de $A$. Ou ainda, para dizer que um número $x \in A$ está associado a um número $y \in B$, escrevemos $f(x) = y$, que se lê "f de $x$ igual a $y$". Podemos ainda dizer que $f$ leva $x$ em $y$. Também chamamos $f(x)$ de imagem de $x$ pela função $f$.
Como já visto no exemplo 3, as funções entre conjuntos numéricos são, na maioria das vezes, dadas por expressões algébricas, ou seja, cada $x \in A$ é levado em um $f(x)$ que é igual à uma expressão algébrica que contém $x$. Nesse caso, chamamos $x$ de variável independente e $y = f(x)$ de variável dependente (o valor de $f(x)$ depende de $y$).
4. Considere $f: \mathbb{Z} \rightarrow B$ definida por $f(x) = 2x$. Essa função associa a cada $x \in \mathbb{Z}$ ao número $2x \in \mathbb{Z}$. Vamos calcular $f$ aplicada em alguns valores específicos de $x$, ou seja, vamos substituir o $x$ por alguns números inteiros para saber a quais números estes estão associados. Vejamos
$f(1) = 2 \cdot 1 = 2;$
$f(3) = 2 \cdot 3 = 6;$
$f(-10) = 2 \cdot (-10) = -20$.
Quando trocamos $x$ por algum número e calculamos o valor da função neste número estamos aplicando $f$ em neste número.
5. Seja $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x) = 2^x$. Temos, para alguns valores de $x$,
$g(0) = 2^0 = 1;$
$g(2) = 2^2 = 4;$
$g(-3) = 2^{-3} = \displaystyle\frac{1}{8}$.
Agora, com a definição de função, conseguimos definir o que é um polinômio.
Definição (de polinômio): Um polinômio é uma função $p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que possui a forma
$$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$$
onde $n$ é um número natural e $a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0 \in \mathbb{R}$ são chamados coeficientes do polinômio $p$. Em particular, o termo $a_0$ (que não multiplica nenhuma potência de x) é chamado termo independente do polinômio $p(x)$.
Observação: A definição acima é a definição do que chamamos de polinômio real ou polinômio sobre $\mathbb{R}$ pois é uma função de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ e seus coeficientes estão em $\mathbb{R}$. Na definição acima podemos substituir $\mathbb{R}$ por $\mathbb{C}$, $\mathbb{Q}$ ou $\mathbb{Z}$ e teremos, respectivamente, as definição de polinômios sobre $\mathbb{C}$, $\mathbb{Q}$ ou $\mathbb{Z}$.
A seguir estão alguns exemplos de polinômios.
Exemplos
1. $p(x) = 2x+1$ (coeficientes: $2$ e $1$);
2. $q(x) = x^3 - x + 10$ (coeficientes: $1$, $0$, $-1$ e $10$);
3. $h(x) = 10x^5 - 20x^4+x^3-2x$ (coeficientes: $1$, $0$, $-20$, $1$, $0$, $2$ e $0$);
4. $f(x) = x^8-1$ (coeficientes: $1$, $0$, $0$, $0$, $0$, $0$, $0$, $0$, e $-1$);
5. $g(x) = x^6+2x^5+3x^4-\frac{1}{2}x^3 - \pi x^2 + \sqrt{3}x-1$ (coeficientes: $1$, $2$, $3$, $-\frac{1}{2}$. $-\pi$, $\sqrt{3}$ e $-1$);
6. $l(x)= (2-i)x^3 - 2x + 4$ (coeficientes: $2-i$, $0$, $-2$ e $4$).
Nos exemplos de 1 a 5 temos polinômios sobre $\mathbb{R}$ (pois seus coeficientes são números reais) e no exemplo 6 temos um polinômio sobre $\mathbb{C}$ (pois seus coeficientes são complexos).
Dado um polinômio, sobre $\mathbb{R}$ por exemplo, podemos aplicá-lo a qualquer número real (o mesmo raciocínio pode ser aplicado a polinômios definidos sobre os conjuntos numéricos $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{C}$). Por exemplo, aplicando o polinômio $q$ do exemplo $2$ nos números $0$, $1$, $-2$ e $\displaystyle\frac{3}{4}$ temos
$q(0) = 0^3 - 0 +10 = 10$;
$q(1) = 1^3 - 1 + 10 = 1-1+10 = 10$;
$q(-2) = (-2)^3 - (-2) + 10 = -8+2+10 = 4$;
$q\left(\displaystyle\frac{3}{4}\right) = \left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^3 - \displaystyle\frac{3}{4} + 10 = \displaystyle\frac{27}{64} - \displaystyle\frac{3}{4} + 10 = \displaystyle\frac{619}{64}$.
Podemos chamar um polinômio também de função polinomial. Em alguns livros de matemática os polinômios aparecem "sem seus nomes", aparecem somente com a expressão que o define, por em exemplo, ao invés de estar escrito na forma $h(x) = 10x^5 - 20x^4+x^3-2x$, aparece somente $10x^5 - 20x^4+x^3-2x$ .
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