Potenciação e Radiciação #1: Potência com expoente natural

 Essa é a primeira postagem sobre potenciação e radiciação, ou seja, estamos iniciando esse assunto aqui no blog. Começaremos com a potenciação com expoente natural e, nas postagens seguintes, trataremos da potenciação com números inteiros negativos, da radiciação, da potenciação com números racionais e irracionais. Veremos também todas as propriedades da potenciação e da radiciação e em quais situações podemos ou não podemos usá-las. Esse assunto de potenciação faz parte do que a gente chama de matemática básica. Eu diria que esse assunto é classificado como básico não por que é simples ou envolve operações simples, mas por que é muito importante, é algo que está na base da matemática, rudimentar. Ele aparece em todas as áreas da matemática. Está nas expressões algébricas, nos polinômios, nas funções, na trigonometria, na geometria, na álgebra, no cálculo, etc.. Então, entender o que é a potenciação com seus diferentes tipos de expoentes e suas propriedades é fundamental para o estudo da matemática, seja qual for o assunto que se está estudando. Vamos lá!

Potenciação com expoente natural

Antes de definirmos qualquer coisa com relação à potenciação com expoente natural, vamos nos lembrar do que é um número natural. O conjunto dos números naturais é o conjunto

$$\mathbb{N} = \{0,1,2,3,4,5, \dots\}.$$

Qualquer número que está no conjunto $\mathbb{N}$ é um número natural. Agora vamos definir potência com expoente natural.

Definição: Considere um número real $a$ qualquer (para saber o que é um número real, clique aqui). Chamamos de potência de base $a$ e expoente natural $n$ o número $a^n$, o qual é definido como segue:

$$\left\{\begin{array}{l} a^0 = 1 \mbox{ se } a \neq 0 \\ a^n = a^{n-1} \cdot a \mbox{ para todo } n \in \mathbb{N} \mbox{ e } n \geq 1.\end{array} \right.$$

Também podemos dizer que $a$ está elevado a $n$. 

Na definição acima, o símbolo $\cdot$ denota a multiplicação e, no decorrer do texto, continuaremos a usar essa notação para a multiplicação. 

A definição acima, da forma que ela está, parece ser um pouco confusa. Vamos entender o que ela está nos dizendo. Essa definição nos explica o que é o número $a^n$ para qualquer número real $a$ e qualquer número natural $n$. Ela nos diz que $a^0=1$ para qualquer $a$ real diferente de zero e que $a^n$ é igual a $a^{n-1}$ vezes $a$. Para ficar ainda mais claro, vamos escrever algumas potências para alguns valores de $n$:

$$\begin{eqnarray} a^0 &=& 1 \\ a^1 &=& a^0 \cdot a = a \\ a^2 &=& a^1 \cdot a = a \cdot a \\ a^3 &=& a^2 \cdot a = a \cdot a \cdot a \\ a^4 &=& a^3 \cdot a = a \cdot a \cdot a \cdot a \\ a^5 &=& a^4 \cdot a = a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \\ \vdots & & \\ a^n &=& a^{n-1} \cdot a = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \mbox{ vezes}}  \end{eqnarray}$$

Aqui vimos a definição de potência, isto é, $a^n$ é um potência de $a$ com expoente $n$. Chamamos de potenciação a operação em si, ou seja, o ato de se calcular o valor de $a^n$.

Agora que entendemos as definições de potência e potenciação, vamos ver alguns exemplos numéricos.

Exemplos:

1. $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$;

2. $5^1 = 5$;

3. $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$;

4. $4^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 256$;

5. $\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^5 = \displaystyle\frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{2}{3} = \displaystyle\frac{32}{243}$;

6. $(-2) ^6 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 64$;

7. $(-1)^7 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1$;

8. $-4^2 = - 4 \cdot 4 = -16$;

9. $-10^3 = - 10 \cdot 10 \cdot 10 = -1000$;

10. $(1,25)^8 = 1,25 \cdot 1,25 \cdot 1,25 \cdot 1,25 \cdot 1,25 \cdot 1,25 \cdot 1,25 \cdot 1,25 = 5,960464478$;

11. $235^0 = 1$.

Observação importante: No exemplo 8, somente o número $4$ está elevado a $2$, o sinal de menos não. Assim, o sinal de menos "fica para fora" da potenciação. No exemplo 9 ocorre algo semelhante, somente o número $10$ está elevado a $3$, o sinal de menos não. Vamos ver mais alguns exemplos envolvendo isso.

12. $-4^5 = -4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = -1024$;

13. $-(-3)^4 = - (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = - 81$;

14. $-(-7)^3 = - (-7) \cdot (-7) \cdot (-7) = - (-343) = 343$.

Sempre que um sinal de menos aparece fora de uma potência, ele permanece no cálculo. Caso o resultado da potência seja negativo e houver um sinal fora da potência, não se esqueça de fazer o jogo de sinal, assim como no exemplo 14.

Veremos agora as propriedades das potências com expoente natural.

Propriedades: Sejam $m,n \in \mathbb{N}$ e $a,b \in \mathbb{R}$. Temos

(i) $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$;

(ii) $\displaystyle\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ se $m \geq n$ (isso para que o expoente continue sendo um número natural);

(iii) $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$;

(iv) $\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^n = \displaystyle\frac{a^n}{b^n}$ se $b \neq 0$;

(v) $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Essas propriedades possuem demonstrações, isto é, provas de que, de fato, elas são verdadeiras. Porém, para fazer a demonstração dessas propriedades é necessário um objeto matemático chamado princípio de indução finita, o que está além do meu objetivo aqui. Por isso, vou omitir as demonstrações dessas propriedades. Vamos ver um exemplo para cada uma delas:

Exemplos:

1. $2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8$;

2. $\displaystyle\frac{6^5}{6^2} = 6^{5-2} = 6^3$;

3. $(-4 \cdot 8)^4 = (-4)^4 \cdot 8^4$;

4. $\left(\displaystyle\frac{6}{7}\right)^2 = \displaystyle\frac{6^2}{7^2}$;

5. $(10^3)^9 = 10^{3 \cdot 9} = 10^{27}$.

Observação importante: Considere $a \in \mathbb{R}$ com $a \geq 0$. Sabemos que $(-1)^2 = (-1) \cdot (-1) = 1$. Dado um número real $n$, se ele for par, ele terá a forma $n = 2k$ com $k \in \mathbb{N}$ e, se ele for ímpar, ele terá a forma $n = 2l+1$ com $l \in \mathbb{N}$. Desse modo, temos, usando as propriedades acima, que

Para $n$ par: $(-a)^n = ((-1)a)^{2k} = (-1)^{2k} \cdot a^{2k} = ((-1)^2)^k \cdot a^{2k} = 1^k \cdot a^{2k} = a^{2k} = a^n$;

Para $n$ ímpar: $(-a)^n = ((-1)a)^{2l+1} = (-1)^{2l+1} \cdot a^{2l+1} = ((-1)^{2l} \cdot (-1)) \cdot a^{2k} = ((-1)^2)^l \cdot (-1) \cdot a^{2l+1} = 1^l \cdot (-1) \cdot a^{2l+1} = - a^{2l+1} =  -a^{n}$.

Acabamos de mostrar que, se $n$ é par, então $(-a)^n = a^n$ e que, se n é ímpar, $(-a)^n = -a^n$. Em outras palavras, potência  de número negativo com expoente par possui resultado positivo e potência de número negativo com expoente ímpar possui resultado negativo. Outra coisa importante é o seguinte, observe que o sinal negativo está "dentro" da potência, é nesse caso que essa regra funciona, $(-a)^n$ é diferente de $-a^n$, na primeira se a usa a regra, na segunda não, o sinal de menos permanece, pois não está dentro da potência.

Vamos ver alguns exemplos disso.

Exemplos:

1. $(-2)^4 = 2^4 = 16$;

2. $(-4)^3 = -4^3 = - 64$;

3. $-5^6 = -15625$;

4. $-8^3 = - 512$.

5. $-(-32)^3 = - (-32^3) = -(-32768) = 32768$;

6. $-\left(-\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2 = - \left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2 = -\displaystyle\frac{3^2}{4^2} = \displaystyle\frac{9}{16}$.

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Números Reais #11: Propriedades do módulo

Agora que já sabemos o que é o módulo ou valor absoluto de um número real e também a sua interpretação geométrica, podemos passar para as suas propriedades. Saber quais são as propriedades do módulo é fundamental. Elas são muito úteis no estudo de intervalos de números reais,  limites de funções e de sequências, séries numéricas e de potência, derivada e integral de funções (eu poderia citar mais exemplos onde os módulos podem aparecer, mas acredito que esses já justificam o estudo dos módulos). Sem mais demora, vamos às propriedades do módulo.

Observação: Para entender bem essa postagem é necessário ter em mente o que é potenciação (mais especificamente, elevar ao quadrado) e o que é radiciação (mais especificamente, raiz quadrada).

Propriedades imediatas do módulo

Essas são propriedades que seguem imediatamente da definição de módulo e das propriedades dos números reais.

(i) $|x| \geq 0$;

(ii) $|x| = 0$ se, e somente se, $x=0$;

(iii) $|-x| = |x|$ para todo $x \in \mathbb{R}$.

Vamos fazer a demonstração da propriedade (iii). Se $x=0$, vamos ter $|-0| = |0| = 0$, ou seja, a propriedade vale para $x=0$. Vamos considerar agora $x < 0$, ou seja, $x$ negativo. Assim, se $x$ é negativo, então $-x$ é positivo. Sendo $-x$ positivo, vamos ter, pela definição de módulo, que $|-x| = -x$. Agora, como $x$ é negativo, novamente pela definição de módulo, temos $|x| = -x$. Logo, para $x < 0$, temos $|-x| = |x|$. Considere agora $x > 0$, ou seja, $x$ positivo. Sendo $x$ positivo, segue que $-x$ é negativo e, pela definição de módulo $|-x| = -(-x) = x$. Mas, como $x$ é positivo, vamos ter que $|x| = x$. Logo $|-x| = |x|$ para todo $x>0$. Mostramos então que, para qualquer $x \in \mathbb{R}$, sempre vamos ter $|-x| = |x|$.

Exemplo: Temos $|-5| = |5| = 5$.

Propriedades do módulo e intervalos

As propriedades a seguir relacionam módulos e intervalos na reta real. Para $x, a \in \mathbb{R}$ com $a > 0$, temos:

(i) $|x| \leq a$ se, e somente se, $x \in [-a,a]$ (equivalentemente, $-a \leq x \leq a$).

(ii) $|x| < a$ se, e somente se, $x \in (-a,a)$ (equivalentemente, $-a < x < a$).

(iii) $|x| \geq a$ se, e somente se, $x \in (-\infty,-a]$ ou $x \in [a, +\infty)$ (equivalentemente, $x \leq -a$ ou $x \geq a$).

(iv) $|x| > a$ se, e somente se, $x \in (-\infty,-a)$ ou $x \in (a, +\infty)$ (equivalentemente, $x < -a$ ou $x > a$).

Não faremos a demonstração formal dessas propriedades, mas justificaremos as propriedades (i) e (iii) usando a interpretação geométrica do módulo.

Justificativa da propriedade (i): Dado um número real $x$, pela interpretação geométrica do módulo, sabemos que $|x|$ é a distância de $x$ até o número $0$ na reta real. Desse modo, podemos interpretar a inequação $|x| \leq a$ como sendo o conjunto dos números $x$ tais que suas distâncias para o zero são menore ou iguais a $a$. Na figura abaixo, está marcado em vermelho, os números que estão a uma distância menor ou igual a $a$ do $0$.

Assim, para que a distância de um número $x$ para o zero seja menor ou igual a $a$, ele deve estar em algum lugar desse intervalo em vermelho representado acima. Logo, ele deve estar em $[-a,a]$, ou ainda, vale $-a \leq x \leq a$. Observe que a recíproca também é verdadeira, se $x \in [-a,a]$ ou, de forma equivalente, se $-a \leq x \leq a$, então $x$ está no intervalo pintado de vermelho na figura acima. Isso significa que a distância de $x$ para o zero é menor ou igual a $a$. Logo $|x| \leq a$. Portanto, está justificada a propriedade (i). 

Para justificar a propriedade (ii), basta seguir de forma análoga ao que foi feito em (i), trocando onde está "$\leq$" por "$<$" e trocando na figura as bolinhas fechadas por bolinhas abertas.

 

Justificativa da propriedades (iii): Dado um número real $x$, novamente usando a  interpretação geométrica do módulo, segue que $|x|$ é a distância de $x$ até o número $0$ na reta real. Desse modo, podemos ver a inequação $|x| \geq a$ como sendo o conjunto dos números $x$ tais que suas distâncias para o zero são maiores ou iguais a $a$. Na figura abaixo, está marcado em vermelho, os números que estão a uma distância maior ou igual a $a$ do $0$.

Desse modo, para que a distância de um número $x$ até o zero seja maior ou igual a $a$, ele deve estar em algum desses intervalos destacados em vermelho representados na figura acima. Assim, ele deve estar em $(-\infty,-a]$ ou em $[a, +\infty)$, o que é equivalente a  $x \leq a$ ou $x \geq a$. A recíproca também é verdadeira, se $x \in (-\infty, -a]$ ou $x \in [a, +\infty)$ ou, de forma equivalente, se $x \leq -a$ ou  $x \geq a$, então $x$ está em um dos intervalos pintados de vermelho na figura acima. Isso significa que a distância de $x$ para o zero é maior ou igual  a $a$. Logo $|x| \geq a$. Portanto, está justificada a propriedade (iii). 

Para justificar a propriedade (iv), basta seguir de forma semelhante ao que foi feito em (iii), trocando onde está "$\leq$" e "$\geq$" por "$<$" e "$>$", respectivamente, e trocando na figura as bolinhas fechadas por bolinhas abertas.

Exemplos:

1. Se $|x| \leq 2$, então $x \in [-2,2]$ ou, de forma equivalente, $-2 \leq x \leq 2$.

2. Se $|x| < 1$, então $x \in (-1,1)$ ou, de forma equivalente, $-1 < x < 1$.

3. Se $|x| \geq 3$, então $x \in (-\infty,-3]$ ou $x \in [3,+\infty)$. De forma equivalente, $x \leq -3$ ou $x \geq 3$.

4. Se $|x| > 9$, então $x \in (-\infty,-9)$ ou $x \in (9,+\infty)$. De forma equivalente, $x < -9$ ou $x > 9$.

Outras propriedades importantes do módulo

Nessa seção veremos mais algumas propriedades dos módulos que podem ser bastante úteis.

(i) Para todo $x \in \mathbb{R}$ tem-se $|x|^2 = x^2$.

Demonstração: Se $x \geq 0$, pela definição de módulo, segue que $|x| = x$ e, assim, $|x|^2 = x^2$. Se $x < 0$, novamente pela definição de módulo, temos que $|x| = -x$ e, sendo assim, $|x|^2 = |x||x| = (-x)(-x) = x^2$. Portanto essa propriedade é verdadeira.

Exemplos:

1. $|5|^2 = 5^2 = 25$.

2. $|-8|^2 = 8^2 = 64 = (-8)^2$. 

Observação importante: Para $a \in \mathbb{R}$ com $a \geq 0$, $\sqrt{a}$ indica a raiz quadrada positiva de $a$. Assim, da propriedade anterior, temos

$$\sqrt{x^2} = |x|.$$

Exemplos:

1. $\sqrt{9^2} = |9| = 9$.

2. $\sqrt{(-4)^2} = |-4| = 4$.

(ii) Dado $a \in \mathbb{R}$ com $a > 0$, as soluções reais da equação $|x| = a$ são $a$ e $-a$.

Demonstração: Das propriedades imediatas do módulo que vimos no início da postagem, temos que $|x| \geq 0$. Disso, do fato que $a>0$ e de $|x| = a$, segue que $|x|^2 = a^2$. Da propriedade anterior, temos que $|x|^2 = x^2$. Como $|x|^2=a^2$ e $|x| = x^2$, então $x^2=a^2$, ou ainda, $x^2-a^2 = 0$. Essa última igualdade pode ser escrita na forma $(x-a)(x+a) = 0$. Assim, temos um produto de dois números, $x-a$ e $x+a$, igual a zero, logo, as soluções dessa equação são os números onde cada um dos fatores do produto é igual a zero. Então, as soluções da equação $(x-a)(x+a) = 0$ são $a$ e $-a$. Portanto, provamos que, se $|x| = a$, então $x=-a$ ou $x=a$, isto é, a propriedade (ii) é verdadeira.

Exemplo: As soluções da equação $|x| = 10$ são $x=10$ e $x = -10$.

(iii) Se $x,y \in \mathbb{R}$, então $|x||y| = |xy|$.

Demonstração: Como $x$, $y$ e $xy$ são números reais quaisquer, podemos aplicar neles a propriedade (i). Fazendo isso, vamos obter,

$$|xy|^2 = (xy)^2 = x^2y^2 = |x|^2|y|^2 = (|x||y|)^2.$$

Como $|xy| \geq 0$ e $|x||y| \geq 0$ (pois $|x| \geq 0$ e $y \geq 0$), segue que,

$$|xy|^2 = (|x||y|)^2 \mbox{ que implica } \sqrt{|xy|^2} = \sqrt{(|x||y|)^2} \mbox{ que, por sua vez, implica } |xy| = |x||y|.$$

Portanto $|xy| = |x||y|$.

Exemplos:

1. $|2 \cdot 3| = |6| = 6$ e $|2||3| = 2 \cdot 3 = 6$.

2. $|(-1) \cdot 5| = |-5| = 5$ e $|-1||5| = 1 \cdot 5 =5$.

3. $|3 \cdot (-7)| = |-21| = 21$ e $|3||-7| = 3 \cdot 7 = 21$.

4. $|-4 \cdot (-8)| = |32| = 32$ e $|-4||-8| = 4 \cdot 8 = 32$.

(iv) Dados $x, y \in \mathbb{R}$ com $y \neq 0$, vale $\left|\displaystyle\frac{x}{y}\right| = \displaystyle\frac{|x|}{|y|}$.

Demonstração: É análoga à da propriedade anterior.

Exemplos:

1. $\left|\displaystyle\frac{3}{2}\right| = \displaystyle\frac{3}{2}$ e $\displaystyle\frac{|3|}{|2|} = \displaystyle\frac{3}{2}$.

2. $\left|\displaystyle\frac{-6}{5}\right| = \left|-\displaystyle\frac{6}{5}\right| = \displaystyle\frac{6}{5}$ e $\displaystyle\frac{|-6|}{|5|} = \displaystyle\frac{6}{5}$.

3. $\left|\displaystyle\frac{2}{-7}\right| =\left|-\displaystyle\frac{2}{7}\right| = \displaystyle\frac{2}{7}$ e $\displaystyle\frac{|2|}{|-7|} = \displaystyle\frac{2}{7}$.

4. $\left|\displaystyle\frac{-11}{-9}\right| = \left|\displaystyle\frac{11}{9}\right| = \displaystyle\frac{11}{9}$ e $\displaystyle\frac{|-11|}{|-9|} = \displaystyle\frac{11}{9}$.

(v) Para qualquer $x \in \mathbb{R}$, tem-se $x \leq |x|$ e $-x \leq |x|$.

Demonstração: Se $x \geq 0$, temos pela definição de módulo que, $|x|=x$. Assim, já temos que $x \leq |x|$. Como $x \geq 0$, segue que, $-x \leq 0$. Agora, sendo $|x| \geq 0$, obtemos $|x| \geq 0 \geq -x$, ou seja, $-x \leq |x|$. 

Vamos considerar agora $x < 0$. Assim, pela definição de módulo, $|x| = -x$. Consequentemente, já temos que $-x \leq |x|$. Observe que $|x| \geq 0$ e, juntando isso ao fato de que estamos considerando $x < 0$, temos que $x \leq |x|$. Portanto, não importa qual seja $x \in \mathbb{R}$, sempre teremos $x \leq |x|$ e $-x  \leq |x|$.

Exemplos: 

1. $|4| = 4 \geq 4$ e $|4| = 4 \geq -4$.

2. $|-2| = 2 \geq -2$ e $|-2| = 2 \geq -(-2) = 2$.   

(vi) (Desigualdade Triangular) Dados $x,y \in \mathbb{R}$, segue que $|x+y| \leq |x| + |y|$.

Demonstração: Vamos considerar duas possibilidades para $x+y$, são elas, $x+y \geq 0$ e $ x+y < 0$. 

Se $x+y \geq 0$, pela definição de módulo, vamos ter $|x+y| = x+y$. Aplicando a propriedade anterior a $x$ e a $y$, podemos escrever $x \leq |x|$ e $y \leq |y|$. Com isso, usando as propriedades de ordem dos números reais, vale a seguinte desigualdade, $x + y \leq |x| + |y|$. Como $|x+y| = x+y$, concluímos que $|x+y| \leq |x| + |y|$. 

Se $x+y < 0$, da definição de módulo segue que $|x + y| = -(x+y) = -x-y = (-x) + (-y)$. Aplicando novamente a propriedade anterior a $x$ e a $y$, temos $-x \leq |x|$ e $-y \leq |y|$. Disso e das ropriedades de ordem dos números reais, vale a desigualdade, $-x + (-y) \leq |x| + |y|$. Como $|x+y| = -x+(-y)$, concluímos que $|x+y| \leq |x| + |y|$. Portanto, essa propriedade vale para quaisquer números reais $x$ e $y$. 

Exemplos:

1. $|2+3| = |5| = 5$, $|2|+|3| = 2+3 = 5$ e $5 \leq 5$.

2. $|-1+4| = |3| = 3$, $|-1|+|4| = 1+4 = 5$ e $3 \leq 5$.

3. $|6-4| = |6+(-4)| = |2| = 2$, $|6|+|-4| = 6+4 = 10$ e $2 \leq 10$.

4. $|-2-5| = |-2+(-5)| = |-7| = 7$, $|-2|+|-5| = 2+5 = 7$ e $7 \leq 7$.

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