Essa é a primeira postagem sobre potenciação e radiciação, ou seja, estamos iniciando esse assunto aqui no blog. Começaremos com a potenciação com expoente natural e, nas postagens seguintes, trataremos da potenciação com números inteiros negativos, da radiciação, da potenciação com números racionais e irracionais. Veremos também todas as propriedades da potenciação e da radiciação e em quais situações podemos ou não podemos usá-las. Esse assunto de potenciação faz parte do que a gente chama de matemática básica. Eu diria que esse assunto é classificado como básico não por que é simples ou envolve operações simples, mas por que é muito importante, é algo que está na base da matemática, rudimentar. Ele aparece em todas as áreas da matemática. Está nas expressões algébricas, nos polinômios, nas funções, na trigonometria, na geometria, na álgebra, no cálculo, etc.. Então, entender o que é a potenciação com seus diferentes tipos de expoentes e suas propriedades é fundamental para o estudo da matemática, seja qual for o assunto que se está estudando. Vamos lá!
Potenciação com expoente natural
Antes de definirmos qualquer coisa com relação à potenciação com expoente natural, vamos nos lembrar do que é um número natural. O conjunto dos números naturais é o conjunto
$$\mathbb{N} = \{0,1,2,3,4,5, \dots\}.$$
Qualquer número que está no conjunto $\mathbb{N}$ é um número natural. Agora vamos definir potência com expoente natural.
Definição: Considere um número real $a$ qualquer (para saber o que é um número real, clique aqui). Chamamos de potência de base $a$ e expoente natural $n$ o número $a^n$, o qual é definido como segue:
$$\left\{\begin{array}{l} a^0 = 1 \mbox{ se } a \neq 0 \\ a^n = a^{n-1} \cdot a \mbox{ para todo } n \in \mathbb{N} \mbox{ e } n \geq 1.\end{array} \right.$$
Também podemos dizer que $a$ está elevado a $n$.
Na definição acima, o símbolo $\cdot$ denota a multiplicação e, no decorrer do texto, continuaremos a usar essa notação para a multiplicação.
A definição acima, da forma que ela está, parece ser um pouco confusa. Vamos entender o que ela está nos dizendo. Essa definição nos explica o que é o número $a^n$ para qualquer número real $a$ e qualquer número natural $n$. Ela nos diz que $a^0=1$ para qualquer $a$ real diferente de zero e que $a^n$ é igual a $a^{n-1}$ vezes $a$. Para ficar ainda mais claro, vamos escrever algumas potências para alguns valores de $n$:
$$\begin{eqnarray} a^0 &=& 1 \\ a^1 &=& a^0 \cdot a = a \\ a^2 &=& a^1 \cdot a = a \cdot a \\ a^3 &=& a^2 \cdot a = a \cdot a \cdot a \\ a^4 &=& a^3 \cdot a = a \cdot a \cdot a \cdot a \\ a^5 &=& a^4 \cdot a = a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \\ \vdots & & \\ a^n &=& a^{n-1} \cdot a = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \mbox{ vezes}} \end{eqnarray}$$
Aqui vimos a definição de potência, isto é, $a^n$ é um potência de $a$ com expoente $n$. Chamamos de potenciação a operação em si, ou seja, o ato de se calcular o valor de $a^n$.
Agora que entendemos as definições de potência e potenciação, vamos ver alguns exemplos numéricos.
Exemplos:
1. $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$;
2. $5^1 = 5$;
3. $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$;
4. $4^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 256$;
5. $\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^5 = \displaystyle\frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{2}{3} = \displaystyle\frac{32}{243}$;
6. $(-2) ^6 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 64$;
7. $(-1)^7 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1$;
8. $-4^2 = - 4 \cdot 4 = -16$;
9. $-10^3 = - 10 \cdot 10 \cdot 10 = -1000$;
10. $(1,25)^8 = 1,25 \cdot 1,25 \cdot 1,25 \cdot 1,25 \cdot 1,25 \cdot 1,25 \cdot 1,25 \cdot 1,25 = 5,960464478$;
11. $235^0 = 1$.
Observação importante: No exemplo 8, somente o número $4$ está elevado a $2$, o sinal de menos não. Assim, o sinal de menos "fica para fora" da potenciação. No exemplo 9 ocorre algo semelhante, somente o número $10$ está elevado a $3$, o sinal de menos não. Vamos ver mais alguns exemplos envolvendo isso.
12. $-4^5 = -4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = -1024$;
13. $-(-3)^4 = - (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = - 81$;
14. $-(-7)^3 = - (-7) \cdot (-7) \cdot (-7) = - (-343) = 343$.
Sempre que um sinal de menos aparece fora de uma potência, ele permanece no cálculo. Caso o resultado da potência seja negativo e houver um sinal fora da potência, não se esqueça de fazer o jogo de sinal, assim como no exemplo 14.
Veremos agora as propriedades das potências com expoente natural.
Propriedades: Sejam $m,n \in \mathbb{N}$ e $a,b \in \mathbb{R}$. Temos
(i) $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$;
(ii) $\displaystyle\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ se $m \geq n$ (isso para que o expoente continue sendo um número natural);
(iii) $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$;
(iv) $\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^n = \displaystyle\frac{a^n}{b^n}$ se $b \neq 0$;
(v) $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
Essas propriedades possuem demonstrações, isto é, provas de que, de fato, elas são verdadeiras. Porém, para fazer a demonstração dessas propriedades é necessário um objeto matemático chamado princípio de indução finita, o que está além do meu objetivo aqui. Por isso, vou omitir as demonstrações dessas propriedades. Vamos ver um exemplo para cada uma delas:
Exemplos:
1. $2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8$;
2. $\displaystyle\frac{6^5}{6^2} = 6^{5-2} = 6^3$;
3. $(-4 \cdot 8)^4 = (-4)^4 \cdot 8^4$;
4. $\left(\displaystyle\frac{6}{7}\right)^2 = \displaystyle\frac{6^2}{7^2}$;
5. $(10^3)^9 = 10^{3 \cdot 9} = 10^{27}$.
Observação importante: Considere $a \in \mathbb{R}$ com $a \geq 0$. Sabemos que $(-1)^2 = (-1) \cdot (-1) = 1$. Dado um número real $n$, se ele for par, ele terá a forma $n = 2k$ com $k \in \mathbb{N}$ e, se ele for ímpar, ele terá a forma $n = 2l+1$ com $l \in \mathbb{N}$. Desse modo, temos, usando as propriedades acima, que
Para $n$ par: $(-a)^n = ((-1)a)^{2k} = (-1)^{2k} \cdot a^{2k} = ((-1)^2)^k \cdot a^{2k} = 1^k \cdot a^{2k} = a^{2k} = a^n$;
Para $n$ ímpar: $(-a)^n = ((-1)a)^{2l+1} = (-1)^{2l+1} \cdot a^{2l+1} = ((-1)^{2l} \cdot (-1)) \cdot a^{2k} = ((-1)^2)^l \cdot (-1) \cdot a^{2l+1} = 1^l \cdot (-1) \cdot a^{2l+1} = - a^{2l+1} = -a^{n}$.
Acabamos de mostrar que, se $n$ é par, então $(-a)^n = a^n$ e que, se n é ímpar, $(-a)^n = -a^n$. Em outras palavras, potência de número negativo com expoente par possui resultado positivo e potência de número negativo com expoente ímpar possui resultado negativo. Outra coisa importante é o seguinte, observe que o sinal negativo está "dentro" da potência, é nesse caso que essa regra funciona, $(-a)^n$ é diferente de $-a^n$, na primeira se a usa a regra, na segunda não, o sinal de menos permanece, pois não está dentro da potência.
Vamos ver alguns exemplos disso.
Exemplos:
1. $(-2)^4 = 2^4 = 16$;
2. $(-4)^3 = -4^3 = - 64$;
3. $-5^6 = -15625$;
4. $-8^3 = - 512$.
5. $-(-32)^3 = - (-32^3) = -(-32768) = 32768$;
6. $-\left(-\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2 = - \left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2 = -\displaystyle\frac{3^2}{4^2} = \displaystyle\frac{9}{16}$.
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