No post anterior vimos a definição de raiz ou zero de uma função quadrática, vimos de onde vem a fórmula de Bhaskara e também como aplicá-la. A fórmula de Bhaskara, sem dúvida alguma, é a melhor ferramenta para determinar se uma função quadrática possui raízes reais e, em caso afirmativo, calculá-las. Por isso é fundamental conhecê-la e saber aplicá-la. A fórmula de Bhaskara não é uma fórmula complicada de se usar, porém ela envolve algumas operações que, dependendo dos coeficientes da função quadrática ($a$, $b$ e $c$), podem se tornar trabalhosas. Assim, podemos nos questionar se há alguma forma mais rápida ou menos trabalhosa do que a fórmula de Bhaskara para determinar as raízes de uma função quadrática. A resposta para esse questionamento é: não há nada mais eficiente que a fórmula de Bhaskara, porém para alguns casos particulares de funções quadráticas há formas alternativas mais simples de se encontrar as raízes. Vamos ver quais são essas formas alternativas para determinar as raízes de uma função quadrática sem usar a fórmula de Bhaskara.
Função quadrática na forma $f(x) = ax^2+bx$
Quando a função quadrática tem a forma $f(x) = ax^2+bx$ com $a,b \in \mathbb{R}$ e $a \neq 0$, ou seja, temos $c = 0$, podemos dispensar a fórmula de Bhaskara. Para determinar as raízes de $f(x)=ax^2+bx$, devemos resolver a seguinte equação:
$$ax^2+bx = 0.$$
Essa última equação, colocando o $x$ em evidência, pode ser reescrita na forma:
$$x(ax+b) = 0.$$
Olha só o que temos agora. Temos o produto de dois números reais, $x$ e $ax+b$, dando $0$. O produto de dois números reais só tem resultado igual a zero quando (pelo menos) um dos fatores for igual a zero. Desse modo, as possibilidades para que o produto $x(ax+b)$ seja igual a $0$ são:
$x=0$ ou $(ax+b)=0$.
Disso segue de imediato que uma raiz é $x=0$. A outra raiz é
$ax+b = 0$, que é equivalente a $ax = -b$, ou ainda, $x=-\displaystyle\frac{b}{a}$.
Portanto, uma função quadrática na forma $f(x)=ax^2+bx$ possui raízes $x = 0$ e $x =-\displaystyle\frac{b}{a}$.
Exemplo:
1. Determine as raízes da função quadrática $f(x) = 2x^2+3x$.
Solução: Fazendo $2x^2+3x=0$, temos, colocando $x$ em evidência,
$$x(2x+3)=0.$$
Assim, as raízes são $x=0$ e
$$2x+3=0$$
$$2x=-3$$
$$x=-\displaystyle\frac{3}{2}.$$
Função quadrática na forma $f(x) = ax^2-c$ ($a, c \in \mathbb{R}$ com $a,c >0$ ou $a,c<0$)
Quando a função quadrática tem a forma $f(x) = ax^2-c$ onde $a,c \in \mathbb{R}$ com $a,c >0$ ou $a,c<0$, a fórmula de Bhaskara também pode ser dispensada. Podemos encontrar as raízes dessa função quadrática fazendo o seguinte:
$$ax^2 - c=0.$$
Essa equação é equivalente a
$$ax^2 = c \mbox{ ou ainda } x^2 = \displaystyle\frac{c}{a}.$$
As condições que temos sobre $a$ e $c$ nesse caso implicam $\displaystyle\frac{c}{a} > 0$, dessa forma, existe $\sqrt{\displaystyle\frac{c}{a}}$. Logo, as raízes dessa função quadrática são:
$$x_1 = \sqrt{\displaystyle\frac{c}{a}} \mbox{ e } x_2 = -\sqrt{\displaystyle\frac{c}{a}},$$
pois $\left(\sqrt{\displaystyle\frac{c}{a}}\right)^2 = \displaystyle\frac{c}{a}$ e $\left(-\sqrt{\displaystyle\frac{c}{a}}\right)^2 = \displaystyle\frac{c}{a}$.
Se nesse tipo de função quadrática não tivermos as condições $a,c >0$ ou $a,c<0$ satisfeitas, ou seja, se $a$ e $b$ tiverem sinais diferentes, o quociente $\displaystyle\frac{c}{a}$ vai ser negativo e, sabemos que, raiz quadrada de número real negativo não existe. Sendo assim, se não tivermos as condições $a,c >0$ ou $a,c<0$ satisfeitas, a função quadrática não possui raízes reais.
Exemplos:
1. Determine as raízes da função quadrática $f(x) = 4x^2-8$.
Solução: Fazendo $4x^2 - 8 =0$, vamos ter
$$4x^2 - 8 = 0$$
$$4x^2 = 8$$
$$x^2 = \displaystyle\frac{8}{4}$$
$$x^2 = 2.$$
Assim, as raízes de $f$ são $x_1 = \sqrt{2}$ e $x_2 = -\sqrt{2}$.
2. Determine as raízes da função quadrática $g(x) = -x^2+9$.
Solução: Fazendo $-x^2+9 =0$, vamos ter
$$-x^2 + 9 = 0$$
$$-x^2 = -9$$
$$x^2 = 9$$
Assim, as raízes de $g$ são $x_1 = \sqrt{9}=3$ e $x_2 = -\sqrt{9}=-3$.
Soma e Produto
Considere agora uma função quadrática na forma $f(x) = x^2+bx+c$, ou seja, $a=1$. Suponha que $f$ possua duas raízes $m, n \in \mathbb{R}$ que podem ser iguais. Se $m$ e $n$ são raízes de $f$, pode ser provado (usando divisão de polinômios) que $f$ pode ser escrita na forma:
$$f(x) = (x-m)(x-n).$$
Fazendo a distributiva no segundo membro da igualdade acima, temos
$$f(x) = x^2-xn-mx+mn = x^2-(m+n)x+mn.$$
Desse modo, temos a igualdade:
$$x^2+bx+c = x^2-(m+n)x+mn,$$
que só é possível se $b = -(m+n)$ e $c = mn$. Portanto, se sabemos que $f$ possui duas raízes $m$ e $n$ ainda desconhecidas, que podem ser iguais, para determiná-las, basta encontrar dois números $m$ e $n$ tais que $b = -(m+n)$ e $c = mn$. Essa é a regra chamada soma e produto.
Exemplos
1. Determine as raízes da função quadrática $f(x) = x^2-5x+6$.
Solução: Nessa função quadrática temos $b=-5$ e $c=6$. De acordo com a regra soma e produto, se encontrarmos dois números reais $m$ e $n$ tais que $-(m+n) = -5$ e $mn = 6$, esses números são raízes de $f$. Observe que, para $m=2$ e $n=3$ valem $-(2+3) = -5$ e $2 \cdot 3 = 6$. Logo as raízes da função quadrática $f$ são $x_1 = 2$ e $x_2 = 3$.
2. Determine as raízes da função quadrática $f(x) = x^2 +3x-4$.
Solução: Nessa função quadrática temos $b=3$ e $c=-4$. De acordo com a regra soma e produto, se encontrarmos dois números reais $m$ e $n$ tais que $-(m+n) = 3$, ou ainda $m+n=-3$ e $mn = -4$, esses números são raízes de $f$. Observe que, para $m=-4$ e $n=1$ valem $(-4+1) = -3$ e $(-4) \cdot 1 = -4$. Logo as raízes da função quadrática $f$ são $x_1 = -4$ e $x_2 = 1$.
3. Determine as raízes da função quadrática $g(x) = 2x^2-3x-2$.
Solução: Aparentemente, não é possível usar soma e produto para calcular as raízes da função $g$ pois $a = 2 \neq 1$. Porém podemos usar sim. Observe que a equação
$$2x^2-3x-2=0 \mbox{ é equivalente a } 2(x^2-\frac{3}{2}x-1)=0.$$
Isto é, para encontrar as raízes de $g$, basta encontrarmos as soluções da equação
$$(x^2-\frac{3}{2}x-1)=0.$$
Observe que podemos usar soma e produto para determinar as raízes de $h(x) = x^2-\frac{3}{2}x-1$. Note que $-(-\frac{1}{2}+ 2) = -\frac{3}{2}$ e $-\frac{1}{2} \cdot 2 = -1$. Desse modo, as soluções de $f$ são $x_1 = -\frac{3}{2}$ e $x_2 = 2$.
Observação:
(a) Apesar da soma e produto ser aparentemente mais fácil de se usar para obter as raízes de um polinômio, ela não tem o poder de nos dar a informação sobre a existência de raízes reais de um polinômio. Além disso, dependendo dos coeficientes $b$ e $c$, vai ficar difícil de encontrar as raízes por soma e produto. Então, é aconselhável saber como usar a Fórmula de Bhaskara, pois ela sempre funciona.
(b) A regra soma e produto não facilita as contas em qualquer caso, por exemplo, considere a função quadrática
$$f(x) = x^2 +\sqrt{2}x-\pi.$$
Essa função possui duas raízes reais distintas $m$ e $n$. Por meio de soma e produto, devemos determinar $m$ e $n$ tais que $-(m+n) = \sqrt{2}$ e $mn = \pi$. Essa com certeza não é uma tarefa fácil. Logo, nesse caso deve-se se usar a velha e boa fórmula de Bhaskara.
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