As expressões numéricas estão presentes em todas as áreas da matemática. Em qualquer problema de matemática, principalmente os aplicados, há contas para se fazer, desde as mais simples, como calcular um troco após comprar pães numa padaria, até os mais complicados, como construir um prédio como o Burj Khalifa. Diante disso fica clara a importância das expressões numéricas, elas estão presentes em quase tudo o que o ser humano faz. Por isso, a seguir, veremos detalhadamente a definição de uma expressão numérica e como calculá-las. Vamos lá!
O que é uma expressão numérica?
Definição: Uma expressão numérica é uma sequência de operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação) entre números.
A multiplicação pode ser denotada pelos símbolos $\times$ e $\cdot$. Em algumas casos, para simplificação, o símbolo de multiplicação é omitido. Também, além o símbolo $\div$ usado para a operação de divisão, podemos usar as frações $\displaystyle\frac{a}{b}$ para dizer que $a$ está sendo divido por $b$. Para compreendermos melhor a definição de expressão numérica, vejamos alguns exemplos de expressões numéricas:
1. $2+3$
2. $5-\displaystyle\frac{1}{2}+8$
3. $5 \times 9 + 1 -10$
4. $3 \div 2 + \displaystyle\frac{8}{9}$
5. $5 \times 8 + 10 \div 2 - 8 + 2^2$
6. $ 5 \cdot 2 + 8 - 2 \cdot \sqrt{4} + 1 - 3^5$
7. $\sqrt{5} \times 2 + 3 \times (4+8)+2$
8. $3 \cdot (8+2) + 4^5 \div 2 + \sqrt[3]{8}$
9. $\sqrt{8+17} \times (3+1) - 10 \div 5 + (4+1) \div2 $
10. $3 \cdot[4 \cdot 21 \div (3+4)] + 32 \div 2^4$
11. $10 + 8 \cdot \{3+5^2 \div 5-[3+8\cdot(\sqrt{4}+2)]\}$
12. $10 \div (3-2(1+6\div2 - (1+6) \cdot 4^2))$
13. $1+ \displaystyle\frac{2+ 4(\sqrt{49}-1)}{8} \cdot [1+3\cdot(3+5^2)]$
14. $(-1)^3 + 2 \cdot (4 \div (7+1)) - \displaystyle\frac{2+\sqrt{5}\cdot (4+1)^3}{\sqrt[3]{27}-4^2}$
Como você pode perceber pelos exemplos acima, podemos construir várias expressões numéricas, menores, maiores, mais simples ou mais complicadas. Bom, a pergunta que surge agora é: Como calcular essas expressões numéricas? Para responder a essa pergunta, vamos separar e as expressões numéricas em dois tipos: as que não possuem parênteses, colchetes ou chaves e as que possuem. Nessa postagem vamos aprender a resolver as expressões numéricas que não possuem parênteses, colchetes ou chaves. As que possuem parênteses, colchetes ou chaves ficarão para a próxima postagem, onde vamos explicar a função de cada objeto desse numa expressão numérica.
Como calcular uma expressão numérica que não possui parênteses, colchetes ou chaves?
Quando olhamos expressões numéricas, assim como as do exemplo anterior, do 1 ao 6, é natural nos perguntarmos: Quais operações devem ser feitas primeiro? Vamos responder a essa pergunta analisando diferentes tipos de expressões, partindo das mais simples até as mais complicadas.
(a) Expressões somente com somas e subtrações
As expressões desse caso devem ser resolvidas na ordem em que as operações aparecem.
Exemplos
(i) $$3-4+5 = -1 + 5 = 4$$
(ii) \begin{eqnarray*} 4- \displaystyle\frac{2}{3} + 1 + 5 - 2 &=& \displaystyle\frac{10}{3} + 1 + 5 - 2 \\ &=& \displaystyle\frac{13}{3} + 5 - 2 \\ &=& \displaystyle\frac{28}{3} - 2 = \displaystyle\frac{22}{3} \end{eqnarray*}
Como está escrito acima, se você fizer as operações na expressão numérica na ordem em que elas aparecem, você não vai errar. Mas, se você quiser calcular as expressão numéricas mais rápido, você pode efetuar mais de uma operação de uma vez, mais precisamente, você pode fazer as operações aos pares. Isso pode ser feito devido à propriedade associativa dos números reais. Vejamos um exemplo:
(iii) \begin{eqnarray*} 2+1 - \displaystyle\frac{1}{2} + 3 + 14 - 1 &=& 3 + \displaystyle\frac{7}{2} + 13 \\ &=& \displaystyle\frac{13}{2} + 13 = \displaystyle\frac{39}{2} \end{eqnarray*}
(b) Expressões numéricas com somas, subtrações, multiplicações e divisões
Quando, além da adição e da subtração, temos também em uma expressão numérica a multiplicação e a divisão, as operações de multiplicação e de divisão devem ser feitas primeiro. Depois de efetuá-las, sobrarão somente as operações de adição e de subtração, ou seja, vamos cair no caso anterior, assim, é só proceder da forma que vimos anteriormente. Vejamos alguns exemplos.
(i) $$3+ 2 \times 5 = 3 + 10 = 13$$
(ii) \begin{eqnarray*} 10 - \displaystyle\frac{1}{2} \times 2 + 1 + 5 \times 3 &=& 10 -1 + 1 + 5 \times 3 \\ &=& 10 -1 + 1 + 15 \\ &=& 10 + 15 = 25 \end{eqnarray*}
(iii) \begin{eqnarray*} 8-21 \div 3 +2 &=& 8 - 7+2 \\ &=& 1+2 = 3 \end{eqnarray*}
(iv) \begin{eqnarray*} 3 \div 2 +1 - \displaystyle\frac{1}{2} + 100 \div 5 = &=& 1,5 +1 - \displaystyle\frac{1}{2} + 100 \div 5 \\ &=& 1,5 +1 - \displaystyle\frac{1}{2} + 25 \\ &=& 2,5 - \displaystyle\frac{49}{2} \\ &=& 2,5 + 25,5 = 28 \end{eqnarray*}
(v) \begin{eqnarray*} 4+3\cdot 2 - 3 + 10 \div 2 - 1 &=& 4+6-3+10 \div 2-1 \\ &=& 4+6-3+5-1 \\ &=& 10+2 -1 \\ &=& 12 -1 =11 \end{eqnarray*}
Nos exemplos acima, a cada passo da resolução efetuamos uma divisão ou uma multiplicação. Quando multiplicações e divisões aparecem na mesma expressão, podemos calculá-las simultaneamente (desde que não sejam em sequência, exatamente).
(vi) \begin{eqnarray*} 64 \div 4 + 3 - 5 \times 2 &=& 16+3-10 \\ &=& 19-10 = 9 \end{eqnarray*}
(vii) \begin{eqnarray*} 15+2 \times 10 - 8 \div 2 - 3 \times 4 & =& 5 + 20 - 4 - 3 \\ &=& 25 - 7 = 18 \end{eqnarray*}
(viii) \begin{eqnarray*} 3+\displaystyle\frac{1}{2}+3 \times 2 - 70 \div 10 - 5 \div 2 &=& 3 + \displaystyle\frac{1}{2} + 6 - 7 - 2,5 \\ &=& \displaystyle\frac{7}{2} - 1 -2,5 \\ &=& \displaystyle\frac{7}{2} - 3,5 \\ &=& 3,5 - 3,5 = 0 \end{eqnarray*}
(c) Expressões numéricas com somas, subtrações, multiplicações, divisões, potências e raízes.
Quando incluímos potências e raízes nas expressões numéricas do caso anterior, as potências e as raízes devem ser resolvidas primeiro.
(i) \begin{eqnarray*} 3 +2^2-3 \times 2 - 8 \div 2 &=& 3+4- 3 \times 2 - 8 \div 2 \\ &=& 3+4-6-4 \\ &=& 7 - 10 = -3 \end{eqnarray*}
(ii) \begin{eqnarray*} \sqrt{25} - 2 \times 3 + 2 &=& 5-2\times3 + 2 \\ &=& 5-6+2 \\ &=& -1+2 = 1 \end{eqnarray*}
Nos exemplos anteriores tivemos expressões numéricas ou com potências ou com raízes. Caso estejam as duas em uma expressão numérica, podemos fazê-las simultaneamente.
(iii) \begin{eqnarray*} \sqrt[3]{8} - 3^4 + 8 \div 2 + \displaystyle\frac{5}{4} &=& 2 - 81 + 8 \div 2 + \displaystyle\frac{5}{4} \\ &=& 2 - 81 + 4 + \displaystyle\frac{5}{4} \\ &=& -79 + \displaystyle\frac{21}{5} = -\displaystyle\frac{295}{4} \end{eqnarray*}
(iv) \begin{eqnarray*} \displaystyle\frac{3}{2} + \sqrt{49} - 3 + 2^3 - 4^2 + 25 \div 5 &=& \displaystyle\frac{3}{2} + 7 -3 + 8 - 16 + 25 \div 5 \\ &=& \displaystyle\frac{3}{2} +7-3+8-16 +5 \\ &=& \displaystyle\frac{17}{2} + 5 -11 \\ &=& \displaystyle\frac{27}{2} - 11 = \displaystyle\frac{5}{2}\end{eqnarray*}
Ainda é possível fazer o seguinte, se numa expressão numérica estiver presentes multiplicações, divisões, potências e raízes, essas operações podem ser feitas simultaneamente (somente se elas não forem em sequência). A vantagem disso é que a resolução será mais curta.
(v) \begin{eqnarray*} 2+ 3^3 - 4 \times 2 + 10 \div 5 + \sqrt{9} &=& 2 + 27-2+2+3 \\ &=& 29 +3 =31\end{eqnarray*}
(d) Expressões onde aparecem multiplicações e divisões em sequência
Quando multiplicações e divisões aparecem em sequência numa expressão numérica, tais operações devem ser feitas na sequência em que aparecem, da esquerda para a direita. Vejamos alguns exemplos
(i) $$2 \times 6 \div 3 = 12 \div 3 = 4$$
(ii) $$5 \div 2 \times 3 = 2,5 \times 3 = 7,5$$
(iii) $$3 \times 3 \times 2 \div 9 = 9 \times 2 \div 9 = 18 \div 9 = 2$$
(iv) $$5 \times 3 \div 2 \div \displaystyle{1}{2} = 15 \div 2 \div \displaystyle\frac{1}{2} = 7,5 \div \displaystyle\frac{1}{2} = 15$$
Multiplicações e divisões em sequência também podem aparecer juntamente com somas e subtrações. Se esse for o caso, essa sequência de multiplicações e divisões devem ser feitas primeiro.
(v) $$4+2 \times 3 \div 12 = 4 + 6 \div 12 = 4 + 0,5 = 4,5$$
(vi) $$2 \times 3 \times 5 \div 15 + 2 -10 = 6 \times 5 \div 15 + 2 - 1 = 30 \div 15 + 2 -1 = 2 +2 -1 = 4 -1 = 3$$
Podemos ter ainda, juntamente com as somas, subtrações, multiplicações e divisões em sequência, as potências e as raízes. Se isso acontece, faça as sequências de multiplicações e divisões primeiro, depois faça as potências e as raízes e, por fim, as somas e as subtrações.
(vii) $$2 + \sqrt{4} - 3 \times 4 \div 8 = 2 + \sqrt{4} - 12 \div 8 = 2 + \sqrt{4}-1,5 = 2 + 2 -1,5 = 4 - 1,5 = 2,5$$
(viii) \begin{eqnarray} 1 + 2^2 - 1 \div 2 \div 4 \times 10 + \sqrt[3]{27} &=& 1 + 2^2 - 0,5 \div 4 \times 10 + \sqrt[3]{27} \\ &=& 1 + 2^2 - 0,125 \times 10 + \sqrt[3]{27} \\ &=& 1 + 2^2 -1,25 + \sqrt[3]{27} \\ &=& 1 + 4 -1,25 + 3 \\ &=& 5 + 1,75 = 6,75 \end{eqnarray}
(e) Expressões onde aparecem multiplicações, divisões, potências e raízes em sequência
Quando temos multiplicações, divisões, potências e raízes em sequência, nessas sequências devem ser feitas primeiro as potências e as raízes e depois se calcula a sequência de multiplicações e divisões que restarem.
(i) $$5 \times 2^3 \div 8 = 5 \times 8 \div 8 = 40 \div 8 = 5$$
(ii) $$\sqrt{49} \div 2 \times 4 = 7 \div 2 \times 4 = 3,5 \times 4 = 14$$
(iii) $$3 \times 4^2 \div 8 \times \sqrt{4} = 3 \times 16 \div 8 \times 2 = 48 \div 8 \times 2 = 6 \times 2 = 12$$
Juntamente com esse tipo de sequência de operações, podem aparecer somas, subtrações, potências e raízes. Se isso ocorre, faças as sequências de multiplicações e divisões, possuindo potências e\ou raízes ou não, depois resolvas as potências e as raízes, em seguida faça as multiplicações e as divisões e, por fim faça as somas e as subtrações.
(iv) \begin{eqnarray*} 2 + 2 \times 3^4 \div 4 + 2 \div 10 - \sqrt{100} &=& 2 + 2 \times 81 \div 4 + 2 \div 10 - \sqrt{100} \\ &=& 2 + 162 \div 4 + 2 \div 10 - \sqrt{100} \\ &=& 2 + 162 \div 4 + 2 \div 10 - 10 \\ &=& 2 + 40,5 + 0,2 -10 \\ &=& 42,5 - 9,8 = 32,7 \end{eqnarray*}
(v) \begin{eqnarray*} 4^2 - 36 \div 2 \times \sqrt{36} \div 2^3 - 3 \times 4 + 10 \div 2 - \sqrt{81} &=& 4^2-36 \div 2 \times 6 \div 8 - 3 \times 4 + 10 \div 2 - \sqrt{81} \\ &=& 4^2-18 \times 6 \div 8 - 3 \times 4 + 10 \div 2 - \sqrt{81} \\ &=& 4^2-3 \div 8 - 3 \times 4 + 10 \div 2 - \sqrt{81} \\ &=& 16-3\div8 - 3 \times 4 + 10 \div 2 -9 \\ &=& 16 - \displaystyle\frac{8}{3} - 12 + 5 - 9 \\ &=& \displaystyle\frac{40}{3} - 7 - 9 \\ &=& \displaystyle\frac{19}{3} - 9 = -\displaystyle\frac{8}{3} \end{eqnarray*}
Acredito que até aqui abordamos todas as possibilidades de expressões numéricas onde não parecem parênteses, colchetes e chaves. Existem outras formas de se resolver expressões numéricas além das que foram dadas aqui nessa postagem, mas, as que estão aqui com certeza farão com que você resolva os tipos de expressões numéricas abordadas corretamente.
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