Até aqui, aprendemos a resolver vários tipos de inequações, inclusive àquelas que possuem módulo. Para continuarmos o estudo das inequações com módulos, vamos precisar parar um pouco com as inequações, propriamente ditas, e pensarmos um pouco mais sobre o módulo. Nessa postagem vamos responder à seguinte pergunta: "é possível reescrever uma expressão com módulos sem utilizar o módulo?" Já antecipando a resposta, sim! Esse processo de reescrever uma expressão com módulos sem utilizar o módulo é muito útil para resolver alguns tipos complicados de inequações. E não para por aí, esse processo é muito importante também em assuntos mais avançados de matemática, como calcular derivadas e integrais de funções (derivadas e integrais são estudados em cursos superiores que possuem uma disciplina chamada Cálculo I). Então, não vamos perder mais tempo, vamos aprender como fazer isso. Vamos lá!
Como reescrever uma expressão com módulos sem o módulo
Antes de qualquer coisa, vamos relembrar a definição de módulo (ou valor absoluto) de um número real.
Definição: Definimos o módulo ou valor absoluto de um número real $x$, denotado por $|x|$, como sendo
$$|x| = \left\{ \begin{array}{rcc} x, & \mbox{se} & x \geq 0 \\ -x, & \mbox{se} & x < 0. \end{array} \right.$$
Veja mais detalhes sobre o módulo de um número real e sua interpretação geométrica nessa postagem.
Observe que, na definção de módulo temos um $x$ representando um número real qualquer. Isso implica que esse $x$ pode ser substituído por qualquer outra "coisa" que seja um número real, isto é, podemos colocar no lugar do $x$ uma expressão algébrica. Já fizemos isso, pelo menos, nas duas postagens anteriores.
A seguir vamos ver exemplos de como reescrever expressões com módulos sem usar o módulo. Vamos fazer isso separando em casos, são eles: expressões com somente um módulo, expressões com mais de um módulo e expressões com módulos e sem módulos.
Expressões com somente um módulo
Exemplos:
1. Considere a expressão algébrica $x-1$ e o seu módulo, ou seja, $|x-1|$. Trocando, na definição de módulo, $x$ por $x-1$, vamos ter
$$|x-1| = \left\{ \begin{array}{rcc} x-1, & \mbox{se} & x-1 \geq 0 \\ -(x-1), & \mbox{se} & x-1 < 0. \end{array} \right.$$
Podemos melhorar o que está escrito acima. Note que $-(x-1) = -x+1$, $x-1 \geq 0$ é equivalente a $x \geq 1$ e que $x-1 < 0$ é equivalente a $x < 1$. Assim,
$$|x-1| = \left\{ \begin{array}{rcc} x-1, & \mbox{se} & x \geq 1 \\ -x+1, & \mbox{se} & x < 1. \end{array} \right.$$
Pronto! Reescremos a expressão $|x-1|$, a qual possui somente um módulo, como uma expressão que não possui módulo. A expressão reescrita fica assim mesmo, em duas partes. Você pode até pensar que não ficou tão simples ou que não há vantagem em reescrever uma expressão com módulo dessa forma, mas apesar disso, é vantajoso. Fazer contas com uma expressão sem módulo, mesmo que esteja em partes, é mais fácil.
Vamos fazer mais um exemplo.
2. Considere a expressão com módulo $|2x+3|$. Usando o mesmo raciocínio anterior e fazendo as contas
$$-(2x+3) = -2x-3,$$
\begin{eqnarray} 2x + 3 & \geq & 0 \\ 2x &\geq& -3 \\ x &\geq& -\frac{3}{2} \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} 2x + 3 & < & 0 \\ 2x &<& -3 \\ x &<& -\frac{3}{2} \end{eqnarray}
temos que,
$$|2x+3| = \left\{ \begin{array}{rcc} 2x+3, & \mbox{se} & x \geq -\frac{3}{2} \\ -2x-3 & \mbox{se} & x < -\frac{3}{2}. \end{array} \right.$$
Agora vamos complicar um pouquinho as coisas. Vamos fazer dois exemplos com expressões com mais de um módulo.
Expressões com mais de um módulo
Exemplos:
3. Considere a expressão $|x+1| + |x-2|$. Primeiramente, reescreva, sem utilizar o módulo, os dois termos da soma, assim como fizemos nos exemplos anteriores. Desse modo, temos
$$|x+1| = \left\{ \begin{array}{rcc} x+1, & \mbox{se} & x \geq -1 \\ -x-1 & \mbox{se} & x < -1 \end{array} \right.$$
e
$$|x-2| = \left\{ \begin{array}{rcc} x-2, & \mbox{se} & x \geq 2 \\ -x+2 & \mbox{se} & x < 2 \end{array} \right.$$
Note que, aos reescrevermos a expressão $|x-1|$, ela ficou dividida em duas partes pelo $-1$ e a expressão $|x-2|$ ficou dividida em duas partes pelo $2$. Desse modo, para reescrevermos a soma $|x+1|+|x-2|$ sem os módulos, devemos considerar três possibilidades para o valor de $x$, a saber, $x < -1$, $-1 \leq x < 2$ e $x \geq 2$ e analisar o que acontece com a soma dos módulos em cada um desses casos. Devemos fazer isso pois alguma das expressões dentro dos módulos sempre mudará de sinal quando mudamos o intervalo onde $x$ está. Assim, temos:
- Para $x < -1$:
Nesse caso temos $|x+1| = -x-1$ e, como, $x < -1 < 2$, também temos $|x-2| = -x+2$. Logo, para $x < -1$, segue que
$$|x+1|+|x-2| = -x-1 + (-x+2) = -2x+1$$
- Para $-1 \leq x < 2$:
Nesse caso, temos $|x+1| = x+1$ e $|x-2| = -x+2$. Logo, para $-1 \leq x < 2$, segue que
$$|x+1|+|x-2| = x+1 + (-x+2) = 3$$
- Para $x \geq 2$:
Nesse caso, como $x \geq 2 \geq -1$ temos $|x+1| = x+1$ e $|x-2| = x-2$. Logo, para $x \geq 2$, segue que
$$|x+1|+|x-2| = x+1 + x-2 = 2x-1.$$
Reescrevendo os cálculos acima em uma expressão só, temos:
$$|x+1|+|x-2| = \left\{ \begin{array}{ccc} -2x+1, & \mbox{se} & x < -1 \\ 3 & \mbox{se} & -1 \leq x < 2 \\ 2x-1 & \mbox{se} & x \geq 2 \end{array} \right.$$
Portanto, a expressão $|x+1|+|x-2|$ pode ser reescrita sem o módulo em três partes.
Vamos fazer mais um exemplo parecido com o anterior.
4. Considere a expressão $|2x-1|-3|x+4|$. Reescrevendo os módulos que aparecem nessa expressão, temos
$$|2x-1| = \left\{ \begin{array}{rcc} 2x-1, & \mbox{se} & x \geq \frac{1}{2} \\ -2x+1 & \mbox{se} & x < \frac{1}{2} \end{array} \right.$$
e
$$|x+4| = \left\{ \begin{array}{rcc} x+4, & \mbox{se} & x \geq -4 \\ -x-4 & \mbox{se} & x < -4 \end{array} \right.$$
Como o primeiro módulo foi dividido em duas partes em $\displaystyle\frac{1}{2}$ e o segundo em $-4$, para reescrever a expressão $|2x-1|-3|x+4|$ vamos considerar os casos $x < -4$, $-4 \leq x < \displaystyle\frac{1}{2}$ e $x \geq \displaystyle\frac{1}{2}$. Desse modo,
- Para $x < -4$:
Como $x < -4 < \displaystyle\frac{1}{2}$, segue que $|2x-1| = -2x+1$. Também temos $|x+4| = -x-4$. Logo, para $x < -4$, segue que
$$|2x-1|-3|x+4| = -2x+1 - 3(-x-4) = -2x+1 + 3x + 12 = x+13$$
- $-4 \leq x < \displaystyle\frac{1}{2}$:
Nesse caso, temos $|2x-1| = -2x+1$ e $|x+4| = x+4$. Logo, para $-4 \leq x < \displaystyle\frac{1}{2}$, segue que
$$|2x-1|-3|x+4| = -2x+1 - 3(x+4) = -2x+1 - 3x - 12 = -5x-11$$
- Para $x \geq \displaystyle\frac{1}{2}$:
Nesse caso, temos $|2x-1| = 2x-1$ e, como $x \geq \displaystyle\frac{1}{2} > -4$, segue que $|x+4| = x+4$. Logo, para $x \geq \displaystyle\frac{1}{2}$, segue que
$$|2x-1|-3|x+4| = 2x-1 - 3(x+4) = 2x-1 - 3x - 12 = -x-13$$
Reescrevendo os cálculos acima em uma expressão só, temos:
$$|2x-1|-3|x+4| = \left\{ \begin{array}{ccc} x+13, & \mbox{se} & x < -4 \\ -5x-11 & \mbox{se} & -4 \leq x < \frac{1}{2} \\ -x-13 & \mbox{se} & x \geq \frac{1}{2} \end{array} \right.$$
Observação: Se você precisar reescrever uma expressão que é formada por somas ou subtrações de mais de 2 módulos, você pode usar o mesmo raciocínio. Mas lembre-se, quanto mais termos com módulo houver na expressão, em um maior número de partes ela será dividida. Por exemplo, uma expressão com três módulo será divida em quatro partes, uma com 4 módulos será dividida em 5 partes e assim por diante.
Vamos passar para um outro caso. Vamos abordar expressões com módulos e sem módulos.
Expressões com módulos e sem módulos
Exemplos:
5. Considere a expressão $|3-2x| + x-2$. O termo da expressão que possui um módulo precisa ser reescrito sem o módulo, enquanto os outros que não possuem módulo, podem simplesmente serem mantidos como estão. Reescrevendo $|3-2x|$ temos
$$|3-2x| = \left\{ \begin{array}{rcc} 3-2x, & \mbox{se} & x \leq \frac{3}{2} \\ 2x-3 & \mbox{se} & x > \frac{3}{2} \end{array} \right.$$
Desse modo, temos:
- Para $x \leq \displaystyle\frac{3}{2}$:
Como $x \leq \displaystyle\frac{3}{2}$, temos que $|3-2x| = 3-2x$. Assim,
$$|3-2x|+x-2 = 3-2x+x-2 = -x+1.$$
- Para $x > \displaystyle\frac{3}{2}$:
Como $x > \displaystyle\frac{3}{2}$, temos que $|3-2x| = 2x-3$. Assim,
$$|3-2x|+x-2 = 2x-3+x-2 = 3x-5.$$
Juntando os cálculos acima em uma expressão só, temos:
$$|3-2x|+x-2 = \left\{ \begin{array}{rcc} -x+1, & \mbox{se} & x \leq \frac{3}{2} \\ 3x-5 & \mbox{se} & x > \frac{3}{2} \end{array} \right.$$
Vamos fazer mais um exemplo.
6. Considere a expressão $2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5$. Vamos reescrever os módulos dessa expressão e vamos manter os termos que não possuem módulo.Temos
$$|1-x| = \left\{ \begin{array}{rcc} 1-x, & \mbox{se} & x \leq 1 \\ x-1 & \mbox{se} & x > 1 \end{array} \right.$$
e
$$|2x+1| = \left\{ \begin{array}{rcc} 2x+1, & \mbox{se} & x \geq -\frac{1}{2} \\ -2x-1 & \mbox{se} & x < -\frac{1}{2} \end{array} \right.$$
Temos que escrever a soma $2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5$ considerando os casos $x < -\displaystyle\frac{1}{2}$, $-\displaystyle\frac{1}{2} \leq x \leq 1$ e $ x > 1$.
- Para $x < -\displaystyle\frac{1}{2}$, temos
$$2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5 = 2(1-x) + (-2x-1) -4x -5 = 2-2x-2x-1-4x-5=-8x-4$$
- Para $-\displaystyle\frac{1}{2} \leq x \leq 1$, temos
$$2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5 = 2(1-x) + 2x+1 -4x -5 = 2-2x+2x+1-4x-5=-4x-2$$
- Para $x >1$, temos
$$2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5 = 2(x-1) + 2x+1 -4x -5 = 2x-2+2x+1-4x-5=-6$$
Reunindo todas as informações acima numa expressão só, temos
$$2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5 = \left\{ \begin{array}{rcc} -8x-4, & \mbox{se} & x < -\frac{1}{2} \\ -4x-2 & \mbox{se} & -\displaystyle\frac{1}{2} \leq x \leq 1 \\ -6 & \mbox{se} & x >1 \end{array} \right.$$
Exemplos em vídeo:
Agora sabemos reescrever expressões com módulos sem utilizar módulos. A partir da próxima postagem, vamos voltar com as inequações.
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