Você já deve ter ouvido falar por aí alguma coisa do tipo: "Para que colocar letras na matemática?" ou "quem foi o maluco que colocou letras na matemática?", ou ainda, "A matemática era fácil até quando colocaram letras nela, como vou somar $x$ e $y$, faz sentido isso?" Nessa série de postagens que se inicia com esta aqui, vamos estudar as expressões algébricas, isto é, vamos aprender como fazer algumas contas usando letras para representar números. Para começar bem, vamos entender o que é uma expressão algébrica, por que faz sentido somar letras e também por que elas são muito importantes na matemática. Vamos lá!
O que é uma expressão algébrica?
Definição: Uma expressão algébricas é uma sequência de operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação) entre números e letras (que represdentam números).
Vamos ver alguns exemplos de expressões algébricas.
Exemplos:
1. $x+4$
2. $x+y$
3. $3x+\displaystyle\frac{y}{2}$
4. $-5ab+3a-2b$
5. $a^2b-3a+b^3$
6. $\displaystyle\frac{1}{x} + y(x^2+1)$
7. $x^3[3+\sqrt{x^2+y^2+1}]$
8. $\displaystyle\frac{x^3+y^{\frac{3}{2}}}{x^2-y(3+y)}$
9. $\displaystyle\frac{a^2(b-1)+b^2(a+1)}{\sqrt{a^2+b^2}}$
10. $\displaystyle\frac{1}{x}+y\{x^2+y^2[4xy-(x+y)^{\frac{1}{3}}]\}$
Nos exemplos acima foram usadas apenas as letras $a$, $b$, $x$ e $y$ para representar números, mas não há uma regra para isso, podemos usar quaisquer letras. Inclusive, em algumas situações, aparecem nas expressões algébricas letras maiúsculas e até letras gregas. Outra coisa importante, as expressões dos exemplos contém uma ou duas letras, mas isso também não é uma regra, podemos ter expressões numéricas com qualquer quantidade finita de letras, 3, 4, 5, e por aí vai.
Não é legal esse monte de contas com letrinhas? Isso é sensacional! (hehe...). Mas, afinal, por que fazemos contas com letras e as usamos para representar números? Vamos responder essa pergunta a seguir.
Para que servem as expressões algébricas?
Para responder a essa pergunta, vamos pensar de uma forma bem simples. Suponha que você é o dono de uma empresa e precisa comprar 2 computadores e um mesa para o seu escritório. Após uma pesquisa de preços, você encontrou um computador 2500 reais e uma mesa por 500 reais. Assim, se você comprar dois computadores e uma mesa você vai gastar 5500 reais, pois
$$2 \cdot 2500 + 500 = 5000+500 = 5500.$$
Essa é uma expressão numérica. Agora, vamos pensar nesse mesmo problema de uma forma diferente. Independentemente de qualquer coisa, eu sei que computadores e mesas possum um preço. Assim, vamos usar a letra $x$ para representar o preço do computador e a letra $y$ para representar o preço da mesa. Dessa forma, não importa qual computador ou qual mesa você compre, o valor em reais que você gastará é
$$2x+y.$$
Essa é uma expressão algébrica.
Aí você pode pensar o seguinte "não preciso usar as letras, basta eu ver os preços e fazer as contas". Sim, eu concordo. Mas o que eu quero que você perceba aqui é o objetivo ou, o propósito, de cada expressão acima. A expressão numérica nos dá o valor da compra de dois determinados computadores e uma mesa enquando que a expressão algébrica é capaz de nos fornecer valor da compra de quaisquer dois computadores e uma mesa. Enquanto a expressão numérica nos dá uma informação quantitativa, a expressão algébrica nos dá uma informação qualitativa, ela nos mostra como vai ser calculado o valor gasto na compra independentemente de qual computador ou qual mesa forem comprados.
Vamos ver mais um exemplo do uso de expressões algébricas. Considere uma empresa que fabrica caixas de papel, sem tampas, onde a base é um quadrado. Para fabricar uma caixa qualquer desse tipo, independentemente de suas dimensões, como podemos calcular quantos centímetros quadrados de papel vão ser usados nessa caixa?. Considere uma caixa desse tipo onde os lados da base medem $x$ centímetros e a altura mede $y$ centímetros.
A área da base mede $x^2 \; \mbox{cm}^2$ e a área de cada lateral, que é um retângulo, mede $xy \; \mbox{cm}^2$. Sendo uma base e quatro laterais, a quantidade de papel usada para fabricar uma caixa desse tipo é dada pela expressão,
$$x^2+4xy.$$
Veja só o que temos aqui, uma expressão algébrica que nos fornecce a quantidade de papel usada na fabricação de qualquer caixa desse tipo. E no que ela é importante? Ela pode ser usada para $x$ e $y$ diferentes dada uma condição sobre a quantidade máxima de papel que pode ser usada na fabricação e até mesmo para decidir a qual preço vender essa caixa sabendo o preço do custo dela. Viu só? As expressões algébricas nos trazem informações de carater qualitativo, elas não são somente um número, mas uma exprssão capaz de nos dar respostas sobre o comportamento de alguma coisa. Isso não é incrível?
Agora, você também pode me perguntar: "Ok, entendi que as expressões algébricas são importantes, mas agora, o que eu faço com esse $x^2+4xy$?" Nada! A deixe como está. Ela representa, nesse caso, a quantida de papel gasto na fabricação da caixa e pronto. Caso seja necessário calular a quantidade de papel usada na fabricação de uma caixa, em específico, você pode substituir os valores das medidas na expressão calcular a quantidade de papel gasto.
Esses exemplos que mencionei acima são bem simples, mas acredito que são suficientes para entendermos por que as expressões algébricas são importantes. As expressão algébricas possuem inúmeras aplicações na matemática, em todas as áreas. Por esse motivo é muito importante saber fazer contas com elas e simplificá-las sempre que possível. Veremos como fazer isso nas próximas postagens.
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