Funções #7: Gráfico de funções de uma variável

Chegamos a um ponto muito importante no estudo de funções, nessa e nas próximas postagens vamos estudar os gráficos de funções reais de uma variável real. Entender o que é e saber fazer o esboço do gráficos de algumas funções é importante pois, por meio deles, conseguimos visualizar informações essenciais sobre o comportamento de uma função. Um gráfico não é simplesmente um desenho ou figura. O gráfico nos indica, por exemplo, a imagem da função, para quais subconjuntos do domínio a função é crescente ou decrescente, pontos de descontinuidade, pontos de máximo e míninos locais ou absolutos, se a função é limitada, se possui zeros, etc.. Talvez você não esteja familiarizado ainda com os conceitos citados acima, exceto a imagem de uma função, mas, acredite em mim, esses conceitos todos são muito importantes e devem ser bem compreendidos por qualquer estudante de ensino superior que esteja fazendo as disciplinas Cálculo I e II. É muita coisa, não é? Mas, fique tranquilo. Aqui no blog, vamos começar com calma, o objetivo é te fornecer a base, para que, quando for estudar os conceitos que mencionei acima e mais alguns outros, você esteja preparado. Essa primeira postagem será dedicada à definição de gráfico somente. A partir da próxima é que vamos aprender como fazer alguns gráficos. Então, sem enrolação, vamos lá!

Gráfico de funções de uma variável

Começaremos definindo o gráfico de uma função real de uma variáel real.

Definição: Seja $f: A \rightarrow B$ uma função real de uma variável real. Definimos o gráfico da função $f$, denotado por $G(f)$, como sendo o subconjunto do plano

$$G(f) = \{(x, f(x)) \in \mathbb{R}^2: x \in A\}.$$

Vamos entender melhor essa definição. Uma coisa que pode parecer "estranha" nessa definição é que o gráfico é definido como um subconjunto do plano $(\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R})$. Como assim, subconjunto do plano? Não é um desenho ou figura? O gráfico de uma função é mesmo um subconjunto do plano, formado pelos pontos $(x, f(x))$ onde $x$ percorre todo o domínio da função $f$. Quando tomamos cada ponto desse e os representamos (desenhamos) no plano, ao observamos todos desenhados, vemos uma curva (ou uma reta). 

Vejamos alguns exemplos.

Exemplos:

1. Considere a função $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x) = x-1$. O gráfico dessa função é

$$G(f) = \{(x, f(x)) \in \mathbb{R}^2: x \in \mathbb{R}\},$$

ou ainda,

$$G(f) = \{(x, x-1) \in \mathbb{R}^2: x \in \mathbb{R}\}.$$

Desenhando cada ponto desse conjunto no plano cartesiano, obtemos a seguinte representação gráfica de $f$.

2. Considere a função $g(x) = \sqrt{x}$. Temos que $D(g) = [0, +\infty)$ e o seu gráfico  é

$$G(g) = \{(x, g(x)) \in \mathbb{R}^2: x \in [0, +\infty)\},$$

ou ainda,

$$G(g) = \{(x, \sqrt{x}) \in \mathbb{R}^2: x \in [0, +\infty)\}.$$

Desenhando cada ponto desse conjunto no plano cartesiano, obtemos o gráfico de $g$.

3. Considere a função $h(x) = \displaystyle\frac{x}{x-2}$. Temos que $D(h) = \mathbb{R} - \{2\}$ e o seu gráfico  é

$$G(h) = \{(x, h(x)) \in \mathbb{R}^2: x \in \mathbb{R} - \{2\}\},$$

ou ainda,

$$G(g) = \left\{\left(x, \displaystyle\frac{x}{x-2}\right) \in \mathbb{R}^2: x \in [0, +\infty)\right\}.$$

No plano, o gráfico de $h$ é:

Os gráficos dos exemplos acima foram gerados pelo GeoGebra. Ele possui versões on-line e alpicativos para celular e computador. Conheça o GeoGebra por esse link: https://www.geogebra.org. Ele é bem intuitivo e, em caso de dúvida, basta ir na própria ajuda do GeoGebra ou ver algum dos vários tutorias no YouTube.

Uma pergunta que pode nos ocorrer é a seguinte: os gráficos de funções são curvas no plano, mas será que toda curva no plano o gráfico de uma função? A resposta é: não.

Isso é uma consequência da definição de função. Uma função do conjunto $A$ no conjunto $B$ é uma regra que associa cada elemento de $A$ a um único elemento de $B$. Graficamente, isso quer dizer que, uma curva no plano será o gráfico de uma função se, ao passarmos uma reta vertical por toda a extensão dessa curva, a reta sempre tocorá em um único ponto da curva. Isso nos garante que, essa dada curva é formada por pontos $(X,Y)$ tais que o $Y$ é único para cada $X$ o que caracteriza uma função. 

Abaixo, a curva em azul é o gráfico de uma função, mesmo que não saibamos qual é. Arraste a reta vertical para a direita e para a esquerda e veja que essa reta toca a curva em apenas um ponto por toda a extensão da curva, formando pares $(X,Y)$, onde para cada $X$ há um único $Y$. 

Considere a figura abaixo.

Observe que a curva em azul não pode ser o gráfico de uma função, pois, ao considerarmos uma reta percorrendo toda a extensão da curva, pelo menos em um momento, a reta vai tocar dois pontos da curva. Isto é, existe um $X$, para o qual temos associados dois valores distintos, o $Y_1$ e o $Y_2$.

Podemos usar o procedimento descrito acima para verificar se uma dada curva é o gráfico de uma função, ou seja, dada uma curva, imaginamos uma reta vertical passando por toda a curva. Se ela sempre tocar em um único ponto, a curva é o gráfico de uma função, agora, se em algum momento tocar em dois pontos da curva, então não temos o gráfico de uma função. Esse procedimento é conhecido como teste da reta vertical.

Vamos parar por aqui nessa postagem. Já sabemos o que é o gráfico de uma função e como saber se uma curva qualquer é ou não é o gráfico de uma função. Na próxima postagem, aprenderemos como fazer o esboço do gráfico de algumas funções importantes.

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