No dois últimos posts do blog aprendemos a descobrir se uma função quadrática possui raízes reais e, em caso afirmativo, aprendemos como calculá-las. Podemos calcular as raízes de uma função quadrática usando a fórmula de Bhaskara ou por métodos alternativos em alguns casos particulares. Assim, encerramos o assunto sobre raízes. Vamos agora começar a falar sobre gráficos de uma função quadrática. Mas antes de falar propriamente disso, precisamos estudar um tipo de curva plana chamada parábola.
Você sabe o que é uma parábola? Bom, aprendemos na escola que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola e isto está certo. Porém, uma parábola não é somente isso, o gráfico de uma função quadrática é apenas um caso particular de parábola. Essas curvas chamadas parábolas possuem uma definição própria. Nesse post vamos ver a definição de parábola e por que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Vamos lá!
Considere o plano cartesiano com os eixos $x$ e $y$. Considere um ponto $F$ e um reta $r$ no plano. O conjunto de pontos que estão a uma mesma distância do ponto $F$ é da reta $r$ é chamado de parábola. O ponto $F$ é chamado de foco da parábola e a reta $r$ é chamada reta diretriz da parábola.
Essa é a definição de parábola. Para uma melhor compreensão da definição de parábola, fiz o seguinte gráfico. Nesse gráfico temos:
Observe que as parábolas podem ficar em várias posições diferentes no plano.
Agora vamos mostrar por que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Como vamos fazer isso? Vamos mostrar que toda parábola com concavidade para cima ou para baixo pode ser expressa como o gráfico de uma função quadrática e que toda função quadrática possui como gráfico uma parábola. Vamos fazer isso separando em dois casos.
Pela definição de parábola, temos que distância de $F$ até $A$ é igual à distância de $A$ até à reta $r$, ou seja, $d(F,A) = d(A,P)$. Dessa igualdade, segue que
$$y=\displaystyle\frac{1}{2(y_0-p)}x^2-\displaystyle\frac{x_0}{y_0-p}x + \displaystyle\frac{x_0^2+y_0^2-p^2}{2(y_0-p)}$$
Desse modo, podemos concluir que os pontos $(x,y)$ que estão numa parábola com concavidade para cima satisfazem a função quadrática
$$f(x)=\displaystyle\frac{1}{2(y_0-p)}x^2-\displaystyle\frac{x_0}{y_0-p}x + \displaystyle\frac{x_0^2+y_0^2-p^2}{2(y_0-p)}.$$
Observe que $y_0-p$ é um número positivo (pois o foco está acima reta diretriz) e é a distância de de $F$ até a reta $r$. Chamando essa distância de $d$, podemos reescrever a função quadrática $f$ na forma
$$f(x)=\displaystyle\frac{1}{2d}x^2-\displaystyle\frac{x_0}{d}x + \displaystyle\frac{x_0^2+y_0^2-p^2}{2d}.$$
$a = \displaystyle\frac{1}{2d}$, $ b = -\displaystyle\frac{x_0}{d}$ e $c = \displaystyle\frac{x_0^2+y_0^2-p^2}{2d}.$
Logo, esse tipo de parábola é o gráfico de uma função quadrática onde $a>0$.
$$d(F,A) = d(A,P)$$
$$\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} = \sqrt{(x-x)^2+(y-p)^2}$$
$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2 = (y-p)^2$$
$$x^2-2x_0x+x_0^2+y^2-2y_0y+y_0^2=y^2-2py+p^2$$
$$x^2-2x_0x+x_0^2-2y_0y+y_0^2=-2py+p^2$$
$$x^2-2x_0x+x_0^2+y_0^2-p^2=2y_0y-2py$$
$$x^2-2x_0x+x_0^2+y_0^2-p^2=y(2y_0-2p)$$
$$\displaystyle\frac{x^2-2x_0x+x_0^2+y_0^2-p^2}{(2y_0-2p)} = y$$
$$y=\displaystyle\frac{1}{2(y_0-p)}x^2-\displaystyle\frac{x_0}{y_0-p}x + \displaystyle\frac{x_0^2+y_0^2-p^2}{2(y_0-p)}$$
Desse modo, podemos concluir que os pontos $(x,y)$ que estão numa parábola com concavidade para baixo satisfazem a função quadrática
$$f(x)=\displaystyle\frac{1}{2(y_0-p)}x^2-\displaystyle\frac{x_0}{y_0-p}x + \displaystyle\frac{x_0^2+y_0^2-p^2}{2(y_0-p)}.$$
Neste caso, o fato de $F$ estar abaixo da reta diretriz, implica que $y_0-p$ é um número negativo e, desse modo, $p-y_0 = -(y_0-p) = d > 0$ é a distância de $F$ até a reta $r$. Assim, podemos reescrever a função quadrática $f$ na forma
$$f(x)=-\displaystyle\frac{1}{2d}x^2+\displaystyle\frac{x_0}{d}x - \displaystyle\frac{x_0^2+y_0^2-p^2}{2d}.$$
onde seus coeficientes são
$a = -\displaystyle\frac{1}{2d}$, $ b = \displaystyle\frac{x_0}{d}$ e $c = -\displaystyle\frac{x_0^2+y_0^2-p^2}{2d}$
Logo, esse tipo de parábola é o gráfico de uma função quadrática onde $a<0$.
Observe que, se a parábola está com a concavidade pra cima, ela possui o coeficiente $a$ positivo e, se possui $a$ concavidade para baixo, o coeficiente a é negativo.
Vamos agora aplicar o raciocínio inverso. Vamos considerar $f(x) = ax^2+bx+c$ uma função quadrática qualquer e mostrar que, a partir dela, podemos obter o foco e a reta diretriz. Vamos fazer isso em dois casos.
1º Caso: $a > 0$
Dada $f(x) = ax^2+bx+c$ com $a>0$, vamos determinar o foco $F = (x_0,y_0)$ e a reta diretriz da parábola. Vamos fazer isso, mostrando que é possível escrever $f(x) = ax^2+bx+c$ na forma$$f(x)=\displaystyle\frac{1}{2d}x^2-\displaystyle\frac{x_0}{d}x + \displaystyle\frac{x_0^2+y_0^2-p^2}{2d}.$$
usando $a$, $b$ e $c$. Isto é, na forma da equação da parábola com concavidade para cima. Vejamos, fazendo $a = \displaystyle\frac{1}{2d}$, temos que $d = \displaystyle\frac{1}{2a}$. Assim, conseguimos obter o $d ( = y_0 - p)$. Agora, fazendo $b = -\displaystyle\frac{x_0}{d}$, obtemos $x_0 = -bd$, ou seja, à partir de $b$ obtemos $x_0$. Está falando obter $y_0$ e a reta diretriz $y=p$. Vamos fazer agora $c = \displaystyle\frac{x_0^2+y_0^2-p^2}{2d}$. Dessa última equação obtemos
$$2dc = x_0^2+y_0-p^2$$
$$2dc = x_0^2+(y_0-p)(y_0+p)$$
$$2dc - x_0^2=d(y_0+p)$$
$$2c - \displaystyle\frac{x_0^2}{d} = y_0+p$$
Temos então que $y_0-p=d$ e $y_0+p = 2c - \displaystyle\frac{x_0^2}{d}$. Somando essa duas equações, obtemos
$$2y_0 = d+2c - \displaystyle\frac{x_0^2}{d}$$
$$y_0 = \displaystyle\frac{d}{2}+c-\displaystyle\frac{x_0^2}{2d}$$
Portanto $y_0 = \displaystyle\frac{d}{2}+c-\displaystyle\frac{x_0^2}{2d}$. Temos determinado o $y_0$. Resta somente $p$, que pode ser obtido da equação $p = y_0-d$. Acabamos de mostrar que, toda função quadrática com $a>0$ possui como gráfico uma parábola.
2º Caso: $a < 0$
Dada $f(x) = ax^2+bx+c$ com $a<0$, vamos determinar o foco $F = (x_0,y_0)$ e a reta diretriz da parábola. Faremos isso mostrando que é possível escrever $f(x) = ax^2+bx+c$ na forma
$$f(x)=-\displaystyle\frac{1}{2d}x^2+\displaystyle\frac{x_0}{d}x - \displaystyle\frac{x_0^2+y_0^2-p^2}{2d}.$$
usando $a$, $b$ e $c$. Ou seja, na forma da equação da parábola com concavidade para baixo. Vejamos, fazendo $a = -\displaystyle\frac{1}{2d}$, temos que $d = -\displaystyle\frac{1}{2a}$. Assim, conseguimos obter o $d ( = p-y_0)$. Agora, fazendo $b = \displaystyle\frac{x_0}{d}$, obtemos $x_0 = bd$, ou seja, à partir de $b$ obtemos $x_0$. Está falando obter $y_0$ e a reta diretriz $y=p$. Vamos fazer agora $c = -\displaystyle\frac{x_0^2+y_0^2-p^2}{2d}$. Dessa última equação obtemos
$$-2dc = x_0^2+y_0-p^2$$
$$-2dc = x_0^2+(y_0-p)(y_0+p)$$
$$-2dc - x_0^2=-d(y_0+p)$$
$$2c + \displaystyle\frac{x_0^2}{d} = y_0+p$$
Temos então que $p-y_0=d$ e $p+y_0 = 2c + \displaystyle\frac{x_0^2}{d}$. Subtraindo essas duas equações, obtemos
$$2y_0 = 2c + \displaystyle\frac{x_0^2}{d}-d$$
$$y_0 = -\displaystyle\frac{d}{2}+c+\displaystyle\frac{x_0^2}{2d}$$
Portanto $y_0 = -\displaystyle\frac{d}{2}+c+\displaystyle\frac{x_0^2}{2d}$. Temos determinado o $y_0$. Resta somente $p$, que pode ser obtido da equação $p = d-y_0$. Logo, toda função quadrática com $a<0$ possui como gráfico uma parábola com concavidade para baixo.
Exemplos:
1. Determine a função quadrática que possui como gráfico a parábola com foco $F=(1,2)$ e reta diretriz $y=5$.
Solução: Nesse exemplo temos $x_0=1$, $y_0=2$ e $p=5$. Observe que o foco está abaixo da reta diretriz pois $2<5$. Assim, podemos obter $d = p-y_0$ e a função quadrática terá a forma
$$f(x)=-\displaystyle\frac{1}{2d}x^2+\displaystyle\frac{x_0}{d}x - \displaystyle\frac{x_0^2+y_0^2-p^2}{2d}.$$
Temos $d=5-2=3$ e assim,
$$a = -\displaystyle\frac{1}{2d}= -\displaystyle\frac{1}{2 \cdot 3} = -\displaystyle\frac{1}{6};$$
$$b = \displaystyle\frac{x_0}{d} = \displaystyle\frac{1}{3};$$
$$c = - \displaystyle\frac{x_0^2+y_0^2-p^2}{2d} = - \displaystyle\frac{1^2+2^2-5^2}{2\cdot3} = - \displaystyle\frac{1+4-25}{6} = - \displaystyle\frac{-20}{6} = \displaystyle\frac{10}{3}.$$
Logo $f(x) = -\displaystyle\frac{1}{6}x^2+\displaystyle\frac{1}{3}x+ \displaystyle\frac{10}{3}$.
2. Considere a função quadrática $f(x) = x^2-4x+5$. Determine o foco e a reta diretriz do gráfico de $f$.
Solução: Primeiramente, observe que $a=1$, $b=-4$ e $c=5$. Observe também que o gráfico de $f$ possui concavidade para cima, assim, podemos determinar o foco $F=(x_0,y_0)$ e a reta diretriz $y=p$ usando as relações
$$d = \displaystyle\frac{1}{2a};$$
$$x_0 = -bd;$$
$$y_0 = \displaystyle\frac{d}{2}+c-\displaystyle\frac{x_0^2}{2d};$$
$$p=y_0-d.$$
Vamos fazer as contas.
$$d = \displaystyle\frac{1}{2 \cdot 1} = \displaystyle\frac{1}{2};$$
$$x_0 = -bd = -(-4) \cdot \displaystyle\frac{1}{2} = 2$$
$$y_0 = \displaystyle\frac{d}{2}+c-\displaystyle\frac{x_0^2}{2d} = \displaystyle\frac{\frac{1}{2}}{2}+5-\displaystyle\frac{2^2}{2\frac{1}{2}} = \displaystyle\frac{1}{4}+5-4=\displaystyle\frac{5}{4};$$
$$p=y_0-d = \displaystyle\frac{5}{4}-\displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{3}{4}$$
Logo, o foco de $f$ é $F = \left(2,\displaystyle\frac{5}{4}\right)$ e a reta diretriz é $y=\displaystyle\frac{3}{4}$.
Nesse link você encontrará uma calculadora gráfica para fazer gráficos de funções quadráticas juntamente com o seu foco e a reta diretriz.
Sugiro que você verifique se as contas dos exemplos 1 e 2 estão corretos usando a calculadora gráfica.
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