No primeiro post sobre funções quadráticas abordamos a definição de função quadrática sobre o conjunto dos números reais e fizemos alguns exemplos. Nesse segundo post, vamos nos aprofundar mais um pouco nesse assunto vamos aprenser o que são raízes ou zeros de uma função quadrática. Vamos lá!
Definição de raiz ou zero de uma função quadrática
Considere $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ uma função quadrática dada por $f(x) = ax^2+bx+c$ onde $a,b,c \in \mathbb{R}$ e $a \neq 0$. Um número $r \in \mathbb{R}$ é uma raiz ou zero de $f$ se, e somente se, $f(r) = 0$, ou de forma equivalente, $r$ é uma solução da equação polinomial do segundo grau $ax^2+bx+c = 0$.
Exemplos:
(a) $2$ é raiz de $f(x) = x^2-x-2$ pois $f(2) = 2^2-2-2 = 4-4=0$;
(b) $-1$ é raiz de $g(x) = 3x^2 + 7x +4$ pois $g(-1) = 3\cdot(-1)^2 + 7 \cdot (-1) + 4 = 3 \cdot 1-7 + 4 = 3 -3=0$;
(c) $\frac{3}{4}$ é raiz de $h(x) = 4x^2-x-3$ pois $h(\frac{3}{4}) = 4\cdot(\frac{3}{4})^2 - \frac{3}{4}-3 = 4 \cdot \frac{9}{16} - \frac{9}{4} = \frac{9}{4} - \frac{9}{4} = 0$;
(d) $\sqrt{3}$ é raiz de $l(x) = x^2-3$ pois $(\sqrt{3})^2 -3 = 3-3 = 0$;
(e) $0$ é raiz de $s(x) = -2x^2 + \frac{1}{2}x$ pois $s(0) = -2\cdot 0^2 + \frac{1}{2}\cdot 0 = 0 + 0 = 0$.
Apesar de se ter infinitos exemplos de funções quadráticas com raízes reais, nem toda função quadrática possui raiz real. Por exemplo, a função quadrática
$$f(x) = x^2+1$$
não possui raiz real. De fato, se $f$ possuísse uma raiz real $r$, teríamos $f(r) = 0$, isto é, $r^2+1=0$, ou ainda, $r^2=-1$. Essa última igualdade nos diz que $r$ é um número real cujo quadrado é um número negativo, porém tal $r$ não existe, pois qualquer número real elevado ao quadrado é um número positivo.
Dada uma função quadrática, acabamos de ver que ela pode ter ou não uma raiz. Assim, surgem as seguintes perguntas:
Quando uma função quadrática possui uma raiz real?
Uma função quadrática pode possuir mais de uma raiz real?
Para responder a essas perguntas, vamos falar sobre a fórmula de Bhaskara.
Fórmula de Bhaskara
Dada uma função quadrática $f(x) = ax^2+bx+c$ ($a,b,c \in \mathbb{R}$ e $a \neq 0$), para encontrar as suas raízes (se houver alguma), devemos resolver a seguinte equação
$$ax^2+bx+c = 0.$$
Resolver a equação acima é o mesmo que isolar o $x$ no primeiro membro da equação para determiná-lo, se for possível. Vamos tentar fazer isso.
$ax^2+bx+c=0$ ($a \neq 0$)
$x^2 + \displaystyle\frac{b}{a}x + \displaystyle\frac{c}{a} = 0$ (dividindo por $a$)
$x^2 + \displaystyle\frac{b}{a}x = -\displaystyle\frac{c}{a}$
$x^2 + \displaystyle\frac{b}{a}x + \displaystyle\frac{b^2}{4a^2}= -\displaystyle\frac{c}{a} + \displaystyle\frac{b^2}{4a^2}$ (somando $\displaystyle\frac{b^2}{4a^2}$ em ambos os lados da equação)
$\left(x+\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2 = \displaystyle\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
$\sqrt{\left(x+\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2} = \sqrt{\displaystyle\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}$ (tirando a raiz quadrada dos dois lados)
$\left|x+\displaystyle\frac{b}{2a}\right| = \displaystyle\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{\sqrt{4a^2}}$
$x+\displaystyle\frac{b}{2a}= \pm \displaystyle\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$x = -\displaystyle\frac{b}{2a} \pm \displaystyle\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Veja só, isolando o $x$ em uma equação do segundo grau qualquer, obtemos a fórmula de Bhaskara! Isso mostra de onde vem a fórmula de Bhaskara. Ela não é uma mágica ou uma simples invenção de alguém, ela é apenas o $x$ isolado numa equação do segundo grau. Em geral, essa fórmula é conhecida em duas partes
$$\Delta = b^2 - 4ac \mbox{ e } x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$
Um fato importante de ser notado na fórmula de Bhaskara é que existe o termo $\sqrt{\Delta}$ na fórmula, ou seja, para que a fórmula nos dê uma raiz real para a função quadrática $f$, devemos ter $\Delta \geq 0$, pois do contrário $\sqrt{\Delta}$ não é um número real. Vamos analisar a possibilidades de $\Delta$:
- Se $\Delta < 0$, como vimos, $f$ não possui raiz real;
- Se $\Delta = 0$, vamos ter $x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} = \displaystyle\frac{-b}{2a}$, ou seja, $f$ possui somente uma raiz $x = \displaystyle\frac{-b}{2a}$;
- Se $\Delta > 0$, vamos ter $x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$, ou seja, temos duas raízes, a saber, $x_1 = \displaystyle\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ e $x_2 = \displaystyle\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$.
Depois de toda essa análise, temos as respostas das perguntas que fizemos anteriormente:
Quando uma função quadrática possui uma raiz real? Quando $\Delta \geq 0$.
Uma função quadrática pode possuir mais de uma raiz real? Sim. Ela vai possuir somente uma raiz quando $\Delta = 0$, que será $x = \displaystyle\frac{-b}{2a}$, e terá duas raízes quando $\Delta > 0$, que serão $x_1 = \displaystyle\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ e $x_2 = \displaystyle\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$.
Pronto! Sabemos tudo sobre raízes de uma função quadrática. Vamos ver agora alguns exemplos.
Exemplos
1. Determine as raízes da função $f(x) = 2x^2+5x-3$.
Solução: Vamos aplicar a fórmula de Bhaskara. Para isso, precisamos saber quem são os coeficientes $a,b$ e $c$ da fórmula. Temos $f(x) = 2x^2+5x-3$, o que nos dá $a=2$, $b=5$ e $c=-3$. Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:
$$\Delta = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25+24 = 49 \mbox{ e }$$
$$x = \displaystyle\frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \displaystyle\frac{-5 \pm 7}{4}$$
$$\Rightarrow x_1 = \displaystyle\frac{-5 + 7}{4} = \displaystyle\frac{2}{4} = \displaystyle\frac{1}{2} \mbox{ e } x_2 = \displaystyle\frac{-5 - 7}{4} = \displaystyle\frac{-12}{4} = -3.$$
Portanto, $f$ possui duas raízes, $x_1 = \displaystyle\frac{1}{2}$ e $x_2 = -3$.
2. Verifique se a função $g(x) = x^2+4x+5$ possui raízes reais.
Solução: Nesse exercício basta calcular $\Delta$, pois por meio dele sabemos se $g$ possui raízes reais. Vejamos:
$$\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16-20 = -4.$$
Como $\Delta < 0$, a função quadrática $g$ não possui raízes reais.
3. Calcule as raízes da função $f(x) = -3x^2+1$.
Solução: Basta aplicar a fórmula de Bhaskara. Aqui nós temos $a=-3$, $b = 0$ e $c = 1$, assim:
$$\Delta = 0^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 1 = 12 \mbox{ e }$$
$$x = \displaystyle\frac{0 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot (-3)} = \displaystyle\frac{\pm 2\sqrt{3}}{-6} = \displaystyle\frac{ \mp \sqrt{3}}{3}.$$
Assim, as raízes de $f$ são $x_1 = \displaystyle\frac{-\sqrt{3}}{3}$ e $x_2 = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}$.
4. Quais são as raízes de $h(x) = x^2 - x$?
Solução: Nesse exemplo temos $a = 1$, $b = -1$ e $c =0$. Novamente, pela fórmula de Bhaskara, temos:
$$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 1 \mbox{ e }$$
$$x = \displaystyle\frac{-(-1) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \displaystyle\frac{1 \pm 1}{2}$$
Assim, as raízes de $f$ são $x_1 = 1$ e $x_2 = 0$.
5. Determine as raízes da função $f(x) = \displaystyle\frac{1}{4}x^2 -3x+9$.
Solução: Aplicando a fórmula de Bhaskara para $a = \displaystyle\frac{1}{4}$, $b = -6$ e $c = 9$, temos:
$$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot \displaystyle\frac{1}{4} \cdot 9 = 9-9=0 \mbox{ e }$$
$$x = \displaystyle\frac{-(-3) \pm \sqrt{0}}{2 \cdot \frac{1}{4}} = \displaystyle\frac{3}{\frac{1}{2}} = 6.$$
Assim, $f$ possui somente uma raiz $x = 6$.
Depois desses exemplos, você pode estar se perguntando: Não existem outras formas mais fáceis de se obter as raízes de uma função quadrática? Tem sim, mas elas não funcionam em todos os casos. Tratarei disso no próximo post.
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