Potenciação e Radiciação #4: Propriedades da radiciação

No post anterior aprendemos o que é uma raiz de índice $n$. Para um bom conhecimento sobre raízes, saber somente o que é uma raiz de índice $n$ não é suficiente, por esse motivo, vimos também que não é possível calcular raiz de índice par de números negativos e, mais que isso, vimos que raiz de um número positivo sempre existe e que, se $n$ for ímpar, existe também as raízes de números negativos. Agora que conhecemos o que é a radiciação e alguns de seus detalhes mais importantes, chegou a hora de vermos ainda mais detalhes sobre ela. Nesse post vamos ver as propriedades da radiciação, as quais são muito úteis para calcular e simplificar raízes. Vamos lá!

Propriedades da radiciação

Sejam $a,b \in \mathbb{R}$, com $a,b \geq 0$, $m \in \mathbb{Z}$ e $n,p \in \mathbb{N}$ onde $m \neq 0$ e $n,p \geq 2$. Valem:

(i) $\sqrt[n]{a^n} = a$;

(ii) $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$;

(iii) $\displaystyle\sqrt[n]{\displaystyle\frac{a}{b}} = \displaystyle\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ se $b \neq 0$;

(iv) $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$;

(v) $\sqrt[p]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[p \cdot n]{a}$;

(vi) $\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}}$.

(vii) Se $\sqrt[n]{a} = b$, temos que $b^n = a$. Assim, $(\sqrt[n]{a})^n = b^n = a$ e, portanto, $(\sqrt[n]{a})^n = a$.

Para essa postagem não ficar muito longa e, como o objetivo dela é aprender a calcular e usar as propriedades da radiciação, não vou demonstrar essas propriedades (quem sabe em uma outra oportunidade).

Observações importantes: 

(a) As propriedades acima estão enunciadas para $a$ e $b$ números reais maiores ou iguais a zero. Bom, é isso mesmo e é muito importante estar atento a esse fato pelos seguintes motivos:

• a propriedade (i) não vale quando $a$ é negativo, devido à definição de raiz de índice $n$;
• Se considerarmos $a$ ou $b$ negativos na propriedade (ii) e na propriedade (iii), elas nem sempre serão verdadeiras, pois pode aparecer uma raiz com índice par de um número negativo, a qual sabemos que não existe. Por exemplo, $\sqrt{8} = \sqrt{(-2) \cdot (-4)}$ que é diferente de $\sqrt{-2} \cdot \sqrt{-4}$, visto que essas duas últimas raízes não existem. Também, $\sqrt[4]{\displaystyle\frac{1}{6}} = \sqrt[4]{\displaystyle\frac{-1}{-6}}$, a qual não é igual a $\displaystyle\frac{\sqrt[4]{-1}}{\sqrt[4]{-6}}$, visto novamente que as duas últimas raízes também não existem. A propriedades (i) e (ii) serão verdadeiras para $a$ ou $b$ negativos somente se $n$ for ímpar.
• Se considerarmos $a$ negativo nas propriedades (iv), (v) e (vi), elas podem se tornar falsas, pois também pode aparecer uma raiz com índice par de um número negativo, a qual não existe. Por exemplo, $\sqrt{(-2)^4}$ é diferente de $(\sqrt{-2})^4$ pois $\sqrt{-2}$ não existe, $\sqrt[4]{\sqrt[3]{-8}}$ nem pode ser calculada pois $\sqrt[3]{-8}$ é um número negativo que está dentro de uma raiz de índice par e, por último $\sqrt[2]{(-1)^{3}}$ não existe e, portanto é diferente de $\sqrt[4 \cdot2]{(-1)^{4 \cdot 3}} = \sqrt[8]{(-1)^{12}} = 1$. A propriedade (iv) vale para $a$ negativo só quando o $n$ for ímpar ($m$ pode ser par ou ímpar), a propriedade (v) só vale para $p$ e $n$ ímpares e, é melhor usar a propriedade (vi) somente para $a$ positivo mesmo.
• A propriedade (vii) vale para todo $n$ quando $a \in \mathbb{R}$ é maior ou igual a $0$ e, se $a$ for negativo, essa propriedade vale somente para $n$ ímpar.

Essas propriedades podem ser usadas, mas cuidado, observe as condições nas quais elas podem ser usadas.

(b) A propriedade (i) pode ser generalizada de modo a incluir os números negativos. Ela fica dessa forma:

$$\sqrt[n]{a^n} = \left\{\begin{array}{ccc} |a| & \mbox{se} & n \mbox{ for par}   \\ a & \mbox{se} & n \mbox{ for ímpar}.\end{array}\right.$$

Isso se deve ao fato de que a definição de raiz de índice $n$ de um número real $a$ diz que o resultado da raiz deve ter o mesmo sinal do número $a$.

Por exemplo,

$$\sqrt{4^2} = 4 = |4|; \mbox{ } \sqrt[4]{(-10)^4} = 10 = |-10|; \mbox{ } \sqrt[3]{7^3} = 7 \mbox{ e } \sqrt[5]{(-8)^5} = -8.$$

(c) No caso  de $n$ ser um número ímpar, se $a \in \mathbb{R}$ é um número positivo, vale a igualdade $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$. De fato, observe que $\sqrt[n]{-1} = -1$ quando $n$ é impar e, usando o segundo ponto da observação (b) acima, temos

$$\sqrt[n]{-a} = \sqrt[n]{(-1) \cdot a} = \sqrt[n]{-1}\sqrt{a} = -1 \cdot \sqrt[n]{a} = -\sqrt[n]{a}.$$ 

Por exemplo,

$$\sqrt[3]{-8} = -\sqrt[3]{8}; \mbox{ } \sqrt[5]{-10} = -\sqrt[5]{10} \mbox{ e } \sqrt[9]{-2} = -\sqrt[9]{2}.$$  

Vamos ver agora alguns exemplos de como aplicar as propriedades de (i) a (vi).

Exemplos:

1. $\sqrt{3^2} = 3$; $\sqrt[3]{5^3} = 5$; $\sqrt[4]{10^4} = 10$;

2. $\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9}$; $\sqrt[5]{3 \cdot 8} = \sqrt[5]{3} \cdot \sqrt[5]{8}$;

3. $\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{5}{3}} = \displaystyle\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$; $\displaystyle\sqrt[4]{\displaystyle\frac{9}{7}} = \displaystyle\frac{\sqrt[4]{9}}{\sqrt[4]{7}}$;

4. $(\sqrt{3})^5 = \sqrt{3^5}$; $(\sqrt[6]{2})^4 = \sqrt[6]{2^4}$; $(\sqrt[4]{5})^{-1} = \sqrt[4]{5^{-1}} = \sqrt[4]{\displaystyle\frac{1}{5}}$;

5. $\sqrt{\sqrt[3]{4}} = \sqrt[2 \cdot 3]{4} = \sqrt[6]{4}$; $\sqrt[5]{\sqrt[3]{11}} = \sqrt[5 \cdot 3]{11} = \sqrt[15]{11}$;

6. $\sqrt{5^4} = \sqrt[3 \cdot 2]{5^{3 \cdot 4}} = \sqrt[6]{5^{12}}$; $\sqrt[3]{7^{-5}} = \sqrt[ 4 \cdot 3]{7^{4 \cdot (-5)}} = \sqrt[12]{7^{-20}}$.

7.  $(\sqrt{3})^2 = 3$; $(\sqrt[3]{5})^3 = 5$; $(\sqrt[5]{-100})^5 = -100$.

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Números Reais #11: Propriedades do módulo

Agora que já sabemos o que é o módulo ou valor absoluto de um número real e também a sua interpretação geométrica, podemos passar para as suas propriedades. Saber quais são as propriedades do módulo é fundamental. Elas são muito úteis no estudo de intervalos de números reais,  limites de funções e de sequências, séries numéricas e de potência, derivada e integral de funções (eu poderia citar mais exemplos onde os módulos podem aparecer, mas acredito que esses já justificam o estudo dos módulos). Sem mais demora, vamos às propriedades do módulo.

Observação: Para entender bem essa postagem é necessário ter em mente o que é potenciação (mais especificamente, elevar ao quadrado) e o que é radiciação (mais especificamente, raiz quadrada).

Propriedades imediatas do módulo

Essas são propriedades que seguem imediatamente da definição de módulo e das propriedades dos números reais.

(i) $|x| \geq 0$;

(ii) $|x| = 0$ se, e somente se, $x=0$;

(iii) $|-x| = |x|$ para todo $x \in \mathbb{R}$.

Vamos fazer a demonstração da propriedade (iii). Se $x=0$, vamos ter $|-0| = |0| = 0$, ou seja, a propriedade vale para $x=0$. Vamos considerar agora $x < 0$, ou seja, $x$ negativo. Assim, se $x$ é negativo, então $-x$ é positivo. Sendo $-x$ positivo, vamos ter, pela definição de módulo, que $|-x| = -x$. Agora, como $x$ é negativo, novamente pela definição de módulo, temos $|x| = -x$. Logo, para $x < 0$, temos $|-x| = |x|$. Considere agora $x > 0$, ou seja, $x$ positivo. Sendo $x$ positivo, segue que $-x$ é negativo e, pela definição de módulo $|-x| = -(-x) = x$. Mas, como $x$ é positivo, vamos ter que $|x| = x$. Logo $|-x| = |x|$ para todo $x>0$. Mostramos então que, para qualquer $x \in \mathbb{R}$, sempre vamos ter $|-x| = |x|$.

Exemplo: Temos $|-5| = |5| = 5$.

Propriedades do módulo e intervalos

As propriedades a seguir relacionam módulos e intervalos na reta real. Para $x, a \in \mathbb{R}$ com $a > 0$, temos:

(i) $|x| \leq a$ se, e somente se, $x \in [-a,a]$ (equivalentemente, $-a \leq x \leq a$).

(ii) $|x| < a$ se, e somente se, $x \in (-a,a)$ (equivalentemente, $-a < x < a$).

(iii) $|x| \geq a$ se, e somente se, $x \in (-\infty,-a]$ ou $x \in [a, +\infty)$ (equivalentemente, $x \leq -a$ ou $x \geq a$).

(iv) $|x| > a$ se, e somente se, $x \in (-\infty,-a)$ ou $x \in (a, +\infty)$ (equivalentemente, $x < -a$ ou $x > a$).

Não faremos a demonstração formal dessas propriedades, mas justificaremos as propriedades (i) e (iii) usando a interpretação geométrica do módulo.

Justificativa da propriedade (i): Dado um número real $x$, pela interpretação geométrica do módulo, sabemos que $|x|$ é a distância de $x$ até o número $0$ na reta real. Desse modo, podemos interpretar a inequação $|x| \leq a$ como sendo o conjunto dos números $x$ tais que suas distâncias para o zero são menore ou iguais a $a$. Na figura abaixo, está marcado em vermelho, os números que estão a uma distância menor ou igual a $a$ do $0$.

Assim, para que a distância de um número $x$ para o zero seja menor ou igual a $a$, ele deve estar em algum lugar desse intervalo em vermelho representado acima. Logo, ele deve estar em $[-a,a]$, ou ainda, vale $-a \leq x \leq a$. Observe que a recíproca também é verdadeira, se $x \in [-a,a]$ ou, de forma equivalente, se $-a \leq x \leq a$, então $x$ está no intervalo pintado de vermelho na figura acima. Isso significa que a distância de $x$ para o zero é menor ou igual a $a$. Logo $|x| \leq a$. Portanto, está justificada a propriedade (i). 

Para justificar a propriedade (ii), basta seguir de forma análoga ao que foi feito em (i), trocando onde está "$\leq$" por "$<$" e trocando na figura as bolinhas fechadas por bolinhas abertas.

 

Justificativa da propriedades (iii): Dado um número real $x$, novamente usando a  interpretação geométrica do módulo, segue que $|x|$ é a distância de $x$ até o número $0$ na reta real. Desse modo, podemos ver a inequação $|x| \geq a$ como sendo o conjunto dos números $x$ tais que suas distâncias para o zero são maiores ou iguais a $a$. Na figura abaixo, está marcado em vermelho, os números que estão a uma distância maior ou igual a $a$ do $0$.

Desse modo, para que a distância de um número $x$ até o zero seja maior ou igual a $a$, ele deve estar em algum desses intervalos destacados em vermelho representados na figura acima. Assim, ele deve estar em $(-\infty,-a]$ ou em $[a, +\infty)$, o que é equivalente a  $x \leq a$ ou $x \geq a$. A recíproca também é verdadeira, se $x \in (-\infty, -a]$ ou $x \in [a, +\infty)$ ou, de forma equivalente, se $x \leq -a$ ou  $x \geq a$, então $x$ está em um dos intervalos pintados de vermelho na figura acima. Isso significa que a distância de $x$ para o zero é maior ou igual  a $a$. Logo $|x| \geq a$. Portanto, está justificada a propriedade (iii). 

Para justificar a propriedade (iv), basta seguir de forma semelhante ao que foi feito em (iii), trocando onde está "$\leq$" e "$\geq$" por "$<$" e "$>$", respectivamente, e trocando na figura as bolinhas fechadas por bolinhas abertas.

Exemplos:

1. Se $|x| \leq 2$, então $x \in [-2,2]$ ou, de forma equivalente, $-2 \leq x \leq 2$.

2. Se $|x| < 1$, então $x \in (-1,1)$ ou, de forma equivalente, $-1 < x < 1$.

3. Se $|x| \geq 3$, então $x \in (-\infty,-3]$ ou $x \in [3,+\infty)$. De forma equivalente, $x \leq -3$ ou $x \geq 3$.

4. Se $|x| > 9$, então $x \in (-\infty,-9)$ ou $x \in (9,+\infty)$. De forma equivalente, $x < -9$ ou $x > 9$.

Outras propriedades importantes do módulo

Nessa seção veremos mais algumas propriedades dos módulos que podem ser bastante úteis.

(i) Para todo $x \in \mathbb{R}$ tem-se $|x|^2 = x^2$.

Demonstração: Se $x \geq 0$, pela definição de módulo, segue que $|x| = x$ e, assim, $|x|^2 = x^2$. Se $x < 0$, novamente pela definição de módulo, temos que $|x| = -x$ e, sendo assim, $|x|^2 = |x||x| = (-x)(-x) = x^2$. Portanto essa propriedade é verdadeira.

Exemplos:

1. $|5|^2 = 5^2 = 25$.

2. $|-8|^2 = 8^2 = 64 = (-8)^2$. 

Observação importante: Para $a \in \mathbb{R}$ com $a \geq 0$, $\sqrt{a}$ indica a raiz quadrada positiva de $a$. Assim, da propriedade anterior, temos

$$\sqrt{x^2} = |x|.$$

Exemplos:

1. $\sqrt{9^2} = |9| = 9$.

2. $\sqrt{(-4)^2} = |-4| = 4$.

(ii) Dado $a \in \mathbb{R}$ com $a > 0$, as soluções reais da equação $|x| = a$ são $a$ e $-a$.

Demonstração: Das propriedades imediatas do módulo que vimos no início da postagem, temos que $|x| \geq 0$. Disso, do fato que $a>0$ e de $|x| = a$, segue que $|x|^2 = a^2$. Da propriedade anterior, temos que $|x|^2 = x^2$. Como $|x|^2=a^2$ e $|x| = x^2$, então $x^2=a^2$, ou ainda, $x^2-a^2 = 0$. Essa última igualdade pode ser escrita na forma $(x-a)(x+a) = 0$. Assim, temos um produto de dois números, $x-a$ e $x+a$, igual a zero, logo, as soluções dessa equação são os números onde cada um dos fatores do produto é igual a zero. Então, as soluções da equação $(x-a)(x+a) = 0$ são $a$ e $-a$. Portanto, provamos que, se $|x| = a$, então $x=-a$ ou $x=a$, isto é, a propriedade (ii) é verdadeira.

Exemplo: As soluções da equação $|x| = 10$ são $x=10$ e $x = -10$.

(iii) Se $x,y \in \mathbb{R}$, então $|x||y| = |xy|$.

Demonstração: Como $x$, $y$ e $xy$ são números reais quaisquer, podemos aplicar neles a propriedade (i). Fazendo isso, vamos obter,

$$|xy|^2 = (xy)^2 = x^2y^2 = |x|^2|y|^2 = (|x||y|)^2.$$

Como $|xy| \geq 0$ e $|x||y| \geq 0$ (pois $|x| \geq 0$ e $y \geq 0$), segue que,

$$|xy|^2 = (|x||y|)^2 \mbox{ que implica } \sqrt{|xy|^2} = \sqrt{(|x||y|)^2} \mbox{ que, por sua vez, implica } |xy| = |x||y|.$$

Portanto $|xy| = |x||y|$.

Exemplos:

1. $|2 \cdot 3| = |6| = 6$ e $|2||3| = 2 \cdot 3 = 6$.

2. $|(-1) \cdot 5| = |-5| = 5$ e $|-1||5| = 1 \cdot 5 =5$.

3. $|3 \cdot (-7)| = |-21| = 21$ e $|3||-7| = 3 \cdot 7 = 21$.

4. $|-4 \cdot (-8)| = |32| = 32$ e $|-4||-8| = 4 \cdot 8 = 32$.

(iv) Dados $x, y \in \mathbb{R}$ com $y \neq 0$, vale $\left|\displaystyle\frac{x}{y}\right| = \displaystyle\frac{|x|}{|y|}$.

Demonstração: É análoga à da propriedade anterior.

Exemplos:

1. $\left|\displaystyle\frac{3}{2}\right| = \displaystyle\frac{3}{2}$ e $\displaystyle\frac{|3|}{|2|} = \displaystyle\frac{3}{2}$.

2. $\left|\displaystyle\frac{-6}{5}\right| = \left|-\displaystyle\frac{6}{5}\right| = \displaystyle\frac{6}{5}$ e $\displaystyle\frac{|-6|}{|5|} = \displaystyle\frac{6}{5}$.

3. $\left|\displaystyle\frac{2}{-7}\right| =\left|-\displaystyle\frac{2}{7}\right| = \displaystyle\frac{2}{7}$ e $\displaystyle\frac{|2|}{|-7|} = \displaystyle\frac{2}{7}$.

4. $\left|\displaystyle\frac{-11}{-9}\right| = \left|\displaystyle\frac{11}{9}\right| = \displaystyle\frac{11}{9}$ e $\displaystyle\frac{|-11|}{|-9|} = \displaystyle\frac{11}{9}$.

(v) Para qualquer $x \in \mathbb{R}$, tem-se $x \leq |x|$ e $-x \leq |x|$.

Demonstração: Se $x \geq 0$, temos pela definição de módulo que, $|x|=x$. Assim, já temos que $x \leq |x|$. Como $x \geq 0$, segue que, $-x \leq 0$. Agora, sendo $|x| \geq 0$, obtemos $|x| \geq 0 \geq -x$, ou seja, $-x \leq |x|$. 

Vamos considerar agora $x < 0$. Assim, pela definição de módulo, $|x| = -x$. Consequentemente, já temos que $-x \leq |x|$. Observe que $|x| \geq 0$ e, juntando isso ao fato de que estamos considerando $x < 0$, temos que $x \leq |x|$. Portanto, não importa qual seja $x \in \mathbb{R}$, sempre teremos $x \leq |x|$ e $-x  \leq |x|$.

Exemplos: 

1. $|4| = 4 \geq 4$ e $|4| = 4 \geq -4$.

2. $|-2| = 2 \geq -2$ e $|-2| = 2 \geq -(-2) = 2$.   

(vi) (Desigualdade Triangular) Dados $x,y \in \mathbb{R}$, segue que $|x+y| \leq |x| + |y|$.

Demonstração: Vamos considerar duas possibilidades para $x+y$, são elas, $x+y \geq 0$ e $ x+y < 0$. 

Se $x+y \geq 0$, pela definição de módulo, vamos ter $|x+y| = x+y$. Aplicando a propriedade anterior a $x$ e a $y$, podemos escrever $x \leq |x|$ e $y \leq |y|$. Com isso, usando as propriedades de ordem dos números reais, vale a seguinte desigualdade, $x + y \leq |x| + |y|$. Como $|x+y| = x+y$, concluímos que $|x+y| \leq |x| + |y|$. 

Se $x+y < 0$, da definição de módulo segue que $|x + y| = -(x+y) = -x-y = (-x) + (-y)$. Aplicando novamente a propriedade anterior a $x$ e a $y$, temos $-x \leq |x|$ e $-y \leq |y|$. Disso e das ropriedades de ordem dos números reais, vale a desigualdade, $-x + (-y) \leq |x| + |y|$. Como $|x+y| = -x+(-y)$, concluímos que $|x+y| \leq |x| + |y|$. Portanto, essa propriedade vale para quaisquer números reais $x$ e $y$. 

Exemplos:

1. $|2+3| = |5| = 5$, $|2|+|3| = 2+3 = 5$ e $5 \leq 5$.

2. $|-1+4| = |3| = 3$, $|-1|+|4| = 1+4 = 5$ e $3 \leq 5$.

3. $|6-4| = |6+(-4)| = |2| = 2$, $|6|+|-4| = 6+4 = 10$ e $2 \leq 10$.

4. $|-2-5| = |-2+(-5)| = |-7| = 7$, $|-2|+|-5| = 2+5 = 7$ e $7 \leq 7$.

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Números Reais #10: Módulo ou Valor Absoluto de um número real

Depois de vermos tudo sobre intervalos de números reais (veja as postagens sobre esse assunto aqui), vamos aprender o que é módulo ou valor absoluto de um número real. Na matemática é comum nos depararmos com o módulo de um número real quando estamos lidando com expressões algébricas, funções e inequações. Então, é bom que saibamos em detalhes o que é o módulo de um número real e também as suas propriedades. Vou abordar esse assunto de módulo aqui em duas postagens, nessa primeira trataremos de sua definição e interpretação geométrica e, na postagem seguinte, trataremos de suas propriedades e faremos a demonstração de algumas delas (com certeza, essa é a melhor parte). Sem enrolação, vamos aprender o que é o módulo, também conhecido como valor absoluto, de um número real.

Módulo ou Valor Absoluto de um número real

Definimos o módulo ou valor absoluto de um número real $x$, denotado por $|x|$, como sendo

$$|x| = \left\{ \begin{array}{rcc} x, & \mbox{se} & x \geq 0 \\ -x, & \mbox{se} & x < 0. \end{array} \right.$$

A definição de módulo, escrita dessa forma, parece ser uma coisa confusa, mas, na verdade, é muito simples. Vamos ver alguns exemplos:

Exemplos:

1. Temos que $|5| = 5$. Isso ocorre pelo seguinte motivo: olhando para a definição de módulo, quem é $x$ nesse caso? Nesse caso $x=5$. Observe que na definição de módulo temos dois casos a serem analisados com respeito a $x$, são eles, se $x \geq 0$, então o módulo de $x$ é o próprio $x$ e, se $x<0$, então o módulo de $x$ é igual a $-x$. Nesse exemplo, como $x$ é igual a $5$, que é um número maior que $0$, segue que o módulo de $5$ é o próprio $5$, ou seja, $|5| = 5$.

2. Temos que $|-2| = 2$. Isso ocorre pelo seguinte motivo: olhando para a definição de módulo, quem é $x$ nesse exemplo? Nesse exemplo $x=-2$.  Como no exemplo anterior, os dois casos a serem analisados com respeito a $x$ são,  se $x \geq 0$, então o módulo de $x$ é o próprio $x$ e, se $x<0$, então o módulo de $x$ é igual a $-x$. Nesse exemplo, como $x$ é igual a $-2$, que é um número menor que $0$, segue que o módulo de $-2$ é igual a $-(-2) = 2$, isto é, $|-2| = 2$.

3. Pela definição de módulo, temos $|0| = 0$. Para justificar isso, basta ver que, na definição de módulo, quando $x \geq 0$, o módulo de $x$ é o próprio $x$ e, sendo $0 \geq 0$, segue que $|0| = 0$.

Por esses exemplos é fácil perceber que o que o módulo faz com um número real é o seguinte:

Se $x$ é positivo ou $0$, então o módulo "não faz nada" com o $x$. Se $x$ é negativo, o módulo o transforma em positivo.

Seguindo com os exemplos, temos:

4. $|11| = 11$

5. $\left| -\displaystyle\frac{3}{5}\right| = \displaystyle\frac{3}{5}$

6. $|\pi| = \pi$

7. $| -\sqrt[3]{7}| = \sqrt[3]{7}$

Viu como é fácil? Não há nenhum segredo aqui.

Agora vamos entender o significado geométrico do módulo de um número real.

Interpretação geométrica do módulo

A interpretação geométrica do módulo de um número real é importante para se resolver inequações envolvendo módulos e também para escrever intervalos e outros subconjuntos da reta real. Vamos primeiramente entender a representação geométrica e, no postagem seguinte, vamos ver como usar o módulo para escrever intervalos e outros subconjuntos da reta real.

Dado um número real $a$ qualquer, podemos ver o módulo de $a$ como sendo a distância entre $a$ e o número $0$. Para visualizar isso, considere $a$ positivo e olhe a seguinte figura:

Enxergando o módulo de um número real dessa forma, toda vez que tivermos que calcular $|a|$ para algum número real $a$, podemos pensar da seguinte forma:

$|a|$ = distância de $a$ até $0$.

Os seguintes exemplos trazem o módulo de um número real visto geometricamente.

1. $|\sqrt{2}| = \sqrt{2}$

2. $|-2,5| = 2,5$

3. $\left| \displaystyle\frac{9}{4}\right| = \displaystyle\frac{9}{4}$

4. $|-\pi| = \pi$

Como disse no início da postagem, o assunto de módulo de um número real não acabou. Na próxima postagem usaremos o que foi discutido aqui para aprofundarmos nosso conhecimento sobre módulos.

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