Potenciação e Radiciação #4: Propriedades da radiciação

No post anterior aprendemos o que é uma raiz de índice $n$. Para um bom conhecimento sobre raízes, saber somente o que é uma raiz de índice $n$ não é suficiente, por esse motivo, vimos também que não é possível calcular raiz de índice par de números negativos e, mais que isso, vimos que raiz de um número positivo sempre existe e que, se $n$ for ímpar, existe também as raízes de números negativos. Agora que conhecemos o que é a radiciação e alguns de seus detalhes mais importantes, chegou a hora de vermos ainda mais detalhes sobre ela. Nesse post vamos ver as propriedades da radiciação, as quais são muito úteis para calcular e simplificar raízes. Vamos lá!

Propriedades da radiciação

Sejam $a,b \in \mathbb{R}$, com $a,b \geq 0$, $m \in \mathbb{Z}$ e $n,p \in \mathbb{N}$ onde $m \neq 0$ e $n,p \geq 2$. Valem:

(i) $\sqrt[n]{a^n} = a$;

(ii) $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$;

(iii) $\displaystyle\sqrt[n]{\displaystyle\frac{a}{b}} = \displaystyle\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ se $b \neq 0$;

(iv) $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$;

(v) $\sqrt[p]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[p \cdot n]{a}$;

(vi) $\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}}$.

(vii) Se $\sqrt[n]{a} = b$, temos que $b^n = a$. Assim, $(\sqrt[n]{a})^n = b^n = a$ e, portanto, $(\sqrt[n]{a})^n = a$.

Para essa postagem não ficar muito longa e, como o objetivo dela é aprender a calcular e usar as propriedades da radiciação, não vou demonstrar essas propriedades (quem sabe em uma outra oportunidade).

Observações importantes: 

(a) As propriedades acima estão enunciadas para $a$ e $b$ números reais maiores ou iguais a zero. Bom, é isso mesmo e é muito importante estar atento a esse fato pelos seguintes motivos:

• a propriedade (i) não vale quando $a$ é negativo, devido à definição de raiz de índice $n$;
• Se considerarmos $a$ ou $b$ negativos na propriedade (ii) e na propriedade (iii), elas nem sempre serão verdadeiras, pois pode aparecer uma raiz com índice par de um número negativo, a qual sabemos que não existe. Por exemplo, $\sqrt{8} = \sqrt{(-2) \cdot (-4)}$ que é diferente de $\sqrt{-2} \cdot \sqrt{-4}$, visto que essas duas últimas raízes não existem. Também, $\sqrt[4]{\displaystyle\frac{1}{6}} = \sqrt[4]{\displaystyle\frac{-1}{-6}}$, a qual não é igual a $\displaystyle\frac{\sqrt[4]{-1}}{\sqrt[4]{-6}}$, visto novamente que as duas últimas raízes também não existem. A propriedades (i) e (ii) serão verdadeiras para $a$ ou $b$ negativos somente se $n$ for ímpar.
• Se considerarmos $a$ negativo nas propriedades (iv), (v) e (vi), elas podem se tornar falsas, pois também pode aparecer uma raiz com índice par de um número negativo, a qual não existe. Por exemplo, $\sqrt{(-2)^4}$ é diferente de $(\sqrt{-2})^4$ pois $\sqrt{-2}$ não existe, $\sqrt[4]{\sqrt[3]{-8}}$ nem pode ser calculada pois $\sqrt[3]{-8}$ é um número negativo que está dentro de uma raiz de índice par e, por último $\sqrt[2]{(-1)^{3}}$ não existe e, portanto é diferente de $\sqrt[4 \cdot2]{(-1)^{4 \cdot 3}} = \sqrt[8]{(-1)^{12}} = 1$. A propriedade (iv) vale para $a$ negativo só quando o $n$ for ímpar ($m$ pode ser par ou ímpar), a propriedade (v) só vale para $p$ e $n$ ímpares e, é melhor usar a propriedade (vi) somente para $a$ positivo mesmo.
• A propriedade (vii) vale para todo $n$ quando $a \in \mathbb{R}$ é maior ou igual a $0$ e, se $a$ for negativo, essa propriedade vale somente para $n$ ímpar.

Essas propriedades podem ser usadas, mas cuidado, observe as condições nas quais elas podem ser usadas.

(b) A propriedade (i) pode ser generalizada de modo a incluir os números negativos. Ela fica dessa forma:

$$\sqrt[n]{a^n} = \left\{\begin{array}{ccc} |a| & \mbox{se} & n \mbox{ for par}   \\ a & \mbox{se} & n \mbox{ for ímpar}.\end{array}\right.$$

Isso se deve ao fato de que a definição de raiz de índice $n$ de um número real $a$ diz que o resultado da raiz deve ter o mesmo sinal do número $a$.

Por exemplo,

$$\sqrt{4^2} = 4 = |4|; \mbox{ } \sqrt[4]{(-10)^4} = 10 = |-10|; \mbox{ } \sqrt[3]{7^3} = 7 \mbox{ e } \sqrt[5]{(-8)^5} = -8.$$

(c) No caso  de $n$ ser um número ímpar, se $a \in \mathbb{R}$ é um número positivo, vale a igualdade $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$. De fato, observe que $\sqrt[n]{-1} = -1$ quando $n$ é impar e, usando o segundo ponto da observação (b) acima, temos

$$\sqrt[n]{-a} = \sqrt[n]{(-1) \cdot a} = \sqrt[n]{-1}\sqrt{a} = -1 \cdot \sqrt[n]{a} = -\sqrt[n]{a}.$$ 

Por exemplo,

$$\sqrt[3]{-8} = -\sqrt[3]{8}; \mbox{ } \sqrt[5]{-10} = -\sqrt[5]{10} \mbox{ e } \sqrt[9]{-2} = -\sqrt[9]{2}.$$  

Vamos ver agora alguns exemplos de como aplicar as propriedades de (i) a (vi).

Exemplos:

1. $\sqrt{3^2} = 3$; $\sqrt[3]{5^3} = 5$; $\sqrt[4]{10^4} = 10$;

2. $\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9}$; $\sqrt[5]{3 \cdot 8} = \sqrt[5]{3} \cdot \sqrt[5]{8}$;

3. $\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{5}{3}} = \displaystyle\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$; $\displaystyle\sqrt[4]{\displaystyle\frac{9}{7}} = \displaystyle\frac{\sqrt[4]{9}}{\sqrt[4]{7}}$;

4. $(\sqrt{3})^5 = \sqrt{3^5}$; $(\sqrt[6]{2})^4 = \sqrt[6]{2^4}$; $(\sqrt[4]{5})^{-1} = \sqrt[4]{5^{-1}} = \sqrt[4]{\displaystyle\frac{1}{5}}$;

5. $\sqrt{\sqrt[3]{4}} = \sqrt[2 \cdot 3]{4} = \sqrt[6]{4}$; $\sqrt[5]{\sqrt[3]{11}} = \sqrt[5 \cdot 3]{11} = \sqrt[15]{11}$;

6. $\sqrt{5^4} = \sqrt[3 \cdot 2]{5^{3 \cdot 4}} = \sqrt[6]{5^{12}}$; $\sqrt[3]{7^{-5}} = \sqrt[ 4 \cdot 3]{7^{4 \cdot (-5)}} = \sqrt[12]{7^{-20}}$.

7.  $(\sqrt{3})^2 = 3$; $(\sqrt[3]{5})^3 = 5$; $(\sqrt[5]{-100})^5 = -100$.

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