Nas duas postagens anteriores vimos as definições de potência com expoente natural e de potência com expoente inteiro, bem como as suas propriedades. Agora, para continuarmos o estudo de potenciação, precisamos começar a estudar radiciação, ou seja, o processo de se calcular a raiz de índice $n$ (também chamada de de raiz $n$-ésima) de um número real. Índice $n$? Raiz $n$-ésima? O que são essa coisas? Fique tranquilo, vamos ver em detalhes, o que é cada nome desse. Vamos lá!
Raiz de índice $n$
Existem algumas formas de se definir o que é uma raiz de índice $n$ ou uma raiz $n$-ésima de um número real. Dentre essas formas de se definir a raiz de índice $n$, a que vou colocar a seguir é a mais simples dela, na minha opinião.
Definição: Considere um número natural $n$ maior que $1$ e $a$ um número real. Chamamos de raiz de índice $n$ ou raiz $n$-ésima do número real $a$ ao número real $b$, de mesmo sinal que $a$, tal que $b^n = a$. Denotamos a raiz de índice $n$ (raiz $n$-ésima) de $a$ por $\sqrt[n]{a}$ onde $n$ é o índice da raiz e $a$ é o radicando.
Resumindo, se $b$ é um número de mesmo sinal que $a$ tal que $b^n = a$, então $b$ é a raiz de índice $n$ de $a$ e escrevemos
$$\sqrt[n]{a} = b.$$
O símbolo $\sqrt[n]{ \mbox{ }}$ é chamado radical.
Quando o índice é igual a $2$, chamamos a raiz de índice $2$ de raiz quadrada e, no radical que a denota, omitimos o número $2$, ficando na forma $\sqrt{a}$. Quando o índice é igual a $3$, chamamos a raiz de índice $3$ de raiz cúbica. Somente quando o índice é igual a $2$ é que omitimos o índice no radical, assim, os radicais com índice maior ou igual a três devem conter o índice na sua notação, por exemplo, $\sqrt[3]{a}$. Quando o índice da raiz é igual a $4$, chamamos a raiz de índice $4$ de raiz quarta. Se o índice for igual a $5$, chamamos a raiz de índice $5$ de raiz quinta. Seguindo esse raciocínio, nomeamos as raízes de índices superiores.
Agora que sabemos o que é a raiz de índice $n$ de um número real, vamos ver alguns exemplos.
Exemplos:
1. $\sqrt{4} = 2$, pois $2^2 = 4$. Observe que $(-2)^2 = 4$ também, porém como está na definição acima, a raiz de um número, independentemente da ordem da raiz, sempre tem o mesmo sinal do radicando, ou seja, do número que está dentro do radical. Portanto, $-2$ não é raiz quadrada de $4$ visto que $4$ é positivo e $-2$ é negativo.
2. $\sqrt[3]{64} = 4$, pois $4^3 = 64$.
3. $\displaystyle\sqrt[4]{\displaystyle\frac{81}{625}} = \displaystyle\frac{3}{5}$, pois $\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^4 = \displaystyle\frac{81}{625}$.
4. $\sqrt[5]{-7776} = -6$, pois $(-6)^5 = -7776$.
5. $\sqrt[6]{11,390625} = 1,5$, pois $1,5^6 = 11,390625$.
6. $\sqrt[n]{0} = 0$, pois $0^n = 0$ para todo $n$ natural maior ou igual a $1$.
Observações importantes:
(i) Não é possível calcular uma raiz com índice par de um número real negativo. Isso ocorre pelo seguinte fato. Se $n$ for um número natural par, diferente de zero, e $a$ um número real negativo, pela definição de raiz de índice $n$, vamos ter que $\sqrt[n]{a}$ tem que ser um número $b$ negativo tal que $b^n = a$. Para que essa igualdade seja verdadeira, devemos ter $b^n$ negativo, pois $a$ é negativo. Mas isso é impossível, visto que $b$ elevado a um número par será sempre positivo para qualquer $b$. Logo, se $a$ é negativo e $n$ é um número par, não existe $\sqrt[n]{a}$.
(ii) Não há nenhum problema em se obter uma raiz de índice $n$ com um sinal de menos na frente do radical, como por exemplo,
$$-\sqrt[3]{8} = -2, \mbox{ } -\sqrt{4} = -2, \mbox{ } \pm\sqrt{9} = \pm 3 \mbox{ e } -\sqrt[5]{-243} = -(-3) = 3.$$
Basta manter o sinal no resultado da raiz.
Uma pergunta que pode surgir quando a gente está estudando essa questão das raízes é o motivo dela ser definida da forma acima. Por exemplo, por que $\sqrt{4}$ também não é igual a $-2$? A respeito disso temos os seguintes teoremas provados na matemática.
Teorema 1: Sejam $a > 0$ um número real e $n > 1$ um número natural. Então existe um único número real $b > 0$ tal que $b^n = a$.
Esse teorema garante que, dados um número real positivo $a$ e um natural $n > 1$, sempre existe um número $b$, também positivo tal que $b^n = a$, isto é, esse teorema está nos dizendo que a raiz de índice $n$ de um número real positivo $a$ sempre existe, vai ser o número real positivo $b$ onde $b^n = a$. Por isso faz sentido definir as raízes de números positivos, pois sempre é possível calculá-las, independentemente do índice.
Agora, por que $\sqrt{4}$ também não pode ser $-2$? Bom, para você pensar na resposta dessa pergunta, vou te fazer outra pergunta: "Por que $2+2$ também não é igual a 5?" As respostas dessas duas perguntas são iguais, quando definimos uma operação em um conjunto, no caso, dos números reais, elas precisam estar bem definidas, isto é, o resultado deve ser único. Imagina a confusão que seria se $2+2$ fosse 5 também?
O Teorema 1 trata somente da existência da raiz de índice $n$ de $a$ quando $a$ é positivo. E quando $a$ é negativo? Para esse caso temos o seguinte teorema.
Teorema 2: Seja $a$ um número real qualquer. Se $n$ for um número natural ímpar maior que $1$, então existe um número $b$ real tal que $b^n = a$.
Esse teorema garante que, dados um número real $a$ qualquer e um natural $n > 1$ ímpar, sempre existe um número $b$, tal que $b^n = a$, ou seja, esse teorema está nos dizendo que a raiz de índice $n$, com $n$ ímpar de um número real $a$ qualquer sempre existe. Analisando esse teorema no caso particular de $a$ ser negativo, ele nos garante a existência da raiz de índice ímpar de qualquer número negativo. Podemos nesse ponto, concluir que, se $a$ é negativo e $n$ é par, então $\sqrt[n]{a}$ não existe, conforme a observação (i), e que, se $n$ for ímpar a raiz existe, isto é, a raiz de um número negativo só existe se o índice $n$ da raiz for ímpar. Agora, seja $a$ um número real negativo e $n$ um número natural ímpar maior que $1$. Pelo Teorema 2, sabemos que existe $b$ de modo que $b^n = a$. Como $a$ é negativo, o $b$ também tem que ser, pois do contrário $b^n$ seria positivo. Logo, a raiz de índice ímpar de um número negativo $a$ sempre existe e também é negativo.
Leia a definição de raiz de índice $n$ novamente. Perceba que, agora, ela faz muito mais sentido.
Definição: Considere um número natural $n$ maior que $1$ e $a$ um número real. Chamamos de raiz de índice $n$ ou raiz $n$-ésima do número real $a$ ao número real $b$, de mesmo sinal que $a$, tal que $b^n = a$. Denotamos a raiz de índice $n$ (raiz $n$-ésima) de $a$ por $\sqrt[n]{a}$ onde $n$ é o índice da raiz e $a$ é o radicando.
Essa postagem se encerra por aqui mesmo. O objetivo dela é definir a raiz de índice $n$ e compreender o que é isso de fato. Na postagem seguinte veremos as propriedades da radiciação e, na postagem seguinte a essa, estudaremos um método para se calcular as raízes de números inteiros e também vamos ver o que fazer quando o resultado das raízes não são exatos, ou seja, não são inteiros.
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