Chegamos à quarta postagem sobre polinômios. Já vimos a definição de polinômio e também as operações de soma, subtração e multiplicação com os polinômios. Nessa postagem vamos tratar de outra característica importante dos polinômios, o seu grau. Também nessa postagem vamos estudar as propriedades do grau de um polinômios que estão relacionadas com as operações de soma e de multiplicação. Vamos lá!
Grau de um polinômio
Vamos à definição de grau de um polinômio.
Definição: Considere um polinômio não nulo qualquer (sobre $\mathbb{C}$ ou $\mathbb{R}$)
$$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0.$$
O grau do polinômio $p(x)$ é o maior expoente que aparece nas potências de $x$ que estão no polinômio, ou seja, o grau de $p(x)$ é igual a $n$. Para denotar o grau de $p(x)$ usamos a notação $gr(p(x)) = n$. O coeficiente que acompanha o $x^n$ (o $x$ que possui o maior expoente na potência), isto é, o coeficiente $a_n$ é chamado termo dominante de $p(x)$.
Observação: Um polinômio é dito nulo se ele é o polinômio constante igual à zero, ou seja, ele possui a forma $p(x) = 0$. A definição acima só é aplicada a polinômios não nulos. Não definimos grau para o polinômios nulo, isto é, o polinômio nulo não possui grau e, consequentemente, não possui termo dominante.
Vamos ver alguns exemplos de polinômios e seus respectivos graus e termos dominantes.
Exemplos:
1. Qualquer polinômio na forma $p(x) = a$, com $a$ constante, possui grau igual a $0$ e seu termo dominante é igual a $a$ (nos polinômio $x^0$ = 1 e, isso ocorre mesmo no caso em que $x=0$).
2. O polinômio $p(x) = x+1$ possui grau igual a $1$ e termo dominante igual a $1$.
3. No polinômio $f(x) = -3x^4 + 3x^2 -x- 10$ temos $gr(f(x)) = 4$ e seu termo dominante é igual a $-3$.
4. No polinômio $g(x) = 7x^5+1$ temos $gr(g(x)) = 5$ e seu termo dominante é igual a $7$.
5. O polinômio $h(x) = 8x^7-x^6+2x^5-3x^4-x^3+10x^2+x+1$ possui grau igual a $7$ e seu termo dominante é igual a $8$.
Sabendo o que é grau e termo dominante de um polinômio, vamos ver agora as propriedades do grau de um polinômio com relação às operações de soma e multiplicação. Essas propriedades são dadas pelo seguinte teorema:
Teorema: Sejam $p$ e $q$ polinômios não nulos sobre $\mathbb{C}$ ou $\mathbb{R}$. Valem as seguintes afirmações:
(a) $gr(p(x) + q(x)) \leq \max\{gr(p(x), gr(q(x)))$ e se $gr(p(x)) \neq gr(q(x))$ vale a igualdade.
O item (a) está dizendo que o grau da soma de dois polinômios é sempre menor ou igual ao maior grau entre os graus de $p(x)$ e $q(x)$ e que a igualdade ocorre, isto é, o grau da soma será igual ao maior grau entre os graus de $p(x)$ e $q(x)$ se $gr(p(x)) \neq gr(q(x))$.
(b) $gr(p(x) \cdot q(x)) = gr(p(x)) + gr(q(x))$.
O item (b) está dizendo que o grau do produto de dois polinômios é igual à soma dos seus graus.
Observação: O item (a) continua verdadeiro se trocarmos o sinal de $+$ pelo sinal de $-$.
Vamos entender, por meio de exemplos, como que funciona o teorema anterior.
Exemplos:
6. Considere os polinômios $p(x) = 4x^3-3x^2+x-1$ e $q(x) = -2x^3+2x+2$. Veja que $gr(p(x)) = 3$ e $gr(q(x)) = 3$. Somando estes dois polinômios vamos obter o polinômio $f(x) = 2x^3-3x^2+3x+1$. Observe que o grau de $f(x)$ é igual a $3$ e, assim, observando que $\max\{gr(p(x)), gr(q(x))\} = \max\{3,3\} = 3$, vale o que está no item (a) do teorema anterior, isto é, $gr(p(x) + q(x)) \leq \max\{gr(p(x), gr(q(x)))$, pois $3 \leq 3$. Observe inda que, a igualdade só ocorreu, mesmo sendo os graus de $p(x)$ e $q(x)$ iguais, pois os termos dominantes desses polinômios não são um oposto do outro. Isso nem sempre ocorre. O teorema garante a igualdade quando os graus dos polinômios são diferentes.
7. Considere os polinômios $f(x) = x^4 +x^2-3x-10$ e $g(x) = -x^4 + x^3+2x+8$. Nesse exemplo temos $gr(f(x)) = 4$ e $gr(g(x)) = 4$. Somando esses dois polinômios, vamos obter o polinômio $h(x) = x^3 +x^2-x-2$. Note que $gr(h(x)) = 3$. Temos aqui o item (a) verificado, isto é, $gr(f(x) + g(x)) = gr(h(x)) = 3$ e $\max\{f(x),g(x)\} = \max\{4,4\} = 4$, ou seja, $gr(f(x) + g(x)) \leq \max\{f(x),g(x)\}$ (3 \leq 4). Aqui nesse exemplo a igualdade não foi verificada pois os polinômios possuem o mesmo grau e seus termos dominantes são números opostos.
Observando os dois exemplos acima, conseguimos entender por que, em geral, vale $gr(p(x) + q(x)) \leq \max\{gr(p(x), gr(q(x)))$ e não a igualdade $gr(p(x) + q(x)) = \max\{gr(p(x), gr(q(x)))$. A igualdade só pode ser garantida se $gr(p(x)) \neq gr(q(x))$. Vamos ver isso no próximo exemplo.
8. Considere os polinômios $p(x) = x^5 - x+10$ e $q(x) = -x^4 + x^2 -1$. Temos que $gr(p(x)) = 5$ e $gr(q(x)) = 4$. Somando $p(x)$ com $q(x)$ vamos obter $f(x) = x^5 - x^4 + x^2 -x + 9$. Como os graus são diferentes, é impossível que, ao somarmos $p(x)$ com $q(x)$, o termo $x^5$ de $p(x)$ se anule com algum termo de $q(x)$, visto que o maior expoente de $x$ que aparece em $q(x)$ é o $4$. Logo vale $5 = gr(f(x)) = gr(p(x) + q(x)) = \max\{gr(p(x)),gr(q(x))\} = \max\{5,4\}$.
9. Considere os polinômios $p(x) = x^3-2x+1$ e $q(x) = x^4+2$. Temos que $gr(p(x)) = 3$ e $gr(q(x)) = 4$. Calculando a diferença entre os polinômios $p(x)$ e $q(x)$ vamos obter o polinômio $f(x) = -x^4 x^3 -2x -1$. O teorema anterior também é verificado para a diferença, veja que $gr(p(x)+q(x)) = 4$ e $\max\{p(x),q(x)\} = \max\{3,4\} = 4$, ou seja, temos exatamente, $gr(p(x)+q(x)) \leq \max\{p(x),q(x)\}$. Nesse exemplo, temos também que $gr(p(x)+q(x)) = \max\{p(x),q(x)\}$, visto que $gr(p(x)) = gr(q(x))$.
10. A propriedade de grau com relação à multiplicação de polinômios é bem mais fácil de ser usada. Considere os polinômios $f(x) = x^3-1$ e $g(x) = x^2+x-1$. Note que $gr(f(x)) = 3$ e $gr(g(x)) = 2$. Pelo teorema anterior temos que $gr(f(x) \cdot g(x)) = gr(f(x)) + gr(g(x)) = 3 + 2 = 5$. Fazendo a multiplicação de $f(x)$ por $g(x)$ vamos ter $f(x) \cdot g(x) = x^5+x^4-x^3+x^2+x-1$. O teorema está verificado. Isso ocorre pois o termo dominante da multiplicação de dois polinômios é a multiplicação dos respectivos termos dominantes e o expoente do $x$ que vai estar com esse coeficiente é o expoente que aparece como resultado de $x^3 \cdot x^2$, ou seja, $x^5$.
Quando se conhece os polinômios, para encontrar o grau da soma, da subtração ou da multiplicação, basta fazer essas operações e ver qual é o grau do polinômios resultante, assim, as regras para se obter o grau vistas no teorema anterior não se tornam, digamos, tão importantes. Porém isso não as tornam inúteis, elas são muito úteis quando precisamos saber o grau do resultado da soma, subtração ou multiplicação de polinômios onde não conhecemos os polinômios mas somente os seus graus. A seguir veremos alguns exemplos disso.
11. Considere os polinômios $p(x)$ e $q(x)$ onde $gr(p(x)) = 4$ e $gr(q(x)) = 2$. Determine o grau de $p(x) + q(x)$ e de $p(x) \cdot q(x)$.
Solução: Para resolver essa questão, basta usar o teorema anterior. Como $gr(p(x)) \neq gr(q(x))$, então,
$$gr(p(x) + q(x)) = \max\{p(x),q(x)\} = \max\{4,2\} = 4.$$
Para a multiplicação, temos
$$gr(p(x) \cdot q(x)) = gr(p(x)) + gr(q(x)) = 4 + 2 = 6.$$
12. Sejam $f(x)$ e $g(x)$ polinômios tais que $gr(f(x)) = gr(g(x)) = 6$. O que podemos afirmar sobre os graus de $f(x) + g(x)$, $f(x) - g(x)$ e de $f(x) \cdot g(x)$?
Solução: Como $gr(f(x)) = gr(g(x))$, sobre $gr(f(x) + g(x))$, podemos afirmar que
$$gr(f(x) + g(x)) \leq \max\{f(x),g(x)\} = \max\{6,6\} = 6,$$
isto é, $gr(f(x)+gr(g(x))) \leq 6$. Sobre $f(x) - g(x)$ podemos afirmar que
$$gr(f(x) - g(x)) \leq \max\{f(x),g(x)\} = \max\{6,6\} = 6,$$ isto é, $gr(f(x)-gr(g(x))) \leq 6$. Para a multiplicação, temos
$$gr(f(x) \cdot g(x)) = gr(f(x)) + gr(g(x)) = 6+6 = 12.$$
Exemplo em vídeo:
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