No último post estudamos a operação de soma (adição) de polinômios e suas propriedades, agora, para dar sequência ao estudo de polinômios, nesse post, vamos estudar a operação de multiplicação (produto) de polinômios e suas propriedades. Para compreender bem como se faz a multiplicação de polinômios é importante lembrar das propriedades algébricas dos números reais (que são as mesmas dos números complexos) e também da propriedades de potenciação. Esses assuntos foram abordados anteriormente aqui no blog. Se for necessário, faça uma revisão desses assuntos. Acho que já podemos começar a falar da multiplicação de polinômios. Vamos lá!
Multiplicação (produto) de polinômios
A seguir vamos ver a definição formal do que é a multiplicação de polinômio, depois disso, vamos ver como essa operação entre polinômios funciona na prática.
Definição: Considere os seguintes polinômios (sobre $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$),
$$p(x) = a_nx^n + a^{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 \mbox{ e } q(x) = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x + b_0.$$
A multiplicação (produto) de $p(x)$ por $q(x)$, denotada por $p(x) \cdot q(x)$, é definida por
$$p(x) \cdot q(x) = \sum_{k=1}^{n+m}c_kx^k \mbox{ onde } c_k = \sum_{i+j = k} a_ib_j.$$
Como eu escrevi acima, essa é a definição formal. Ela parece um pouco complicada, mas não é. Vamos esmiuçar um pouco essa definição para a compreendermos melhor.
A definição nos diz que o produto $p(x) \cdot q(x)$ é um polinômio na forma
$$p(x) \cdot q(x) = c_{n+m}x^{m+n} + \cdots + c_1x + c_0$$
onde,
\begin{eqnarray} c_0 &=& a_0b_0 \\ c_1 &=& a_0b_1 + a_1b_0 \\ c_2 &=& a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0 \\ c_3 &=& a_0b_3 + a_1b_2 + a_2b_1 + a_3b_0 \\ & \vdots & \\ c_{n+m} &=& a_nb_m \end{eqnarray}
Isto é, os coeficientes $c_k$ do produto $p(x) \cdot q(x)$ são formados pela soma dos termos $a_ib_j$ onde $i+j = k$.
Olhando para essa definição temos a sensação de que parece tudo muito complicado, mas calma, não é nada complicado. Essa definição somente formaliza o que fazemos na prática para multiplicar dois polinômios, ou seja, a propriedade distributiva da multiplicação. Vamos ver alguns exemplos.
Exemplos:
1. Calcule $p(x) \cdot q(x)$ onde $p(x) = x-1$ e $q(x) = x^2+2x+3$.
Solução: Vamos resolver esse exemplo de duas formas. Vamos primeiramente resolver usando a definição e depois usando a propriedade distributiva da multiplicação. Isso para podermos verificar que a definição corresponde exatamente com o uso da propriedade distributiva.
Pela definição: Temos que $a_1 = 1$ e $a_0 = -1$ em $p(x)$ e $b_2 = 1$, $b_1 = 2$ e $b_0 = 3$ em $q(x)$. Desse modo, pela definição, temos
\begin{eqnarray} p(x) \cdot q(x) &=& (x-1) \cdot (x^2+2x+3) \\ &=& (1 \cdot 1)x^{1+2} + ((-1)\cdot 1 + 1 \cdot 2 )x^{2} + ((-1) \cdot 2 + 1 \cdot 3)x + (-1) \cdot 3 \\ &=& x^3 + (-1+2)x^2 + (-2+3)x + (-3) \\ &=& x^3 + x^2 + x -3. \end{eqnarray}
Usando a distributiva: Para usar a distributiva, basta pegar o primeiro termo de $p(x)$ e multiplicar por todos os termos de $q(x)$, lembrando de fazer o jogo de sinal, depois multiplicar o segundo termo de $p(x)$ por todos os termos de $q(x)$ e assim por diante, até acabarem o termos de $p(x)$.
\begin{eqnarray} p(x) \cdot q(x) &=& (x-1) \cdot (x^2+2x+3) \\ &=& x\cdot x^2 + x \cdot 2x + x \cdot 3 - 1 \cdot x^2 -1 \cdot 2x - 1 \cdot 3 \\ &=& x^3 + 2x^2 + 3x -x^2 - 2x -3 \\ &=& x^3 +x^2 + x -3. \end{eqnarray}
Viu só? Os resultados foram os mesmos. Daqui em diante usaremos somente a distributiva para fazer a multiplicação de polinômios por ser mais simples e mais intuitiva. Vamos continuar com os exemplos.
2. Efetue o produto dos polinômios $f(x) = 4x^3 - 3x^2 + x -1$ e $g(x) = 5x^2 +1$.
Solução: Usando a propriedade distributiva da multiplicação, temos,
\begin{eqnarray} f(x) \cdot g(x) &=& (4x^3 - 3x^2 + x -1) \cdot (5x^2 +1) \\ &=& 4x^3 \cdot 5x^2 + 4x^3 \cdot 1 - 3x^2 \cdot 5x^2 - 3x^2 \cdot 1 + x \cdot 5x^2 + x \cdot 1 - 1 \cdot 5x^2 - 1 \cdot 1 \\ &=& 20x^5 + 4x^3 - 15 x^4 - 3x^2 + 5x^3 + x - 5x^2 -1 \\ &=& 20x^5 - 15x^4 + 9x^3-8x^2+ x -1.\end{eqnarray}
3. Calcule o produto dos polinômios $p(x) = x^2+x+2$ e $q(x) = -2x^2 +3x-1$.
Solução: Fazendo como no exemplo anterior, temos
\begin{eqnarray} p(x) \cdot q(x) &=& (x^2+x+2) \cdot (-2x^2 +3x-1) \\ &=& x^2 \cdot (-2x^2) + x^2 \cdot 3x + x^2 \cdot (-1) + x \cdot (-2x^2) + x \cdot 3x + x \cdot (-1) + 2 \cdot (-2x^2) + 2 \cdot 3x + 2 \cdot (-1) \\ &=& -2x^4 + 3x^3-x^2-2x^3+ 3x^2-x - 4x^4+ 6x -2 \\ &=& -2x^4 +x^3 +2x^2+5x -2.\end{eqnarray}
Exemplo em vídeo:
A seguir estão algumas propriedades da multiplicação de polinômios. Elas podem ser usadas sempre que necessário.
Propriedades: Dados os polinômios $f(x)$, $g(x)$ e $h(x)$ valem:
(i) $(f(x) \cdot g(x)) \cdot h(x) = f(x) \cdot (g(x) \cdot h(x))$ (associatividade da multiplicação);
(ii) $f(x) \cdot g(x) = g(x) \cdot f(x)$ (comutatividade da multiplicação);
(iii) O polinômio $p(x) = 1$ é o elemento neutro da multiplicação de polinômios pois,
\begin{eqnarray} p(x) \cdot f(x) &=& 1 \cdot f(x) = f(x) \\ f(x) \cdot p(x) &=& f(x) \cdot 1 = f(x). \end{eqnarray}
(iv) Dado um polinômio $p(x)$ qualquer, em geral, ele não possui um inverso multiplicativo, isto é, não existe um polinômio $q(x)$ tal que $p(x) \cdot q(x) = 1$. Os polinômios que possuem inversos multiplicativos são somente os polinômios constantes não nulos, ou seja, diferente de zero. Dado um polinômio constante não nulo $p(x) = a$, este possui inverso multiplicativo $q(x) = \displaystyle\frac{1}{a}$. Por exemplo, se $p(x) = 5$, seu inverso multiplicativo é o polinômio $q(x) = \displaystyle\frac{1}{5}$.
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