A Matemática Como Ela É: operações com conjuntos

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julho 13, 2021 |

Teoria dos Conjuntos #9: Conjunto complementar

Já estamos na nona postagem sobre teoria dos conjuntos. Que legal! E essa não será a última postagem sobre esse assunto, pois ele é muito importante e deve ser tratado com detalhes. Se você quiser ver as postagens anteriores, e aconselho que você faça isso, clique aqui. Depois de falarmos de união, interseção e de diferença de conjuntos, chegou a hora de falar sobre conjunto complementar. Vamos lá aprender o que é o conjunto complementar!

Conjunto complementar

Considere dois conjuntos $A$ e $B$, tais que $B \subset A$. Chamamos de complementar de $B$ em relação a $A$ o conjunto $A-B$ (diferença de conjuntos definida no post anterior), ou seja, o conjunto complementar de $B$ em relação a $A$ é o conjunto formado pelos pontos que estão $A$ e não estão em $B$.

Denotamos o conjunto complementar de $B$ em relação a $A$ por $C_{A}^{B}$. Assim, temos

$$C_{A}^{B} = A-B.$$

Existem ainda outras notações para o conjunto complementar de $B$ em relação a $A$, são elas $B^{C}$, que significa complementar de $B$ e é usada quando está claro em relação a qual conjunto se está calculando o complementar de $B$ e $\overline{B}$, que também significa complementar de $B$ e é usado na mesma situação.

Podemos visualizar o conjunto complementar de $B$ em relação a $A$ pelo seguinte diagrama:

$C_{A}^{B} = A-B$

Antes dos exemplos, uma observação importante, se $B=A$, então $C_{A}^{B} = \emptyset$ e $C_{A}^{\emptyset} = A$. Agora, vamos ver alguns exemplos.

Exemplos:

1. Considere os conjuntos $A = \{2,3,5,7,11,13,17\}$ e $B = \{2,5,11,17\}$. Observe que $B \subset A$ e, desse modo, de acordo com a definição de conjunto complementar de $B$ em relação a $A$, temos

$$C_{A}^{B} = \{3,7,13\}.$$

2. Sejam os conjuntos

$$X=\mathbb{Z}, \mbox{ } Y =\{x \in \mathbb{Z}: x \mbox{ é par}\} \mbox{ e } Z = \{x \in \mathbb{Z}: x \mbox{ é ímpar}\}.$$

Temos

$$C_X^Y = Z \mbox{ e } C_X^Z = Y.$$

3. Considere os conjuntos

$$E=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}, F = \{1,2,4,7,8,9\} \mbox{ e } G=\{2,4,7\}.$$

Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.

(a) $2 \in C_{E}^{F}$

(b) $6 \in C_{E}^{G}$

(c) $9 \notin C_{F}^{G}$

(d) $\{3,6\} \subset C_{E}^{F}$

(e) $\{1,8,9\} \not\subset C_F^G$.

Solução:

(a) Falso. Por definição $C_E^F = E-F$ e, como $2 \in F$, segue que $2 \notin C_E^F$.

(b) Verdadeiro. Como $6 \in E$ e $6 \notin G$, temos que $6 \in C_E^G$.

(c) Falso. Como $9 \in F$ e $9 \notin G$, segue que $9 \in C_F^G$.

(d) Verdadeiro. Note que $3,6 \in E$ e $3,6 \notin F$, ou seja, $3,6 \in C_{E}^{F}$. Portanto $\{3,6\} \subset C_E^F$.

(e) Falso. Observe que $1,8,9 \in F$ e $1,8,9 \notin G$, o que implica, $1,8,9 \in C_F^G$. Consequentemente $\{1,8,9\} \subset C_F^G$.

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Teoria dos Conjuntos #6: Interseção de conjuntos

Nesse post vamos dar continuidade às operações com conjuntos. No post anterior aprendemos o que é a união de conjuntos e, agora, vamos aprender o que é a interseção de conjuntos. A união e a interseção de conjuntos são operações entre conjuntos muito usadas na matemática, é muito importante conhecê-las. Vamos lá!

Interseção de conjuntos

Considere dois conjuntos quaisquer $A$ e $B$. Definimos interseção do conjunto $A$ com o conjunto $B$, denotada por $A \cap B$ (lê-se $A$ interseção $B$), como sendo o conjunto

$$A \cap B = \{x : x \in A \mbox{ e } x \in B\}.$$

Em outras palavras, o conjunto $A \cap B$ é formado por todos os elementos que estão em $A$ e em $B$, ao mesmo tempo.

Para que um elemento $x$ não esteja em $A \cap B$, ele não pode estar em $A$ ou em $B$, ou seja, se $x$ está em $A$ e não está em $B$ ou, se $x$ está em $A$ e não está em $B$, então $x \notin A\cap B$.

Podemos representar a interseção de dois conjuntos pelo diagrama

$A \cap B$

Vejamos alguns exemplos:

Exemplos

1. Considere os conjuntos

$$A = \{1,2,3\} \mbox{ e } B=\{1,3,5,7\}.$$

O conjunto $A \cap B$ é

$$A \cap B = \{1,3\}.$$

Perceba como a definição de interseção está satisfeita nesse último conjunto, os números $1$ e $3$ são os únicos elementos que estão em $A$ e em $B$.

2. Sejam $A = \{a,b,c\}$ e $B=\{d,e,f,g\}$. Temos

$$A \cap B = \emptyset.$$

Quando temos dois conjuntos que não possuem elementos em comum, não haverá nenhum elemento na interseção desses conjuntos, pois não existe um elementos que esteja nos dois conjuntos ao mesmo tempo. Desse modo, a interseção desses conjuntos será o conjunto vazio, o conjunto no qual não há elementos.

3. Considere os conjuntos

$$A=\{0,2,3\}, \mbox{ } B=\{1,2,5,a,b\} \mbox{ e } C = \{a,0,2,3,5,7\}.$$

Classifique as seguintes afirmações em verdadeiras ou falsas.

(a) $2 \in A \cap B$

(b) $3 \in B \cap C$

(c) $5 \in A \cap C$

(d) $a \notin A \cap C$

(e) $0 \notin A \cap C$

Solução:

(a) Verdadeiro. Temos $A \cap B = \{2\}$. Claramente $2 \in A \cap B$.

(b) Falso. No item anterior calculamos a interseção dos conjuntos para verificar se a afirmação era falsa ou verdadeira, mas isso não é necessário. Quando os conjuntos são muito grandes, isso pode dar trabalho. Pela definição de interseção de conjuntos, para que um elemento esteja na interseção de dois conjuntos, ele deve estar nos dois conjuntos. Assim, para verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa, basta verificarmos se $3$ está em $A$ e em $B$. Observe que $3 \notin B$, logo a afirmação é falsa.

(c) Falso. Basta observarmos que $5 \notin A$.

(d) Verdadeiro. Veja que $a \notin A$, o que implica $a \notin A \cap B$.

(e) Falso. Como $0 \in A$ e $0 \in C$, logo $0 \in A \cap C$.

Interseção de conjuntos com mais de dois conjuntos

A interseção de conjuntos pode ser definida para mais de dois conjuntos. Na verdade, pode ser definida para uma quantidade infinita (inclusive, não enumerável) de conjuntos. Vamos nos ater aqui a uma quantidade finita.

Considere $A_1, A_2, \dots, A_n$ $n$ conjuntos quaisquer onde $n$ é um número natural maior ou igual a $2$. Definimos a interseção dos conjuntos $A_1, A_2, \dots, A_n$ por

$$A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n = \{x : x \in A_i \mbox{ para todo } i=1,2,\dots, n\}.$$

Em outras palavras, o conjunto $A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n$ é o conjunto formado por todos os elementos que estão em $A_i$ para todo $i=1,2,\dots,n$, ou ainda, é formado pelos elementos que estão em todos os $A_i$'s.

Podemos escrever essa interseção de $n$ conjuntos de uma forma mais resumida, usando a seguinte notação:

$$A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n = \displaystyle\bigcap_{i=1}^n A_i.$$

Para que um elemento $x$ não esteja em $A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n$, ele não pode estar em algum $A_i$ com $i = 1,2,\dots,n$, ou seja, se existe algum índice $i$ para o qual $x \notin A_i$, então $x \notin A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n$.

Usando um diagrama, podemos visualizar a interseção de mais de dois conjuntos

$A \cap B \cap C \cap D \cap E$

Vejamos alguns exemplos.

Exemplos

1. Considere os conjuntos

$$A=\{a,b,2,4,6\}, \mbox{ }B = \{\{a\},a,b,2,3,4,6\}, \mbox{ } C=\{4,5,6\} \mbox{ e } D=\{a,b,c,4,8,10\}.$$

Temos,

$$A \cap B = \{b,2,4,6\}$$

$$A \cap B \cap C = \{4,6\}$$

$$A \cap B \cap C \cap D = \{4\}$$

2. Sejam

$$A = \{a,b,c,d\}, \mbox{ } B=\{\{a\},b,c,d\}, \mbox{ e } C=\{\{a,b\},a,b,c\}.$$

Classifique as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas.

(a) $\{a,b\} \in A \cap B$

(b) $\{a\} \notin A \cap B$

(c) $b \in A \cap B \cap C$

(d) $d \in A \cap B \cap C$

Solução:

(a) Falso. O conjunto $\{a,b\}$ é um elemento de $C$, mas não é elemento nem de $A$ e nem de $B$. Logo $\{a,b\} \notin A \cap B$.

(b) Verdadeiro. O conjunto $\{a\}$ é um elemento de $B$, mas não é um elemento de $A$, sendo assim, $\{a\} \notin A \cap B$.

(c) Verdadeiro. Observe que $b$ é um elemento de $A$, de $B$ e de $C$. Logo $b \in A \cap B \cap C$.

(d) Falso. Temos que $d \notin C$. Portanto $d \notin A \cap B \cap C$.

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Teoria dos Conjuntos #5: União de conjuntos

Nas quatro postagens anteriores sobre teoria dos conjuntos (acesse-as aqui) vimos o que é bem básico, como definição de elementos, de conjuntos, a relação de pertinência, a definição de subconjuntos, a relação de inclusão de conjuntos e a definição de igualdade de conjuntos. Com a base bem definida e compreendida, podemos passar agora às operações de conjuntos, que são, união de conjuntos, interseção de conjuntos e diferença de conjuntos. Nesse post abordaremos a união de conjuntos, que algumas vezes é chamada de reunião de conjuntos. Então, vamos aprender o que é a união ou reunião de conjuntos.

União de conjuntos

Considere dois conjuntos quaisquer $A$ e $B$. Definimos união do conjunto $A$ com o conjunto $B$, denotada por $A \cup B$ (lê-se $A$ união $B$), como sendo o conjunto

$$A \cup B = \{x : x \in A \mbox{ ou } x \in B\}.$$

Em outras palavras, o conjunto $A \cup B$ é formado por todos os elementos que estão em $A$ ou estão em $B$. Podemos ainda pensar no conjunto $A \cup B$ como sendo o conjunto formado da seguinte forma: pegamos todos os elementos de $A$ e todos os elementos de $B$ e formamos um novo conjunto com esses elementos. Esse conjunto será $A \cup B$.

Para que um elemento $x$ não esteja em $A \cup B$, ele não pode estar nem em $A$ e nem em $B$.

Usando um diagrama, podemos visualizar a união de dois conjuntos

$A \cup B$

Vejamos alguns exemplos:

Exemplos

1. Considere os conjuntos

$$A = \{1,2,3,4\} \mbox{ e } B=\{8,9,10\}.$$

O conjunto $A \cup B$ é

$$A \cup B = \{1,2,3,4,8,9,10\}.$$

Perceba como a defnição de união está satisfeita nesse último conjunto, observando cada elemento, percebemos que ele está em $A$ ou está em $B$.

2. Sejam $A = \{a,b,c\}$ e $B=\{b,c,d,e,f\}$. Temos

$$A \cup B = \{a,b,c,d,e,f\}.$$

Observe que, os elementos $b,c$ estão em $A$ e em $B$. Quando construímos o conjunto $A \cup B$, não há a necessidade de colocar esses elementos duas vezes na união. Sempre que fizermos a união de dois conjuntos, onde esses conjuntos possuem elementos em comum, esses elementos em comum aparecem somente uma vez na união dos conjuntos.

3. Considere os conjuntos

$$A=\{1,2,3\}, \mbox{ } B=\{2,5,a,b\} \mbox{ e } C = \{a,3,6,7\}.$$

Classifique as seguintes afirmações em verdadeiras ou falsas.

(a) $1 \in A \cup B$

(b) $3 \in B \cup C$

(c) $5 \in A \cup C$

(d) $a \notin A \cup B$

(e) $b \notin A \cup C$

Solução:

(a) Verdadeiro. Temos $A \cup B = \{1,2,3,5,a,b\}$. Claramente $1 \in A \cup B$.

(b) Verdadeiro. No item anterior calculamos a união dos conjuntos para verificar se a afirmação era falsa ou verdadeira, mas não precisamos fazer isso. Quando os conjuntos são muito grandes, esse caminho pode ser trabalhoso. Pela definição de união de conjuntos, para que um elemento esteja na união de dois conjuntos, basta que ele esteja em um deles. Assim, para verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa, basta verificarmos se $3$ está em $A$ ou em $B$. Observe que $3 \in A$, logo a afirmação é verdadeira.

(c) Falso. Considerando $A$ e $B$ quaisquer, para que um elemento esteja em $A \cup B$, pela definição, ele deve estar em $A$ ou $B$. Assim, como vimos logo após a definição de união de conjuntos, para que um elemento não esteja em $A \cup B$, ele não deve estar nem $A$ e nem $B$. Observe que $5 \notin A$ e $5 \notin C$ e, portanto $5 \notin A \cup C$.

(d) Falso. Veja que $a \in B$, o que implica $a \in A \cup B$.

(e) Verdadeiro. Veja que $b \notin A$ e $b \notin C$, logo $b \notin A \cup C$.

União de conjuntos com mais de dois conjuntos

A união de conjuntos pode ser definida para mais de dois conjuntos. Na verdade, pode ser definida para uma quantidade infinita (inclusive, não enumerável) de conjuntos. Vamos nos ater aqui a uma quantidade finita.

Considere $A_1, A_2, \dots, A_n$ $n$ conjuntos quaisquer onde $n$ é um número natural maior ou igual a $2$. Definimos a união dos conjuntos $A_1, A_2, \dots, A_n$ por

$$A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \{x : x \in A_i \mbox{ para algum } i=1,2,\dots, n\}.$$

Em outras palavras, o conjunto $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$ é o conjunto formado por todos os elementos que estão em algum $A_i$ com $i=1,2,\dots,n$. Podemos ainda dizer que $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$ é construído da seguinte forma: pegamos os elementos de todos os $A_i$ com $i = 1,2, \dots, n$ e construímos um novo conjunto, esse conjunto é $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$.

Podemos escrever essa união de $n$ conjuntos de uma forma mais resumida, usando a seguinte notação:

$$A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \displaystyle\bigcup_{i=1}^n A_i.$$

Para que um elemento $x$ não esteja em $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$, ele não pode estar em nenhum $A_i$ com $i = 1,2,\dots,n$.

Usando um diagrama, podemos ver a união de mais de dois conjuntos

$A \cup B \cup C \cup D \cup E$

Vejamos alguns exemplos.

Exemplos

1. Considere os conjuntos

$$A=\{a,b\}, \mbox{ }B = \{\{a\},1,2,3\}, \mbox{ } C=\{4,5\} \mbox{ e } D=\{a,b,c\}.$$

Temos,

$$A \cup B = \{a,b,\{a\},1,2,3\}$$

$$A \cup B \cup C = \{a,b,\{a\},1,2,3,4,5\}$$

$$A \cup B \cup C \cup D = \{a,b,\{a\},1,2,3,4,5,c\}$$

2. Sejam

$$A = \{a,b,c\}, \mbox{ } B=\{\{a\},b,c\}, \mbox{ e } C=\{\{a,b\},c,d\}.$$

Classifique as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas.

(a) $\{a,b\} \in A \cup B$

(b) $\{a\} \notin A \cup B$

(c) $\{b\} \in A \cup B \cup C$

(d) $d \in A \cup B \cup C$

Solução:

(a) Falso. O conjunto $\{a,b\}$ é um elemento de $C$, mas não é elemento nem de $A$ e nem de $B$. Logo $\{a,b\} \notin A \cup B$.

(b) Falso. O conjunto $\{a\}$ é um elemento de $B$, sendo assim, $\{a\} \in A \cup B$.

(c) Falso. Observe que $\{b\}$ não é elemento nem de $A$, nem de $B$ e nem de $C$. Logo $\{b\} \notin A \cup B \cup C$.

(d) Verdadeiro. Temos que $d \in C$. Portanto $d \in A \cup B \cup C$.

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