Nos dois posts anteriores, aprendemos o que são intervalos de números reais e seus tipos. Além disso, vimos também que cada intervalo tem a sua representação geométrica (veja as postagens anteriores aqui). Tendo visto esses conceitos, estamos aptos para fazer operações com intervalos, ou seja, podemos calcular a união e a interseção de intervalos. Fazer estas operações com intervalos é essencial. Não raramente, para obter informações importantes sobre funções, é necessário estudar o sinal de expressões algébricas, isto é, saber para quais números reais essas expressões serão positivas ou negativas e, esse processo de estudo de sinal, envolve união e interseção de intervalos. Não é somente para isso que usamos as operações de união e interseção com intervalos, essas operações também aparecem na resolução de inequações. Esses são somente dois exemplos, existem muitos outros. Para calcular a união e interseção de intervalos, usaremos fortemente a representação geométrica dos intervalos. Começaremos aprendendo como calcular a união de intervalos. Vamos lá!
União de intervalos
Acredito que a melhor forma para aprendermos como fazer essa operação com intervalos é por meio de exemplos. Então, vamos aos exemplos.
Exemplos
1. Determine a união dos intervalos $(-1,2)$ e $(3,4]$.
Solução: Para fazer a união desses dois intervalos, vamos traçar três segmentos (pedaços) de reta, um acima do outro. Nos dois primeiros segmentos, anote o intervalo à esquerda de cada segmento e use os segmentos para fazer as representações geométricas dos intervalos, cada um onde foi anotado. No terceiro segmento, anote à esquerda do segmento o que se quer calcular, ou seja, $(-1,2) \cup (3,4]$. Vamos obter o seguinte desenho:
Em seguida, trace uma linha vertical, perpendicular aos segmentos, em cada extremidade dos intervalos, cruzando todos os segmentos envolvidos na operação.
Agora, no último segmento, marque os extremidades dos intervalos
A definição de união diz o seguinte, o conjunto $A$ unido com o conjunto $B$ é o conjunto $A \cup B$ formado por todos os elementos que estão ou em $A$ ou em $B$. Aplicando isso aos intervalos $(-1,2)$ e $(3,4]$ e usando a figura anterior, a união dos intervalos $(-1,2)$ e $(3,4]$ é o conjunto formado pelos números que estão pintados em algum dos intervalos, incluindo as extremidades representadas com bolinhas fechadas, assim, para visualizar o resultado, basta pintar no último segmento as partes que estão pintadas em algum dos intervalos acima.
Logo, a união dos dois intervalos será $(-1,2) \cup (3,4]$ (aqui, basta somente escrever a união dos intervalos pois eles são disjuntos, isto é, não possuem elementos em comum).
2. Determine a união dos intervalos $[-2,0)$ e $(-1, 3)$.
Solução: Vamos proceder de maneira análoga ao exemplo anterior, isto é, vamos usar o mesmo processo para construção do desenho, mas com os intervalos desse exemplo. O desenho ficará dessa forma:
Novamente, basta pintar no último segmento as partes que estão pintadas em algum dos intervalos acima.
Observe que, diferentemente do exemplo anterior, os intervalos aqui possuem números em comum e, assim, quando olhamos na representação geométrica da união dos intervalos, vemos uma bolinha fechada no $-2$ e uma parte pintada, sem nenhum "salto", até uma bolinha aberta no $3$. Desse modo, a união desses intervalos é o intervalo $[-2,3)$, ou seja, $[-2,0) \cup (-1, 3) = [-2,3)$.
3. Determine a união dos intervalos $[-3,1]$ e $(-2,+\infty)$.
Solução: Vamos proceder de forma similar aos exemplos anteriores. Com esses intervalos, vamos ter a seguinte figura.
Agora, pintando no terceiro segmento, as partes pintadas nos intervalos acima, vamos obter a seguinte figura:
Portanto $[-3,1] \cup (-2,+\infty) = [-3,+\infty)$.
4. Determine a união dos intervalos $(-\frac{1}{2}, +\infty)$ e $[-\frac{1}{2}, 3)$.
Solução: Considere o seguinte desenho
Olhe para o desenho e observe que $-\frac{1}{2}$ está nas duas representações dos intervalos, no primeiro com bolinha aberta e no segundo com bolinha fechada. Assim, como vamos marcar $-\frac{1}{2}$ no terceiro segmento? Como estamos trabalhando com a união de conjuntos, para que um elemento esteja na união, basta que ele esteja em um dos conjuntos. Desse modo, no terceiro segmanto, marcaremos o número $-\frac{1}{2}$ como uma bolinha fechada. A figura ficará assim:
Agora, basta pintar no terceiro segmento os números que estão pintados em alguns dos intervalos. Vamos ter:
Portanto, segue que, $(-\frac{1}{2}, +\infty) \cup [-\frac{1}{2}, 3)$ $=$ $[$ $-\frac{1}{2}$, $+\infty$ ).
5. Determine a união dos intervalos $(-1,0]$ e $(-3,1)$.
Solução: Esse é um caso em que não precisamos fazer as representações dos intervalos. Observe que $(-1,0] \subset (-3,1)$. Sabemos das propriedades da união de conjuntos que, se $A \subset B$, então $A \cup B = B$. Aplicando essa propriedade a esse exemplo, temos que $(-1,0] \cup (-3,1) = (-3,1)$.
6. Determine a união dos intervalos $(-\infty,-2)$, $(-1,0)$ e $(0,2]$.
Solução: Nesse exemplo está sendo pedido para determinar a união de três intervalos. Para determinar essa união, o procedimento é muito parecido com a união de dois intervalos. Para fazer a união desses três intervalos, vamos traçar quatro segmentos (pedaços) de reta, um acima do outro. Nos três primeiros segmentos, anote o intervalo à esquerda de cada segmento e use os segmentos para fazer as representações geométricas dos intervalos, cada um onde foi anotado. No quarto segmento, anote à esquerda do segmento o que se quer calcular, ou seja, $(-\infty,-2) \cup (-1,0) \cup (0,2]$. Após fazer isso, trace uma linha vertical, perpendicular aos segmentos, em cada extremidade dos intervalos, cruzando todos os segmentos envolvidos na operação. No último segmento, marque os extremidades dos intervalos. Vamos ter o seguinte desenho:
Observação sobre o exemplo 6: Se no lugar do intervalo $(-1,0)$ estivesse o intervalo $(-1,0]$, o número zero estaria na união, a representação desse número na reta seria uma bolinha fechada, assim, o resultado da união seria $(-\infty,-2) \cup (-1,2]$. O número zero seria a "ligação" ou uma "emenda" do intervalos $(-1,0]$ e $(0,2]$. Algo semelhante aconteceria se no lugar do intervalo $(0,2]$ estivesse o intervalo $[0,2]$.
Acredito que esses exemplos são suficientes para entendermos o processo da determinação da união de dois ou mais intervalos. Poderíamos fazer muito mais exemplos, mas a postagem ficaria muito grande e cansativa de ser lida. Estendendo as ideias que vimos aqui para calcular a união de intervalos, podemos determinar a união de quaisquer intervalos sejam o quanto for.
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