Potênciação e Radiciação #8: Potências com expoentes reais

Essa já é a oitava postagem sobre potenciação e radiciação do blog (veja todas as postagens aqui). Vimos quase tudo daquilo que é básico sobre esse assunto, quase tudo o que você precisa saber para resolver problemas de matemática envolvendo potenciação e radiciação, ou seja, vimos potências com expoentes naturais, inteiros, racionais e irracionais e também vimos a radiciação. Bom, eu disse quase tudo e, por que quase tudo? Para completar esse assunto e vermos tudo o que precisamos saber sobre potenciação e radiciação, falta abordarmos o caso onde o expoente de uma potência é um número real. Não se preocupe, isso fica fácil depois de tudo o que já foi visto.

Potências com expoente real

Seja $a,n \in \mathbb{R}$ com $a \geq 0$. Como fazemos para calcular $a^n$? Bom, depende de qual número é o $n$. Vejamos,

(1) Se $n$ é um número natural, usamos a definição de potência com expoente natural (veja a definição aqui)

(2) Se $n$ for um número inteiro negativo, usamos a definição de potência com expoente negativo (veja a definição aqui)

(3) Se $n$ for um número racional, ou seja, uma fração, usamos a definição de potência com expoente racional (veja a definição aqui).

(4) Se $n$ for um número irracional, temos uma forma aproximada de calcular essa potência, mas é melhor não calculá-la e sim deixá-la como potência mesmo (veja mais detalhes sobre isso aqui).

Dado um número real $n$, esse número será natural, inteiro, racional ou irracional, desse modo, nos quatro itens acima, abordamos todas possibilidades de potências com expoentes reais. Logo, se você precisa calcular um potência com expoente real, basta ver em qual caso ela se encaixa.

As propriedades que vimos para cada tipo de potência acima podem ser generalizadas para potências com expoentes reais, ou seja, dados $a,b,r,s \in \mathbb{R}$ com $a,b > 0$, valem as seguintes propriedades

(i) $a^r \cdot a^s = a^{r+s}$;

(ii) $\displaystyle\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$;

(iii) $(a \cdot b)^n = a^r \cdot b^s$;

(iv) $\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^r = \displaystyle\frac{a^r}{b^r}$ se $b \neq 0$;

(v) $(a^r)^s = a^{r \cdot s}$

Observação: Temos que $0^n = 0$ para qualquer $n \in \mathbb{R}$ positivo. Caso contrário, essa potências não está definida.

Vejamos alguns exemplos do uso dessas propriedades com potências com expoentes reais.

1. $2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{3} = 2^{\frac{1}{2}+3} = 2^{\frac{7}{2}}$; $\left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{4}{3}} \cdot \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{-\pi} = \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{4}{3}+(-\pi)} = \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{4}{3}-\pi}$;

2. $\displaystyle\frac{5^{\frac{1}{5}}}{5^{\sqrt{2}}} = 5^{\frac{1}{5}-\sqrt{2}}$;

3. $(3 \cdot 7)^{\frac{\sqrt{5}}{2}} = 3^{\frac{\sqrt{5}}{2}} \cdot 7^{\frac{\sqrt{5}}{2}}$;

4. $\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^{-\frac{1}{\pi}} = \displaystyle\frac{3^{-\frac{1}{\pi}}}{5^{-\frac{1}{\pi}}}$;

5. $\left(10^{\frac{2}{3}}\right)^{\sqrt{7}} = 10^{\frac{2}{3} \cdot \sqrt{7}} = 10^{\frac{2\sqrt{7}}{3}}$.

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Números Reais #9: Interseção de intervalos

Como já sabemos calcular a união de intervalos, vamos aprender agora como calcular a interseção de intervalos. Novamente iremos usar fortemente a representação geométrica dos intervalos e, como se trata da interseção de intervalos, temos que ter em mente a definição e as propriedades da interseção de conjuntos. Assim como a união de intervalos, a interseção de intervalos é muito importante. Só para reforçar o que foi dito no post anterior, os intervalos e as operações de união e de interseção de intervalos estão muito presentes no estudo de funções e de inequações. Conhecer bem os intervalos e essas operações facilitam muito o estudo e a compreensão desses objetos matemáticos, tanto em nível médio como superior. Então, sem enrolação, vamos à interseção de intervalos.

Interseção de intervalos

Como no caso da união de intervalos, a melhor forma de compreender como fazer a interseção de intervalos é por meio de exemplos. Então, vamos aos exemplos.

Exemplos

1. Determine a interseção dos intervalos $(-2,1)$ e $[-1,3)$.

Solução: Para fazer a interseção desses dois intervalos, vamos traçar três segmentos de reta, um acima do outro. Use os dois primeiros segmentos para fazer a representação geométrica dos intervalos, cada um em um segmento, e anote o intervalo representado à esquerda de cada segmento.  No terceiro segmento, anote à esquerda dele o que se quer calcular, ou seja, $(-2,1) \cap [-1,3)$. Vamos obter a seguinte figura:

Em seguida, trace uma linha vertical, perpendicular aos segmentos, em cada extremidade dos intervalos, cruzando todos os segmentos envolvidos na operação. Vamos obter o seguinte:

Agora, no último segmento, marque os extremidades dos intervalos.

A definição de interseção diz o seguinte, um conjunto $A$ interseção com um conjunto $B$ é o conjunto $A \cap B$ formado por todos os elementos que estão em $A$ e em $B$. Usando essa definição com os intervalos $(-2,1)$ e $[-1,3)$ e a figura anterior, a interseção dos intervalos $(-2,1)$ e $[-1,3)$ é o conjunto formado pelos números que estão pintados nos dois intervalos ao mesmo tempo, assim, para visualizar o resultado, basta pintar no último segmento as partes que estão pintadas nos dois intervalos acima. Desse modo, teremos a figura:

Observe que $-1$ pertence aos dois intervalos, pois está pintado no intervalo $(-2,1)$ e é uma bolinha fechada no intervalo $[-1,3)$. Veja também que $1$ pertence ao intervalo $[-1,3)$, mas é representado por uma bolinha aberta em $(-2,1)$. Desse modo, olhando o ultimo segmento da figura, vemos que a interseção dos intervalos vai de $-1$ representado por uma bolinha fechada até o $1$ representado por uma bolinha aberta, isto é,  $(-2,1) \cap [-1,3) = [-1,1)$. 

2. Determine a interseção dos intervalos $[-1,3]$ e $(0,4)$.

Solução: Vamos proceder da mesma maneira como no exemplo anterior, isto é, vamos usar o mesmo processo para construção da figura, mas com os intervalos desse exemplo. A figura ficará dessa forma:

Novamente, basta pintar no último segmento as partes que estão pintadas nos dois intervalos acima ao mesmo tempo. Vamos obter a seguinte figura:

No último segmento temos o intervalo $(0,3]$, logo, $[-1,3]$ $\cap$ $(0,4) = (0,3]$. 

3. Determine a interseção dos intervalos $(-2,1]$ e $[0,+\infty)$.

Solução: Vamos proceder de forma similar aos exemplos anteriores. Com esses intervalos, vamos ter a seguinte figura.

Agora, pintando no terceiro segmento, as partes pintadas, simultaneamente, nos intervalos acima, vamos obter a seguinte figura:

Portanto $(-2,1] \cap [0,+\infty) = [0,1]$.

4. Determine a interseção dos intervalos $(-\frac{1}{2}, +\infty)$ e $[-\frac{1}{2}, 3)$.

Solução: Vamos proceder de forma similar aos exemplos anteriores. Com esses intervalos, vamos ter a seguinte figura.

Olhe para o desenho e observe que $-\frac{1}{2}$ está nas duas representações dos intervalos, no primeiro com bolinha aberta e no segundo com bolinha fechada. Assim, como vamos marcar $-\frac{1}{2}$ no terceiro segmento? Como estamos trabalhando com a interseção de conjuntos, para que um elemento esteja na interseção, ele deve estar nos dois conjuntos. Desse modo, no terceiro segmento, marcaremos o número $-\frac{1}{2}$ como uma bolinha aberta. A figura ficará assim:

Agora, pintando no terceiro segmento, as partes pintadas nos dois intervalos acima, vamos obter a seguinte figura:

Portanto $(-\frac{1}{2}, +\infty) \cap [-\frac{1}{2}, 3) = (-\frac{1}{2}, 3)$.

5. Determine a interseção dos intervalos $(-2,3)$ e $[0,2]$.

Solução: Nesse caso não precisamos fazer as representações geométricas. Basta observar que $[0,2] \subset (-2,3)$. Das propriedades da interseção de conjuntos, sabemos que, dados os conjuntos $A$ e $B$ com $A \subset B$, temos que $A \cap B = A$. Aplicando essa propriedade aos intervalos desse exemplo, vamos obter $(-2,3) \cap [0,2] = [0,2]$.

6. Determine a interseção dos intervalos $(-\infty,1]$, $[-2, 0)$ e $[-1,2]$.

Solução: Nesse exemplo temos que determinar a interseção de três intervalos. Para fazer isso, o procedimento é muito parecido com a interseção de dois intervalos. Vamos traçar quatro segmentos de reta, um acima do outro. Nos três primeiros segmentos, anote o intervalo à esquerda de cada segmento e use os segmentos para fazer as representações geométricas dos intervalos, cada um onde foi anotado.  No quarto segmento, anote à esquerda do segmento o que se quer calcular, ou seja, $(-\infty,1] \cap [-2,0) \cap [-1,2]$. Após fazer isso, trace uma linha vertical, perpendicular aos segmentos, em cada extremidade dos intervalos, cruzando todos os segmentos envolvidos na operação. No último segmento, marque as extremidades dos intervalos. Vamos ter a seguinte figura:

Agora, basta pintar no último segmento as partes que estão pintadas nos intervalos acima, comuns a esses intervalos.

Logo,  $(-\infty,1] \cap [-2, 0) \cap [-1,2] = [-1,0)$.

Acredito que esses exemplos são suficientes para entendermos o processo da determinação da interseção de dois ou mais intervalos. Poderíamos colocar aqui muito mais exemplos, mas a postagem ficaria muito grande e cansativa de ser lida. Estendendo as ideias que vimos aqui para calcular a interseção de intervalos, podemos determinar a interseção de quaisquer intervalos sejam o quanto for.

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Números Reais #8: União de intervalos

Nos dois posts anteriores, aprendemos o que são intervalos de números reais e seus tipos. Além disso, vimos também que cada intervalo tem a sua representação geométrica (veja as postagens anteriores aqui). Tendo visto esses conceitos, estamos aptos para fazer operações com intervalos, ou seja, podemos calcular a união e a interseção de intervalos. Fazer estas operações com intervalos é essencial. Não raramente, para obter informações importantes sobre funções, é necessário estudar o sinal de expressões algébricas, isto é, saber para quais números reais essas expressões serão positivas ou negativas e, esse processo de estudo de sinal, envolve união e interseção de intervalos. Não é somente para isso que usamos as operações de união e interseção com intervalos, essas operações também aparecem na resolução de inequações. Esses são somente dois exemplos, existem muitos outros. Para calcular a união e interseção de intervalos, usaremos fortemente a representação geométrica dos intervalos. Começaremos aprendendo como calcular a união de intervalos. Vamos lá!

União de intervalos

Acredito que a melhor forma para aprendermos como fazer essa operação com intervalos é por meio de exemplos. Então, vamos aos exemplos.

Exemplos 

1. Determine a união dos intervalos $(-1,2)$ e $(3,4]$.

Solução: Para fazer a união desses dois intervalos, vamos traçar três segmentos (pedaços) de reta, um acima do outro. Nos dois primeiros segmentos, anote o intervalo à esquerda de cada segmento e use os segmentos para fazer as representações geométricas dos intervalos, cada um onde foi anotado.  No terceiro segmento, anote à esquerda do segmento o que se quer calcular, ou seja, $(-1,2) \cup (3,4]$. Vamos obter o seguinte desenho:

Em seguida, trace uma linha vertical, perpendicular aos segmentos, em cada extremidade dos intervalos, cruzando todos os segmentos envolvidos na operação.

Agora, no último segmento, marque os extremidades dos intervalos

A definição de união diz o seguinte, o conjunto $A$ unido com o conjunto $B$ é o conjunto $A \cup B$ formado por todos os elementos que estão ou em $A$ ou em $B$. Aplicando isso aos intervalos $(-1,2)$ e $(3,4]$ e usando a figura anterior, a união dos intervalos $(-1,2)$ e $(3,4]$ é o conjunto formado pelos números que estão pintados em algum dos intervalos, incluindo as extremidades representadas com bolinhas fechadas, assim, para visualizar o resultado, basta pintar no último segmento as partes que estão pintadas em algum dos intervalos acima.

 Logo, a união dos dois intervalos será $(-1,2) \cup (3,4]$ (aqui, basta somente escrever a união dos intervalos pois eles são disjuntos, isto é, não possuem elementos em comum). 

2. Determine a união dos intervalos $[-2,0)$ e $(-1, 3)$.

Solução: Vamos proceder de maneira análoga ao exemplo anterior, isto é, vamos usar o mesmo processo para construção do desenho, mas com os intervalos desse exemplo. O desenho ficará dessa forma:

Novamente, basta pintar no último segmento as partes que estão pintadas em algum dos intervalos acima.

Observe que, diferentemente do exemplo anterior, os intervalos aqui possuem números em comum e, assim, quando olhamos na representação geométrica da união dos intervalos, vemos uma bolinha fechada no $-2$ e uma parte pintada, sem nenhum "salto", até uma bolinha aberta no $3$. Desse modo, a união desses intervalos é o intervalo $[-2,3)$, ou seja, $[-2,0) \cup (-1, 3) = [-2,3)$.

3. Determine a união dos intervalos $[-3,1]$ e $(-2,+\infty)$.

Solução: Vamos proceder de forma similar aos exemplos anteriores. Com esses intervalos, vamos ter a seguinte figura.

Agora, pintando no terceiro segmento, as partes pintadas nos intervalos acima, vamos obter a seguinte figura:

Portanto $[-3,1] \cup (-2,+\infty) = [-3,+\infty)$.

4. Determine a união dos intervalos $(-\frac{1}{2}, +\infty)$ e $[-\frac{1}{2}, 3)$.

Solução: Considere o seguinte desenho

Olhe para o desenho e observe que $-\frac{1}{2}$ está nas duas representações dos intervalos, no primeiro com bolinha aberta e no segundo com bolinha fechada. Assim, como vamos marcar $-\frac{1}{2}$ no terceiro segmento? Como estamos trabalhando com a união de conjuntos, para que um elemento esteja na união, basta que ele esteja em um dos conjuntos. Desse modo, no terceiro segmanto, marcaremos o número $-\frac{1}{2}$ como uma bolinha fechada. A figura ficará assim:

Agora, basta pintar no terceiro segmento os números que estão pintados em alguns dos intervalos. Vamos ter:

Portanto, segue que, $(-\frac{1}{2}, +\infty) \cup [-\frac{1}{2}, 3)$ $=$ $[$ $-\frac{1}{2}$, $+\infty$ ).

5. Determine a união dos intervalos $(-1,0]$ e $(-3,1)$.

Solução: Esse é um caso em que não precisamos fazer as representações dos intervalos. Observe que $(-1,0] \subset (-3,1)$. Sabemos das propriedades da união de conjuntos que, se $A \subset B$, então $A \cup B = B$. Aplicando essa propriedade a esse exemplo, temos que $(-1,0] \cup (-3,1) = (-3,1)$.

6. Determine a união dos intervalos $(-\infty,-2)$, $(-1,0)$ e $(0,2]$.

Solução: Nesse exemplo está sendo pedido para determinar a união de três intervalos. Para determinar essa união, o procedimento é muito parecido com a união de dois intervalos. Para fazer a união desses três intervalos, vamos traçar quatro segmentos (pedaços) de reta, um acima do outro. Nos três primeiros segmentos, anote o intervalo à esquerda de cada segmento e use os segmentos para fazer as representações geométricas dos intervalos, cada um onde foi anotado.  No quarto segmento, anote à esquerda do segmento o que se quer calcular, ou seja, $(-\infty,-2) \cup (-1,0) \cup (0,2]$. Após fazer isso, trace uma linha vertical, perpendicular aos segmentos, em cada extremidade dos intervalos, cruzando todos os segmentos envolvidos na operação. No último segmento, marque os extremidades dos intervalos. Vamos ter o seguinte desenho:

Agora, basta pintar no último segmento as partes que estão pintadas em algum dos intervalos acima.

Portanto, a união desses intervalos é $(-\infty,-2) \cup (-1,0) \cup (0,2]$ (Observe que o número $0$ não está em nenhum dos intervalos).  

Observação sobre o exemplo 6: Se no lugar do intervalo $(-1,0)$ estivesse o intervalo $(-1,0]$, o número zero estaria na união, a representação desse número na reta seria uma bolinha fechada, assim, o resultado da união seria $(-\infty,-2) \cup (-1,2]$. O número zero seria a "ligação" ou uma "emenda" do intervalos $(-1,0]$ e $(0,2]$. Algo semelhante aconteceria se no lugar do intervalo $(0,2]$ estivesse o intervalo $[0,2]$.

Acredito que esses exemplos são suficientes para entendermos o processo da determinação da união de dois ou mais intervalos. Poderíamos fazer muito mais exemplos, mas a postagem ficaria muito grande e cansativa de ser lida. Estendendo as ideias que vimos aqui para calcular a união de intervalos, podemos determinar a união de quaisquer intervalos sejam o quanto for.

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Números Reais #7: Intervalos ilimitados

Na postagem anterior, abordamos os intervalos limitados de números reais. Como está no título dessa postagem, além dos intervalos limitados, existem também os intervalos ilimitados (às vezes chamados de intervalos infinitos). Esses tipos de intervalos são tão importantes quanto os intervalos limitados e, da mesma forma que os limitados, aparecem como soluções de inequações e influenciam fortemente o comportamento de funções definidas no conjunto dos números reais. Vamos, então, conhecer esses intervalos ilimitados.

Intervalos ilimitados de números reais

Na tabela abaixo estão tipos de intervalos, a definição deles como conjuntos e as notações que os representam.

\begin{array}{|c|c|c|} \hline \mbox{Notação} & \mbox{Conjunto} & \mbox{Tipo} \\ \hline (a,+\infty) & \{x \in \mathbb{R}: x > a \} & \mbox{Aberto} \\ \hline [a,+\infty) & \{x \in \mathbb{R}: x \geq a\} & \mbox{Fechado} \\ \hline (-\infty,b) & \{x \in \mathbb{R}: x < b\} & \mbox{Aberto} \\ \hline (-\infty,b] & \{x \in \mathbb{R}:  x \leq b\} & \mbox{Fechado} \\ \hline (-\infty,+\infty) & \mathbb{R} & \mbox{Fechado} \\ \hline \end{array}

Os intervalos acima são chamados  intervalos ilimitados (infinitos). Os símbolos $-\infty$ e $+\infty$ são chamados menos infinito e mais infinito, respectivamente. Esses símbolos não são números. O símbolo $-\infty$ carrega consigo a ideia de algo ilimitado, ou seja, algo que sempre está aumentado, que sempre será maior do que qualquer número que se puder imaginar, porém com sinal negativo e, o símbolo $+\infty$, de forma semelhante, representa algo que sempre está aumentado, que sempre será maior do que qualquer número que se puder imaginar, com sinal positivo.

Nos intervalos $(a,+\infty)$, $[a,+\infty)$, $(-\infty,b)$, $(-\infty,b]$ definidos acima, cada um deles possui somente uma extremidade, nos dois primeiros temos $a$ como extremidade e nos dois últimos temos $b$ como extremidade. O intervalo $(-\infty,+\infty)$, que é o conjunto dos números reais, não possui extremidade.

Observação: 

(i) Na notação de intervalo, os parênteses $($ e $)$ podem ser substituídos, respectivamente, por $]$ e $[$. Assim, podemos reescrever os intervalos $(a,+\infty)$, $[a,+\infty)$, $(-\infty,b)$, $(-\infty,b]$ e $(-\infty,+\infty)$ na forma $]a,+\infty[$, $[a,+\infty[$, $]-\infty,b[$, $]-\infty,b]$ e $]-\infty,+\infty[$, respectivamente (eu prefiro usar os parênteses).

(ii) Em cada intervalo definido acima, não se pode colocar colchetes (voltados para "dentro" intervalo) onde estão os símbolos $-\infty$ e $+\infty$, pois o colchete está associado à uma limitação, trás a ideia de que o intervalo vai "parar", e os símbolos de $-\infty$ e $+\infty$ carregam consigo a ideia de não "parar", de que não há limitação.

Os intervalos ilimitados também possuem as suas representações geométricas.

Como no caso dos intervalos limitados, fazer as representações geométricas dos intervalos ilimitados é bem simples. Nos primeiros quatro casos da figura acima, primeiramente devemos marcar a extremidade do intervalo e, se a extremidade pertencer ao intervalo, ela será representada por uma bolinha fechada, caso contrário, será representada por uma bolinha aberta. Depois de se fazer isso, verificar se os elementos do intervalo são maiores ou menores  que a extremidade. No caso de serem maiores, devemos pintar tudo o que está à direta da extremidade e, no caso se serem menores, devemos pintar tudo o que está à esquerda da extremidade. Para fazer a representação do último intervalo da figura acima, basta desenhar um pedaço da reta e pintar.

Veremos agora alguns exemplos.

Exemplos

1. Alguns intervalos escritos na forma de conjunto.

$$(2, +\infty) = \{x \in \mathbb{R}:  x  > 2\};$$

$$\left[-\frac{1}{2},+\infty \right) = \left\{x \in \mathbb{R}: x \geq -\frac{1}{2}  \right\};$$

$$(-\infty,6) = \{x \in \mathbb{R}: x < 6\};$$

$$(-\infty,-4] = \{x \in \mathbb{R}: x \leq -4\}.$$

2. Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:

(a) $1 \in (0,+\infty)$

(b) $-3 \in [-3,+\infty)$

(c) $-2 \in (-\infty,-2)$

(d) $5 \notin (-\infty,5]$

(e) $1,25 \notin (1,+\infty)$

Solução: 

(a) Verdadeiro. Esse intervalo é formado por todos os números que são maiores que $0$ e, como $1$ é maior que $0$, segue que $1 \in (0,+\infty)$.

(b) Verdadeiro. O intervalo $[-3,+\infty)$ é formado por todos os números reais maiores ou iguais a $-3$, logo $-3 \in [-3,+\infty)$.

(c) Falso. O intervalo $(-\infty,-2)$ é formado pelos números reais menores que $-2$, Portanto $-2 \notin (-\infty,-2)$.

(d) Falso. A extremidade $5$ pertence ao intervalo $(-\infty,5]$, logo $5 \in (-\infty,5]$.

(e) Falso. O número $1,25$ é maior que $1$ e, assim, $1,25 \in (1,+\infty)$.

3. Representações geométricas de intervalos:

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Números Reais #6: Intervalos limitados

 Chegamos a um tópico muito importante dentro do assunto de números reais, chegou a hora de falarmos sobre intervalos. Para um boa compreensão desse tópico é importante se ter estudado anteriormente os tópicos de ordem e completude dos números reais. Mas por que o conceito de intervalo de números reais é importante? Os intervalos (e seus tipos, que veremos logo a seguir) aparecem muitas vezes na matemática como soluções de inequações e também influenciam diretamente o estudos das funções. Quando digo funções, não estou falando somente de funções que vão de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$, mas também de funções vetoriais que possuem como uma de suas aplicações o estudos de trajetórias de objetos no plano e no espaço. Assim, estudar os intervalos de números reais não serve somente para se conhecer mais um objeto matemático, mas sim para saber o que acontece na base do comportamento de funções importantes que possuem aplicações em inúmeras áreas do conhecimento. Então, vamos aprender primeiramente, em detalhes, o que é um intervalo limitado de números reais e seus tipos.

Intervalos limitados de números reais

O uso dos símbolos de desigualdade

Na postagem sobre a ordem dos números reais foram apresentados os símbolos de desigualdade, os quais são $<$, $>$, $\leq$ e $\geq$. Esses símbolos podem ser usados em sequência, como por exemplo:

(i) $-2 < 0 < 1$, que significa: $-2$ é menor que $0$, que é menor que $1$, ou ainda, $0$ está entre $-2$ e $1$.

(ii) $-2 \leq -1 < 3$, que significa: $-2$ é menor ou igual a $-1$, que é menor que $-3$.

(iii) $0 < 5 \leq 10$, que significa: $0$ é menor que $5$ que é menor ou igual a $10$.

(iv) $4 \leq 6 \leq 8$, que significa: $4$ é menor ou igual a $6$, que é menor ou igual a $8$.

De um modo geral, dados $a,b \in \mathbb{R}$ com $a < b$, temos o seguinte:

(v) $a < x < b$, que significa: $x$ é menor que $a$, que é menor que $b$, ou ainda, $x$ está entre $a$ e $b$ e não pode ser nem $a$ e nem $b$.

(vi) $a \leq x < b$, que significa: $a$ é menor ou igual a $x$, que é menor que $b$, ou ainda, $x$ está entre $a$ e $b$, podendo ser igual a $a$ mas diferente de $b$.

(vii) $a < x \leq b$, que significa: $a$ é menor que $x$, que é menor ou igual a $b$, ou ainda, $x$ está entre $a$ e $b$, diferente de $a$ mas podendo ser igual a $b$.

(viii) $a \leq x \leq b$, que significa: $a$ é menor ou igual a $x$, que é menor ou igual a $b$, ou ainda, $x$ está entre $a$ e $b$, podendo ser igual a $a$ ou igual a $b$.

Para exemplificar os itens (v), (vi), (vii) e (viii), considere $a=-1$ e $b=3$. Desse modo, dado $x \in \mathbb{R}$, se:

  $-1 < x < 3$, então $x$ é um número maior que $-1$ e menor que $3$, ou ainda, $x$ está entre $-1$ e $3$ e não pode ser igual $-1$ e nem $3$;

  $-1 \leq x < 3$, então $x$ é um número maior ou igual a $-1$ e menor que $3$, ou ainda, $x$ está entre $-1$ e $3$  podendo ser igual $-1$ mas diferente de $3$;

  $-1 < x \leq 3$, então $x$ é um número maior que $-1$ e menor ou igual a $3$, ou ainda, $x$ está entre $-1$ e $3$, diferente de $-1$ mas pode ser igual a $3$;

  $-1 \leq x \leq 3$, então $x$ é um número maior ou igual a $-1$ e menor ou igual a $3$, ou ainda, $x$ está entre $-1$ e $3$, podendo ser igual a $-1$ ou igual a $3$.

Observação: Podemos usar os símbolos $>$ e $\geq$ em sequência para dizer que um número $x$ está entre outros dois, como por exemplo, $4 > 3 \geq 1$, porém isso não é muito comum na matemática. Outra coisa que é bem menos comum, é usar símbolos "opostos" em sequência, como por exemplo, $3 > 1<5$. Apesar de não estar errado, seria melhor escrever $1 < 3 < 5$.

Agora vamos passar de fato à definição de intervalo limitado e seus tipos.

Intervalos

Os intervalos são subconjuntos de $\mathbb{R}$ (da reta) que possuem pelo menos dois números e dados dois números num intervalo, ele contém todos os números entre esses dois. 

Na tabela abaixo estão tipos de intervalos, a definição deles como conjuntos e as notações que os representam.

\begin{array}{|c|c|c|} \hline \mbox{Notação} & \mbox{Conjunto} & \mbox{Tipo} \\ \hline (a,b) & \{x \in \mathbb{R}: a < x < b \} & \mbox{Aberto} \\ \hline [a,b) & \{x \in \mathbb{R}: a \leq x < b\} & \mbox{Semiaberto} \\ \hline (a,b] & \{x \in \mathbb{R}: a < x \leq b\} & \mbox{Semiaberto} \\ \hline [a,b] & \{x \in \mathbb{R}: a \leq x \leq b\} & \mbox{Fechado} \\ \hline \end{array}

Em todos os tipos de intervalos acima, os números $a$ e $b$, são chamados extremidades do intervalo. Como se pode perceber, se ao lado da extremidade do intervalo está um parênteses, a respectiva extremidade não está no intervalo, mas se for um colchete, essa extremidade está no intervalo. Esses quatro tipos de intervalos apresentados acima são chamados de intervalos limitados.

Observação: Na notação de intervalo, os parênteses $($ e $)$ podem ser substituídos, respectivamente, por $]$ e $[$. Assim, podemos reescrever os intervalos $(a,b)$, $(a,b]$ e $[a,b)$ na forma $]a,b[$, $]a,b]$ e $[a,b[$, respectivamente (eu prefiro usar os parênteses).

Os intervalos de números reais podem ser representados geometricamente, no caso dos intervalos limitados, como um pedaço da reta dos números reais. Essa representação geométrica é muito importante para fazemos operações de união e interseção de intervalos, entre outras coisas. Vamos ver como são as representações geométricas de cada tipo de intervalo apresentado aqui.

Fazer essa representação geométrica é bem simples. Dado um intervalo, primeiramente marcamos suas extremidades. Se a extremidade está no intervalo, marcamos uma bolinha fechada para representá-la e, se não estiver, marcamos uma bolinha aberta. Tendo feito isso, basta pintar tudo o que está entre as extremidades do intervalo, como feito acima.

Agora estamos prontos para fazer alguns exemplos.

Exemplos

1. Alguns intervalos escritos na forma de conjunto.

$$(0,1) = \{x \in \mathbb{R}: 0 < x < 1\};$$

$$[-1,5) = \{x \in \mathbb{R}: -1 \leq x < 5\};$$

$$(5,10] = \{x \in \mathbb{R}: 5 < x \leq 10\};$$

$$[-8,-6] = \{x \in \mathbb{R}: -8 \leq x \leq -6\}.$$

2. Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:

(a) $1 \in (-1,2)$

(b) $3 \in [3,5]$

(c) $-1 \in [-2,-1)$

(d) $4 \notin (2,4]$

(e) $\pi \notin (3,4)$

Solução: 

(a) Verdadeiro. Como $1$ é maior que $-1$ e menor que $2$, segue que $1 \in (-1,2)$.

(b) Verdadeiro. O intervalo $[3,5]$ é formado por todo $x \in \mathbb{R}$ onde $3 \leq x \leq 5$, ou seja, $x$ pode ser igual a $3$. Logo $3 \in [3,5]$.

(c) Falso. O intervalo $[-2,-1)$ possui como extremidades os números $-2$ e $-1$. Observe que a extremidade $-2 \in [-2,-1)$ e a extremidade $-1 \notin [-2,-1)$. Portanto $-1 \notin [-2,-1)$.

(d) Falso. O intervalo $(2,4]$ inclui o número $4$, logo, $4 \in (2,4]$.

(e) Falso. O número $\pi$ é maior que $3$ e menor que $4$, logo $\pi \in (3,4)$.

3. Representações geométricas de intervalos:

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Números Reais #5: Completude dos números reais

Agora que sabemos quem são os números reais e suas propriedades (inclusive o jogo de sinais), podemos ir mais a fundo no estudo dos números reais, ou seja, vamos estudar um pouco, digamos, da "estrutura" dos números reais. Nesse post vamos falar sobre a completude dos números reais. A palavra "completude" nos lembra a palavra "completo" e, essa propriedade dos números reais tem a ver mesmo com "estar completo". Bom, o que significa que o conjunto dos números reais está completo? Vamos entender isso agora.

Completude dos números reais

A noção de que um número está entre outros dois números é algo bem natural para nós, por exemplo, o número $2$ está entre o $0$ e o $3$, pois $2$ é maior que $0$ e menor que $3$. De um modo geral, dizemos que $x \in \mathbb{R}$ está entre $a \in \mathbb{R}$ e $b \in \mathbb{R}$, com $a <b$, se, e somente se, $x >a$ e $x < b$.

Agora, o que esta relação de "estar entre" tem a ver com essa história da completude dos números reais? Tem tudo a ver. A completude dos números reais significa que vale o seguinte:

Dados quaisquer números $a,b \in \mathbb{R}$ com $a <b$, sempre existe um número $x \in \mathbb{R}$ tal que $x>a$ e $x<b$.

Podemos reescrever a afirmação acima de outra forma:

No conjunto dos números reais sempre existe um número entre quaisquer outros dois números distintos.

Desse modo, o nome "completude" e a noção de "estar completo" fazem sentido, isto é, no conjunto dos números reais não há buracos. Sempre que você escolher dois números reais aleatórios distintos, vai existir um número real entre eles, por mais que esses primeiros dois números que você escolheu estejam próximos. Por exemplo, escolhendo os números $5,125342$ e $5,125343$, vemos que $5,125342 < 5,125343$ e a diferença entre eles é $0,000001$, o que significa que estão bem próximos. Entre esses dois números, está o número $5,1253425$, pois $5,1253425 > 5,125342$ e $5,1253425 < 5,125343$. Pensando de uma forma geral, dados $a,b \in \mathbb{R}$ com $a < b$, o número $x = \displaystyle\frac{a+b}{2}$, que é a média entre $a$ e $b$, sempre estará entre $a$ e $b$.  

Essa propriedade da completude dos números reais nos traz uma outra noção, a noção de que o conjunto dos números reais é "contínuo". Como observei acima, a completude nos diz que $\mathbb{R}$ não possui buracos. Podemos pensar nessa ideia de não ter buracos, também, da seguinte forma: Considere o número $0$. Qual é o número que vem em seguida do $0$, ou ainda, partindo do $0$, qual é o próximo número? Seria o $0,1$? Não, por que $0,01$ é menor que $0,1$. Mas, também não é $0,01$, pois $0,001$ é menor que $0,01$. Poderíamos continuar com esse raciocínio infinitamente. Mas o que isso significa? Significa que, no conjunto dos números reais, para "ir de um número a outro" você precisa passar por todos os números que estão entre eles e, entre esses números, como vimos, não há buracos, logo, esse caminho para ir de um número ao outro é contínuo. Por esse motivo, por essa "continuidade" é que podemos representar o conjunto dos números reais como sendo uma reta ou, até mesmo, uma régua infinita. Uma reta não tem começo e nem fim, não tem nenhum buraco. Podemos associar a cada número real um e, somente um, ponto da reta. Geometricamente, temos:

Nesse momento você pode estar pensando: Isso não funciona para todos os outros conjuntos numéricos? Não, não funciona.

Pensando nos números naturais $\mathbb{N} = \{0,1,2,3,\dots\}$, quais são os números naturais que estão entre $2$ e $3$? Não existe número natural entre $2$ e $3$. Entre outras palavras, entre $2$ e $3$ há um "buraco". Logo, a propriedade de completude não vale para o conjunto dos números naturais, as noções de "estar completo" e de "ser contínuo" não funcionam em $\mathbb{N}$.

Se considerarmos o conjunto dos números inteiros $\mathbb{Z} = \{\dots, -2,-1,0,1,2,\dots\}$, usando o mesmo argumento usado no conjunto dos números naturais, vemos que a completude não vale em $\mathbb{Z}$.

A completude também não vale no conjunto dos números racionais $\mathbb{Q} = \left\{\displaystyle\frac{a}{b}: a,b \in \mathbb{Z} \mbox{ com } b\neq 0 \right\}$. Considerando os números $3$ e $4$ em $\mathbb{Q}$, o número $\pi$, que é irracional e, portanto, não pode ser escrito como uma fração, está entre $3$ e $4$. Assim, entre $3$ e $4$, quando consideramos somente números racionais, há um "buraco" (onde está o $\pi$). 

Por último, no conjunto dos números irracionais $\mathbb{I} = \mathbb{R}-\mathbb{Q}$ (todos os reais menos os racionais), entre os números $\sqrt{2}$ e $\sqrt{3}$ está o número $1,5 = \displaystyle\frac{3}{2}$, que não é irracional. Portanto, a completude também não vale em $\mathbb{I}$.

A completude faz com que $\mathbb{R}$ seja realmente um conjunto especial. A partir disso conseguimos estudar os intervalos de números reais. A noção de intervalo só existe nos números reais, devido à sua completude. Mas não é só isso, tudo o que se estuda em Cálculo I (disciplina estudada em 95% dos cursos que possuem disciplinas de matemática), Cálculo II, Equações Diferenciais, Análise Real, e etc. depende da noção de intervalo. Por isso, vale o esforço de entender a completude dos números reais.

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Números Reais #4: Jogo de sinais

Esse já é o quarto post sobre os números reais. Nos três primeiros posts (acesse-os aqui) definimos os números reais, conhecemos alguns de seus subconjuntos importantes, aprendemos suas propriedades algébricas e de ordem. Tendo visto isso, estamos prontos para falar sobre o jogo de sinais, que é consequência das propriedades dos números reais. Bom, mais o que é o tal do jogo de sinais? É aquilo que aprendemos na escola, de uma forma bem simples:

• mais vezes mais é mais;
• mais vezes menos é menos;
• menos vezes mais é menos;
• menos vezes menos é mais;

De uma forma um pouco mais formal: quando multiplicamos dois números positivos ou dois números negativos, o resultado é um número positivo e quando multiplicamos dois números com sinais opostos (um positivo e o outro negativo) o resultado é negativo.

Quando vimos isso pela primeira vez, nós simplesmente decoramos e pronto. Mas acredito que você sempre se perguntou: Por que menos vezes menos é mais? Dois números negativos multiplicados não deveria ter como resultado um número "mais negativo ainda"? E por que quando os sinais são diferentes, o resultado é negativo? Isso tudo parece mágica. No entanto, na Matemática, não existe mágica, tudo é consequência das definições, das propriedades e dos teoremas. Concordo que algumas coisas são um pouquinho mais complicadas que outras, mas não é o caso do jogo de sinais.

Vamos entender tudo sobre o jogo de sinais agora!

Jogo de sinais

Vamos entender como o jogo de sinais funciona por meio de proposições. E o que são proposições? São afirmações que precisam ser justificadas, que precisam ser demonstradas, assim como os teoremas. Já tivemos proposições usadas como exemplos nos posts anteriores.

A primeira proposição é algo bastante óbvio para nós. Vamos provar que qualquer número real vezes zero é igual a zero. Isso é importante para demonstrar as regras do jogo de sinais.

Proposição 1: Dado qualquer $a \in \mathbb{R}$, $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$.

Demonstração: Sabemos que $0 = 0+0$, pois $0$ é o elemento neutro da soma. Desse modo, multiplicando os dois lados dessa igualdade por $a \in \mathbb{R}$ qualquer, temos

$$a \cdot 0 = a \cdot (0+0).$$

Usando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, temos que $a \cdot (0+0) = a \cdot 0 + a \cdot 0$. Assim, obtemos

$$a \cdot 0 = a \cdot 0 + a \cdot 0.$$

No post sobre as propriedades algébricas dos números reais, vimos que todo número real possui um oposto. Como $a \cdot 0$ é um número real, então existe o oposto de $a \cdot 0$ que é $-a \cdot 0$. Somando $-a \cdot 0$ em ambos os lados da igualdade anterior, segue que

$$\begin{eqnarray*} a \cdot 0 &=& a \cdot 0 + a \cdot 0 \\ a \cdot 0 + (-a \cdot 0) &=& (a \cdot 0 + a \cdot 0) + (-a \cdot 0) \\ 0 &=& a \cdot 0 + (a \cdot 0 + (-a \cdot 0)) \\ 0 &=& a \cdot 0 + 0 \\ 0 &=& a \cdot 0 \end{eqnarray*}$$

Portanto, $0 = a \cdot 0$ para qualquer que seja $a \in \mathbb{R}$. Agora, como a multiplicação dos números reais é comutativa, segue que $a \cdot 0 = 0$. Assim a proposição está provada.

Agora vamos passar às regras do jogo de sinais.

Proposição 2: Dados quaisquer $a,b \in \mathbb{R}$, $(-a) \cdot b = -a \cdot b$.

Demonstração: Primeiramente, note que, para $a,b \in \mathbb{R}$ quaisquer, temos, usando a propriedade distributiva e a Proposição 1, que

$$(-a) \cdot b + a \cdot b = (-a + a) \cdot b = 0 \cdot b = 0.$$

A igualdade acima nos dá que $(-a) \cdot b + a \cdot b = 0$. Vamos somar, nos dois lados dessa última igualdade, o número $-a \cdot b$ (que é o oposto de $a \cdot b$). Assim,

$$\begin{eqnarray*} (-a) \cdot b + a \cdot b &=& 0 \\ ((-a) \cdot b + a \cdot b) + (-a \cdot b) &=& 0 + (-a \cdot b) \\ (-a) \cdot b + (a \cdot b + (-a \cdot b)) &=& 0 + (-a \cdot b) \\ (-a) \cdot b + 0 &=& -  a \cdot b \\ (-a) \cdot b &=& - a \cdot b \end{eqnarray*}$$

Portanto $(-a) \cdot b = - a \cdot b$.

Na Proposição 2 demonstramos que um número negativo vezes um número positivo é um número negativo. Vamos continuar.

Proposição 3: Dados quaisquer $a,b \in \mathbb{R}$, $a \cdot (-b) = -a \cdot b$.

Demonstração: De modo análogo à proposição anterior, para quaisquer $a,b \in \mathbb{R}$, usando a propriedade distributiva e a Proposição 1, temos

$$a \cdot (-b) + a \cdot b = a \cdot (-b + b) = a \cdot 0 = 0.$$

Da igualdade acima, segue que $a \cdot (-b) + a \cdot b = 0$. Vamos somar, nos dois lados dessa última igualdade, o número $-a \cdot b$ (que é o oposto de $a \cdot b$). Dese modo,

$$\begin{eqnarray*} a \cdot (-b) + a \cdot b &=& 0 \\ (a \cdot (-b) + a \cdot b) + (-a \cdot b) &=& 0 + (-a \cdot b) \\ a \cdot (-b) + (a \cdot b + (-a \cdot b)) &=& 0 + (-a \cdot b) \\ a \cdot (-b) + 0 &=& -a \cdot b\\ a \cdot (-b) &=& - a \cdot b \end{eqnarray*}$$

Portanto $a \cdot (-b) = - a \cdot b$.

Na Proposição 3 demonstramos que um número positivo vezes um número negativo é um número negativo. Vamos para o próximo caso.

Proposição 4: Dados quaisquer $a,b \in \mathbb{R}$, $(-a) \cdot (-b) = a \cdot b$.

Demonstração: Considere $a,b \in \mathbb{R}$ quaisquer. Novamente usando a propriedade distributiva e a Proposição 1, temos que

$$(-a) \cdot (-b) + (-a) \cdot b = (-a) \cdot (-b + b) = (-a) \cdot 0 = 0.$$

Desse modo, temos a igualdade $(-a) \cdot (-b) + (-a) \cdot b = 0$. Ao somarmos, em ambos os lados dessa última igualdade, o número $a \cdot b$, vamos ter

$$\begin{eqnarray*} (-a) \cdot (-b) + (-a) \cdot b &=& 0 \\ ((-a) \cdot (-b) + (-a) \cdot b) + a \cdot b &=& 0 + a \cdot b \\ (-a) \cdot (-b) + ((-a) \cdot b + a \cdot b) &=& 0 + a \cdot b \\ (-a) \cdot (-b) + (-a \cdot b + a \cdot b)  &=&  a \cdot b \mbox{ } [\mbox{observe que }(-a) \cdot b = -ab \mbox{ pela Proposição 2}] \\ (-a) \cdot (-b) + 0 &=& a \cdot b\\ (-a) \cdot (-b) &=&  a \cdot b \end{eqnarray*}$$

Portanto $(-a) \cdot (-b) = a \cdot b$. 

Assim, provamos na Proposição 4 que dois números negativos multiplicados tem como resultado um número positivo.

Observação importante:

Não há uma proposição para o caso da multiplicação de dois números positivos. E por que não há? Bom, na verdade, essas proposições mostram um pouco mais do que o jogo de sinais. Em outras palavras, elas provam o seguinte:

Proposição 2: O oposto de $a$ vezes $b$ é igual ao oposto de $ab$.

Proposição 3: O número $a$ vezes o oposto de $b$ é igual ao oposto de $ab$.

Proposição 4: O oposto de $a$ vezes o oposto de $b$ é igual à $ab$.

Assim, essas proposições tratam da multiplicação envolvendo elementos opostos com o objetivo de saber como isso vai interferir nos resultados. Por isso, o caso $a$ vezes $b$ não é abordado, pois sempre teremos $a \cdot b = a \cdot b$, ou seja, se não tivermos opostos envolvidos na multiplicação, nada muda no resultado com relação ao "sinal". Logo, a multiplicação de números positivos continua sendo um número positivo.

Entendendo como essas regras funcionam, com certeza isso não será mais um problema para você.

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Números Reais #3: Propriedades de ordem

Você já para parou para pensar sobre a ordem dos números? Bom, essa é uma ideia que aprendemos logo cedo na escola, o que faz com que essa noção de ordem dos números seja bem natural para nós. Se eu te apresentar os números $2$ e $5$ e te perguntar qual é o maior deles, acredito que você me responderá que o maior deles é o $5$ em menos de um segundo. Agora outra pergunta: Você já parou para pensar que nem todos os conjuntos numéricos ou objetos matemáticos possuem uma ordem natural como esta? Sim, nem todos os conjuntos numéricos ou objetos matemáticos podem ser colocados em ordem, ou pelo menos, na ordem natural que conhecemos. Para dar exemplos disso, precisamos ir um pouco além do ponto em que estamos. Considere os dois números complexos $2+5i$ e $1-7i$. Usando a mesma noção que temos de ordem nos números reais, quais desses números complexos é maior que o outro? Não dá para fazer essa comparação. Vamos de outro exemplo, considere os polinômios $p(x) = x^2-1$ e $q(x) = x^5-2x+7$, Qual desses polinômios é maior que o outro? Novamente, não é possível fazer essa comparação usando a noção de ordem que temos nos números reais.

E o que podemos concluir com isso? A ordem é uma característica importante que não pode ser implementada de qualquer forma em qualquer conjunto. Isso justifica a necessidade de estudá-la, pois se um conjunto possui uma ordem, ou seja, é um conjunto ordenado, ele se diferencia dos outros conjuntos e, essa ordem vai influenciar todo objeto matemático no qual esse conjunto está envolvido. Isso ficará claro na postagem sobre a completude dos números reais.

Para que o assunto tratado aqui fique claro, é bom ter o conhecimento do que é um número real e de suas propriedades algébricas.

Propriedades de ordem dos números reais

O conjunto dos números reais é ordenado, ou seja, podemos comparar dois números reais distintos dizendo se um é maior (menor) que o outro.

Vamos ver os símbolos que usamos para comparar dois números reais com relação à ordem. Sejam $a,b \in \mathbb{R}$, temos

$$ \begin{array}{|c|c|} \hline \mbox{Símbolo} & \mbox{Leitura} \\ \hline \hline a>b & a \mbox{ é maior que } b  \\ \hline a<b & a \mbox{ é menor que } b \\ \hline a \geq b & a \mbox{ é maior ou igual a } b  \\ \hline a \leq b & a \mbox{ é menor ou igual a } b \\ \hline  \end{array}$$

Os símbolos $>$, $<$, $\geq$ e $\leq$ são chamados símbolos de desigualdade.

Observação:

(i) $a$ é positivo se, e somente se, $a > 0$;

(ii) $a$ é positivo ou zero se, e somente se, $a \geq 0$;

(iii) $a$ é negativo se, e somente se, $a < 0$;

(iv) $a$ é negativo ou zero se, e somente se, $a \leq 0$.

Para todos $a,b,c \in \mathbb{R}$ temos as seguintes propriedades:

(1) $a \leq a$ (propriedade reflexiva).

(2) Se $a \leq b$ e $b \leq a$, então $a=b$ (propriedade transitiva).

(3) Se $a \leq b$ e $b \leq c$, então $a \leq c$ (propriedade transitiva).

(4) Se $a \leq b$, então $a + c \leq b+c$ para todo $c \in \mathbb{R}$ (compatibilidade da ordem com a adição).

(5) Se $a \leq b$ e $c > 0$, então $ac \leq bc$.

(6) Se $a \leq b$ e $c < 0$, então $ac \geq bc$.

(7) Se $a > 0$, então $\displaystyle\frac{1}{a} > 0$.

(8) Se $a < 0$, então $\displaystyle\frac{1}{a} < 0$.

(9) Se $a$ e $b$ são ambos negativos ou ambos positivos, então $a < b$ implica $\displaystyle\frac{1}{a} > \displaystyle\frac{1}{b}$.

As propriedades (1) e (2) continuam valendo se trocarmos o símbolo $\leq$ pelo símbolo $\geq$ e as propriedades de (3) a (6), continuam valendo se trocarmos o símbolo de $\leq$ pelos símbolos $\geq$,  $<$ ou $>$.

Vamos ver um exemplo para cada propriedade citada acima.

Exemplo

(1) $2 \leq 2$.

(2) Somente dois números iguais satisfazem a condição de ser menor ou igual e maior ou igual ao outro ao mesmo tempo, por exemplo $3 \leq 3$ e $3 \geq 3$.

(3) Temos $5 \leq 6$ e $6 \leq 10$, o que implica, $5 \leq 10$.

(4) Temos que $-1 \leq 3$. Ao somarmos o mesmo número em ambos os lados do sinal de desigualdade, o sinal irá se manter. Somando $4$ em ambos os lados da desigualdade, obtemos

$$-1 \leq 3 \Rightarrow -1+4 \leq 3+4 \Rightarrow 3 \leq 7.$$

(5) Sabemos que $-2 \leq 1$. Multiplicando por $\frac{1}{2}$ (observe que $\frac{1}{2} > 0$) em ambos os lados do símbolo de desigualdade obtemos

$$-2 \leq 1 \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot (-2) \leq \frac{1}{2} \cdot 1 \Rightarrow -1 \leq \frac{1}{2}.$$

(6) Temos que $-3 \leq 4$. Ao multiplicarmos ambos os lados do sinal de desigualdade por um número negativo, por exemplo, o $-2$, o sinal de desigualdade inverte.

$$-3 \leq 4 \Rightarrow -2 \cdot (-3) \leq -2 \cdot 4 \Rightarrow 6 \geq -8.$$

(7) Como $6 >0$, então $\displaystyle\frac{1}{6} >0.$

(8) Como $-2 < 0$, então $\displaystyle\frac{1}{-2} = -\displaystyle\frac{1}{2} <0.$

(9) Para os números $7$ e $11$ temos $7 < 11$, o que implica, $\displaystyle\frac{1}{7} > \displaystyle\frac{1}{11}$. Considerando agora $-5$ e $-6$, temos $-6 < -5$ e, assim, $-\displaystyle\frac{1}{6} > -\displaystyle\frac{1}{5}$. Podemos ver essa propriedade da seguinte forma: Quando invertemos os números envolvidos numa desigualdade, a desigualdade também inverte.

 Vamos ver alguns exemplos teóricos de como essas propriedades são aplicadas. À partir dessas propriedades obtemos outras propriedades importantes.

Mais exemplos (teóricos)

1. Sejam $x,y,z,w \in \mathbb{R}$. Mostre que, se $x \leq y$ e $z \leq w$, então $x+z \leq y+w$.

Demonstração: Por hipótese, temos que $x \leq y$. Assim, pela propriedade (4), segue que $x+z \leq y+z$. Também por hipótese, temos que $z \leq w$. Novamente pela propriedade (4), obtemos $z+y \leq w+y$, ou ainda, $y+z \leq y+w$. Desse modo, temos que $x+z \leq y+z$ e $y+z \leq y+w$ e, da propriedade (3), obtemos $x+z \leq y+w$ como queríamos demonstrar. 

2. Sejam $x,y,z,w \in \mathbb{R}$, todos maiores ou iguais a zero. Mostre que, se $x \leq y$ e $z \leq w$, então $xz \leq yw$. 

Demonstração: Por hipótese, temos que $x \leq y$ e que ambos são positivos. Assim, pela propriedade (5), segue que $xz \leq yz$. Também por hipótese, temos que $z \leq w$. Novamente pela propriedade (5), obtemos $zy \leq wy$, ou ainda, $yz \leq yw$. Desse modo, temos que $xz \leq yz$ e $yz \leq yw$ e, da propriedade (3), obtemos $xz \leq yw$ como queríamos demonstrar. 

3. Sejam $x,y \in \mathbb{R}$, todos maiores ou iguais a zero. Mostre que, se $x \leq y$ então $x^2 \leq y^2$. 

Demonstração: Temos por hipótese que $x$ e $y$ são ambos positivos e que $x \leq y$. Usando o exemplo 2 com $z=x$ e $w=y$, segue de imediato que $x^2 \leq y^2$.

Em alguns desses exemplos foram usadas as regras de jogos de sinais. Em breve explicaremos e justificaremos essas regras.

Conhecendo bem essas propriedades, você será capaz de resolver qualquer inequação ou qualquer outra coisa que envolva sinais de desigualdades.

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Números Reais #2: Propriedades algébricas

No primeiro post sobre números reais vimos a definição de números reais e seus subconjuntos importantes. Agora está na hora de começarmos a falar sobre as propriedades dos números reais. Essas propriedades são divididas em três grupos, os quais são, propriedades algébricas, propriedades de ordem e completude. As propriedades algébricas são aquelas relacionadas com as operações de soma e produto dos números reais, que são de fundamental importância para fazer cálculos, resolver equações e inequações e também para fazer demonstrações. As propriedades de ordem estão relacionadas com a ordem natural que conhecemos dos números (isto é, dados dois números, identificar qual é o menor e o maior entre eles, se não forem iguais). Esse grupo de propriedades é importante para se resolver inequações, definir e trabalhar com intervalos de números reais, analisar sinal de expressões algébricas e etc.. Por último, temos a completude dos números reais, o que tem a ver com o fato de $\mathbb{R}$ poder ser representado por uma reta (como se fosse uma régua infinita). Aqui nesse post, vamos tratar das propriedades algébricas dos números reais.

Propriedades algébricas dos números reais

No conjunto dos números reais estão definidas duas operações, a adição (ou soma), denotada por $+$, e a multiplicação (ou produto), denotada por $\cdot$. Dado um par de números $x,y \in \mathbb{R}$, a adição associa a esse par de números um único número real $x+y$ e a multiplicação associa a esse par de números um único número real $x \cdot y$ (por simplicidade, algumas vezes omitiremos o símbolo $\cdot$ e escreveremos apenas $xy$).

Dados $x,y,z \in \mathbb{R}$, temos as seguintes propriedades:

Adição

(A1) $(x+y)+z = x+(y+z)$ (propriedade associativa da adição).

(A2) $x+y = y+x$ (propriedade comutativa da adição).

(A3) Existe um elemento $0 \in \mathbb{R}$, chamado de elemento neutro da adição, tal que, para todo $x \in \mathbb{R}$ tem-se

$$x+0 = 0+x = x.$$

(A4) Para cada $x \in \mathbb{R}$, existe um elemento $-x \in \mathbb{R}$, chamado elemento oposto de $x$, tal que, 

$$x+(-x) = -x+x = 0.$$

Multiplicação

(M1) $(xy)z = x(yz)$ (propriedade associativa da multiplicação).

(M2) $xy=yx$ (propriedade comutativa da multiplicação).

(M3) Existe um elemento $1 \in \mathbb{R}$, chamado de elemento neutro da multiplicação, tal que, para todo $x \in \mathbb{R}$ tem-se

$$x \cdot 1 = 1 \cdot x = x.$$

(M4) Para cada $x \in \mathbb{R}$ diferente de zero, existe um elemento $\displaystyle\frac{1}{x} \in \mathbb{R}$, chamado elemento inverso de $x$, tal que 

$$\displaystyle\frac{1}{x} \cdot x = x \cdot \displaystyle\frac{1}{x} = 1.$$

Adição e multiplicação

(D) $x(y+z) = xy+xz$ e $(x+y)z = xz+yz$ (propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição).

Observação importante: Devido às definições de igualdade (intuitiva) e de operações (que podemos ver futuramente), dados $x,y,z \in \mathbb{R}$, se $x=y$, então $x+z = y+z$ e $xz=yz$. Isso significa que, dada uma igualdade, pode-se somar o mesmo valor e multiplicar pelo mesmo valor dos dois lados da igualdade sem alterar a igualdade. A recíproca também é verdadeira, se $x+z=y+z$, podemos somar $-z$ em ambos os lados da igualdade e, assim, vamos obter

$$x+z=y+z \Rightarrow (x+z)+(-z) = (y+z)+(-z) \Rightarrow x+(z+(-z)) = y+(z+(-z)) \Rightarrow x+0=y+0 \Rightarrow x=y.$$

Também, se $xz=yz$ com $z \neq 0$, podemos multiplicar essa igualdade por $\displaystyle\frac{1}{z}$ e, assim

$$xz=yz \Rightarrow (xz)\displaystyle\frac{1}{z} = (yz)\displaystyle\frac{1}{z} \Rightarrow x(z\displaystyle\frac{1}{z}) = y(z\displaystyle\frac{1}{z}) \Rightarrow x \cdot 1=y \cdot 1 \Rightarrow x=y.$$

Subtração e divisão

Logo acima eu mencionei que em $\mathbb{R}$ há duas operações, a adição e a multiplicação. Bom, depois disso você deve ter se perguntado: e a subtração e a divisão? Na verdade, a subtração é uma soma e a divisão é uma multiplicação, por esse motivo consideramos $\mathbb{R}$ com somente as operações de adição e multiplicação. Para essa questão ficar mais clara, vamos definir a subtração e a divisão.

Definimos a subtração (ou diferença) dos números reais $x$ e $y$ como sendo a adição de $x$ com o oposto de $y$. Denotando a subtração de $x$ e $y$ por $x-y$ temos, então, que

$$x-y = x+(-y).$$

Definimos a divisão dos números reais $x$ e $y$, com $y \neq 0$, como sendo a multiplicação de $x$ com o inverso de $y$. Denotando a divisão de $x$ e $y$ por  $x \div y$ temos, então, que

$$x \div y = x \cdot \displaystyle\frac{1}{y} = \displaystyle\frac{x}{y}.$$

Por exemplo:

$$9-5 = 9+(-5) = 4 \mbox{ e } 12-15 = 12+(-15) = -3;$$

$$4 \div 5 = 4 \cdot \displaystyle\frac{1}{5} = \displaystyle\frac{4}{5} \mbox{ e } 8 \div (-4) = 8 \cdot \displaystyle\frac{1}{-4} = \displaystyle\frac{8}{-4} = -2.$$

Vamos ver agora exemplos para cada propriedade algébrica dos números reais.

Exemplos

(A1) $(1+3)+5 = 4+5=9$ e $1+(3+5) = 1+8 = 9$.

(A2) $3+7 = 10$ e $7+3 = 10$.

(A3) $-5+0 = -5$ e $0+(-5) = -5$.

(A4) O oposto de $11$ é $-11$ pois $11+(-11) = 0$ e $-11+11 = 0$.

(M1) $(2 \cdot 3) \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30$ e $2 \cdot (3 \cdot 5) = 2 \cdot 15 = 30$.

(M2) $10 \cdot 11 = 110$ e $11 \cdot 10 = 110$.

(M3) $1 \cdot 2 = 2$ e $2 \cdot 1 = 2$.

(M4) O inverso de $6$ é $\displaystyle\frac{1}{6}$, visto que $6 \cdot \displaystyle\frac{1}{6} = 1$ e $\displaystyle\frac{1}{6} \cdot 6 = 1$.

(D) $3(x+7) = 3x+3\cdot 7 = 3x+21$ e $(2+y)5 = 2 \cdot 5 + y5 = 5y+10$.

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