O post anterior foi o primeiro post sobre potenciação e radiciação. Nele aprendemos o caso mais simples de potenciação de um número real, aprendemos o que é potenciação com um expoente natural. Nesse segundo post, vamos dar um passo adiante no estudo da potenciação, vamos definir o que é uma potência com expoente inteiro. Sendo $\mathbb{Z} = \{\dots,-2,-1,0,1,2, \dots\}$, uma parte do problema de se compreender o que é uma potência com número inteiro está resolvido, isto é, quando o número inteiro é positivo, ele é um número natural e, nesse caso, já sabemos como calcular uma potência com tal expoente, esse é o caso que vimos no post anterior. Assim, nesse post, vamos concentrar a nossa atenção nas potências com expoentes inteiros negativos. Vamos lá!
Potências com expoentes negativos
Definição: Dado um número real $a$, diferente de zero, e um número inteiro positivo $n$, definimos a potência de base $a$ e expoente $-n$, denotada por $a^{-n}$, (observe que, se $n$ é positivo, $-n$ será negativo) como sendo
$$a^{-n} = \displaystyle\frac{1}{a^n}.$$
Pela definição acima, vemos que $a^{-n}$, com $a \neq 0$, é o inverso de $a^n$. Também podemos dizer que $a$ está elevado a $-n$. Vamos ver alguns exemplos.
Exemplos:
1. $2^{-1} = \displaystyle\frac{1}{2^1} = \displaystyle\frac{1}{2}$;
2. $4^{-3} = \displaystyle\frac{1}{4^3} = \displaystyle\frac{1}{4 \cdot 4 \cdot 4} = \displaystyle\frac{1}{64}$;
3. $(-3)^{-4} = \displaystyle\frac{1}{(-3)^4} = \displaystyle\frac{1}{(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3)} = \displaystyle\frac{1}{81}$;
4. $-7^{-2} = - \displaystyle\frac{1}{7^2} = -\displaystyle\frac{1}{49}$;
5. $\left(\displaystyle\frac{4}{5}\right)^{-2} = \displaystyle\frac{1}{(\frac{4}{5})^2} = \displaystyle\frac{1}{\frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5}} = \displaystyle\frac{1}{\frac{16}{25}} = \displaystyle\frac{25}{16}$;
6. $\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{-5} = \displaystyle\frac{1}{(-\frac{1}{2})^5} = \displaystyle\frac{1}{-\frac{1}{32}} = -\displaystyle\frac{32}{1} = -32$;
7. $-\left(\displaystyle\frac{5}{3}\right)^{-3} = -\displaystyle\frac{1}{(\frac{5}{3})^3} = -\displaystyle\frac{1}{\frac{5^3}{3^3}} = -\displaystyle\frac{1}{\frac{125}{27}} = -\displaystyle\frac{27}{125}$;
8. $(2,3)^{-6} = \displaystyle\frac{1}{(2,3)^6} = \displaystyle\frac{1}{148,035889} = 0,006755118$;
9. $(-1,24)^{-3} = \displaystyle\frac{1}{(-1,24)^3} = \displaystyle\frac{1}{-1,906624} = -0,524487261$.
Note que, onde foi necessário, usei nos cálculos acima o fato de que uma potenciação de um número negativo com expoente par possui resultado positivo e uma potenciação de um número negativo com expoente ímpar possui resultado negativo.
Observações importantes:
(i) No exemplo 4 somente o número $7$ está elevado a $-2$, o sinal de menos não. Assim o menos "fica para fora" em todo o cálculo, implicando um resultado negativo. No exemplo 7 acontece algo análogo, somente o número $\displaystyle\frac{5}{3}$ está elevado a $-3$.
(ii) Há algo importante a ser observado nos exemplos 4, 5 e 7. Eles podem ser calculados de uma forma mais simples. Considere um número racional qualquer $\displaystyle\frac{a}{b}$, diferente de $0$, e um número inteiro positivo qualquer $n$. Temos, usando a definição de potência com expoente inteiro negativo, que
$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{1}{(\frac{a}{b})^n} = \frac{1}{\frac{a^n}{b^n}} = \frac{b^n}{a^n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n.$$
Assim, quando uma fração está elevada a um expoente negativo, para fazer essa potenciação, basta inverter a fração, mudar o sinal do expoente e, em seguida, fazer o cálculo. Vamos ver mais três exemplos.
10. $\left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^{-5} = \left(\displaystyle\frac{4}{3}\right)^5 = \displaystyle\frac{4^5}{3^5} = \displaystyle\frac{1024}{243}$;
11. $\left(-\displaystyle\frac{7}{2}\right)^{-2} = \left(-\displaystyle\frac{2}{7}\right)^2 = \displaystyle\frac{2^2}{7^2} = \displaystyle\frac{4}{49}$;
12. $\left(-\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{-3} = \left(-\displaystyle\frac{6}{5}\right)^3 = -\displaystyle\frac{6^3}{5^3} = -\displaystyle\frac{216}{125}$;
(iii) No post anterior está explicado o motivo de uma potenciação de um número negativo com expoente par possuir resultado positivo e uma potenciação de um número negativo com expoente ímpar possuir resultado negativo. Porém, no contexto do post anterior, estávamos tratando somente de expoentes positivos. Agora, essa propriedade pode ser estendida para expoentes pares e ímpares negativos também? A resposta é: sim! Temos números pares e ímpares negativos também, basta colocar um sinal de menos na frente de um par positivo que você terá um par negativo e, fazendo a mesma coisa com um ímpar, você terá um ímpar negativo. Assim, dado um número real $a$ positivo e um $n$ inteiro positivo, temos
Se $n$ é par, então $(-a)^{-n} = a^{-n}$ e, se $n$ é ímpar, então $(-a)^{-n} = -a^{-n}$
Vamos fazer mais alguns exemplos.
13. $(-5)^{-2} = 5^{-2} = \displaystyle\frac{1}{5^2} = \displaystyle\frac{1}{25}$;
14. $\left(-\displaystyle\frac{5}{2}\right)^{-3} = \left(-\displaystyle\frac{2}{5}\right)^3 = -\left(\displaystyle\frac{2}{5}\right)^3 = -\displaystyle\frac{2^3}{5^3} = -\displaystyle\frac{8}{125}$;
15. $-(-3)^{-5} = -(-3^{-5}) = -\left(-\displaystyle\frac{1}{3^5}\right) = \displaystyle\frac{1}{243}$;
16. $-\left(-\displaystyle\frac{6}{11}\right)^{-4} = -\left(\displaystyle\frac{6}{11}\right)^{-4} = -\left(\displaystyle\frac{11}{6}\right)^4 = -\displaystyle\frac{11^4}{6^4} = -\displaystyle\frac{14641}{1296}$.
No post anterior, onde estudamos as potências com expoentes naturais, apresentei as propriedades de tais potências. Essas mesmas propriedades valem para as potências com expoentes inteiros também. Para lembrá-las, vou listá-las aqui novamente e, logo após, veremos alguns exemplos.
Propriedades: Sejam $m,n \in \mathbb{Z}$ e $a,b \in \mathbb{R}$. Temos
(i) $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$;
(ii) $\displaystyle\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$;
(iii) $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$;
(iv) $\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^n = \displaystyle\frac{a^n}{b^n}$ se $b \neq 0$;
(v) $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
Essas propriedades também possuem demonstrações. Porém, para fazer a demonstração dessas propriedades é necessário um objeto matemático chamado princípio de indução finita, o que está além do meu objetivo aqui. Por isso, vou omitir as demonstrações dessas propriedades.
Exemplos:
1. $2^{(-3)} \cdot 2^5 = 2^{-3+5} = 2^2$; $4^3 \cdot 4^{-1} = 4^{3+(-1)} = 4^2$; $3^{-2} \cdot 3^{-3} = 3^{-2+(-3)} = 2^{-5}$;
2. $\displaystyle\frac{6^{(-5)}}{6^2} = 6^{-5-2} = 6^{-7}$; $\displaystyle\frac{2^3}{6^{-2}} = 2^{3-(-2)} = 2^{3+2} = 2^{5}$; $\displaystyle\frac{10^{-6}}{10^{-3}} = 10^{-6-(-3)} = 10^{-6+3} = 10^{-3}$;
3. $(-4 \cdot 8)^{-4} = (-4)^{-4} \cdot 8^{-4}$;
4. $\left(\displaystyle\frac{6}{7}\right)^{-2} = \displaystyle\frac{6^{-2}}{7^{-2}}$;
5. $(10^{-3})^9 = 10^{-3 \cdot 9} = 10^{-27}$; $(5^2)^{-8} = 5^{2 \cdot (-8)} = 5^{-16}$; $(15^{-1})^{-2} = 15^{-1 \cdot (-2)} = 15^{2}$;
Gostou do conteúdo dessa postagem? Foi útil para você? Tem alguma dúvida? Deixe um comentário.
0 Comentários:
Postar um comentário