Potênciação e Radiciação #8: Potências com expoentes reais

Essa já é a oitava postagem sobre potenciação e radiciação do blog (veja todas as postagens aqui). Vimos quase tudo daquilo que é básico sobre esse assunto, quase tudo o que você precisa saber para resolver problemas de matemática envolvendo potenciação e radiciação, ou seja, vimos potências com expoentes naturais, inteiros, racionais e irracionais e também vimos a radiciação. Bom, eu disse quase tudo e, por que quase tudo? Para completar esse assunto e vermos tudo o que precisamos saber sobre potenciação e radiciação, falta abordarmos o caso onde o expoente de uma potência é um número real. Não se preocupe, isso fica fácil depois de tudo o que já foi visto.

Potências com expoente real

Seja $a,n \in \mathbb{R}$ com $a \geq 0$. Como fazemos para calcular $a^n$? Bom, depende de qual número é o $n$. Vejamos,

(1) Se $n$ é um número natural, usamos a definição de potência com expoente natural (veja a definição aqui)

(2) Se $n$ for um número inteiro negativo, usamos a definição de potência com expoente negativo (veja a definição aqui)

(3) Se $n$ for um número racional, ou seja, uma fração, usamos a definição de potência com expoente racional (veja a definição aqui).

(4) Se $n$ for um número irracional, temos uma forma aproximada de calcular essa potência, mas é melhor não calculá-la e sim deixá-la como potência mesmo (veja mais detalhes sobre isso aqui).

Dado um número real $n$, esse número será natural, inteiro, racional ou irracional, desse modo, nos quatro itens acima, abordamos todas possibilidades de potências com expoentes reais. Logo, se você precisa calcular um potência com expoente real, basta ver em qual caso ela se encaixa.

As propriedades que vimos para cada tipo de potência acima podem ser generalizadas para potências com expoentes reais, ou seja, dados $a,b,r,s \in \mathbb{R}$ com $a,b > 0$, valem as seguintes propriedades

(i) $a^r \cdot a^s = a^{r+s}$;

(ii) $\displaystyle\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$;

(iii) $(a \cdot b)^n = a^r \cdot b^s$;

(iv) $\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^r = \displaystyle\frac{a^r}{b^r}$ se $b \neq 0$;

(v) $(a^r)^s = a^{r \cdot s}$

Observação: Temos que $0^n = 0$ para qualquer $n \in \mathbb{R}$ positivo. Caso contrário, essa potências não está definida.

Vejamos alguns exemplos do uso dessas propriedades com potências com expoentes reais.

1. $2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{3} = 2^{\frac{1}{2}+3} = 2^{\frac{7}{2}}$; $\left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{4}{3}} \cdot \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{-\pi} = \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{4}{3}+(-\pi)} = \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{4}{3}-\pi}$;

2. $\displaystyle\frac{5^{\frac{1}{5}}}{5^{\sqrt{2}}} = 5^{\frac{1}{5}-\sqrt{2}}$;

3. $(3 \cdot 7)^{\frac{\sqrt{5}}{2}} = 3^{\frac{\sqrt{5}}{2}} \cdot 7^{\frac{\sqrt{5}}{2}}$;

4. $\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^{-\frac{1}{\pi}} = \displaystyle\frac{3^{-\frac{1}{\pi}}}{5^{-\frac{1}{\pi}}}$;

5. $\left(10^{\frac{2}{3}}\right)^{\sqrt{7}} = 10^{\frac{2}{3} \cdot \sqrt{7}} = 10^{\frac{2\sqrt{7}}{3}}$.

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