Eu acho esse estudo de raízes de polinômios simplesmente sensacional. Os polinômios são funções muito úteis na matemática, possuem inúmeras aplicações em engenharia, física, economia, química e por aí vai. Dentro dessas áreas citadas, as raízes de um polinômio trazem informações importantes sobre os problemas aos quais eles estão relacionados e isso justifica todo o estudo sobre as raízes de um polinômio. Nas postagens anteriores vimos como se calculas as raízes de polinômios de graus $1$, $2$, $3$ e $4$. As fórmulas para se determinar as raízes desses polinômio vão ficando bem mais complicadas quando o grau do polinômio aumenta. Agora, conhecendo as fórmulas para determinar as raízes de polinômios de grau de $1$ até $4$, fazemos a seguinte pergunta: Existe uma fórmula para calcular as raízes de polinômios de grau maior que $5$? A seguir responderemos essa pergunta. Vamos lá!
Existe uma fórmula para calcular as raízes de polinômios de grau maior ou igual a 5?
Um polinômio de grau maior ou igual a $5$ tem a forma
$$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$$
onde $a_n, \dots, a_0$ são os coeficientes, $a_n \neq 0$ e $n \geq 5$. Uma raiz desse polinômio é um número $x$ tal que $p(x) = 0$, ou ainda,
$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 = 0.$$
Encontrar as raízes do polinômio $p(x)$ é o mesmo que resolver a equação acima. Quando $n = 5$, a equação acima recebe o nome de equação quíntica ou equação do quinto grau. Se $n=6$, essa equação recebe o nome de equação do sexto grau, se $n=7$ ela recebe o nome de equação do sétimo grau e assim por diante. Vejamos alguns exemplos.
Exemplos:
1. O polinômio $f(x) = 3x^5+4x^3-x^2+x-1$ é um polinômio de grau $5$. Para determinar as raízes desse polinômio, temos que resolver a seguinte equação do quinto grau
$$3x^5+4x^3-x^2+x-1 = 0.$$
2. O polinômio $g(x) = x^6-x^4+2x+1$ é um polinômio de grau $6$. Para determinar as raízes desse polinômio é preciso encontrar as soluções da equação de sexto grau
$$x^6-x^4+2x+1 = 0.$$
Para responder a pergunta da introdução dessa postagem, vamos ver um pouco de história.
Por volta de 1550 A.C. os babilônios já conheciam uma fórmula geral para calcular as raízes de um polinômio de grau $2$. Cardano e Tartaglia, entre 1500 e 1600 D.C. encontraram uma fórmula para calcular as raízes de um polinômio de grau $3$ (mais ou menos 3 mil anos depois!). Ferrari, por volta de 1545 encontrou uma fórmula para determinar as raízes de um polinômio de grua $4$. Essa busca continuou para os polinômios de grau $5$ a qual durou, mais ou menos, uns 250 anos. Em 1798, o matemático italiano Paolo Ruffini (o mesmo do Briott-Ruffini) provou que não é possível (isto mesmo, é impossível), resolver uma equação do quinto grau algebricamente, isto é, não é possível encontrar uma fórmula geral que envolva soma, subtração, multiplicação, divisão, potências e raízes de índice $n$ que forneça, ao menos, uma solução de qualquer equação do quinto grau. Me desculpe te decepcionar se você veio até aqui procurando por uma fórmula, ela não existe e nunca vai existir (não é a toa que o nome do blog é A Matemática Como Ela É, aqui você vê a realidade.... hehe...). Anos mais tarde, em 1824, um outro matemático chamado Niels Henrik Abel também provou que é impossível resolver algebricamente uma equação do quinto grau.
Não estou dizendo aqui que é impossível encontrar as raízes de um polinômio de grau $5$, o que é impossível é determinar uma fórmula que possa ser aplicada para calcular as raízes de qualquer polinômio de grau $5$, assim como a Fórmula de Bhaskara é para os polinômios de grau $2$.
Vamos ver aqui alguns exemplos de polinômio de grau $5$ onde suas raízes podem ser calculadas usando o que vimos nas postagens anteriores e propriedades das operações com números reais.
Exemplos:
3. Calcule as raízes do polinômio $f(x) = x^5-1$.
Solução: Para encontrar as raízes desse polinômio, devemos resolver esta equação
$$x^5-1 = 0.$$
Assim,
\begin{eqnarray}x^5-1=0 & \Rightarrow & x^5=1 \\ & \Rightarrow & \sqrt[5]{x^5} = \sqrt[5]{1} \\ & \Rightarrow & x = 1. \end{eqnarray}
Portanto esse polinômio possui somente uma raiz $x=1$.
4. Calcule as raízes do polinômio $g(x) = x^5-2x^3$.
Solução: Vamos resolver a equação
$$x^5-2x^3=0.$$
Observe que, nessa equação, podemos colocar $x^3$ em evidência. Assim, vamos obter
$$x^3(x^2-2)=0.$$
Da equação acima devemos ter que $x^3=0$ ou $x^2-2=0$. Da primeira equação segue que $x=0$ e da segunda equação
\begin{eqnarray}x^2-2=0 & \Rightarrow & x^2=2 \\ & \Rightarrow & \sqrt{x^2} = \sqrt{2} \\ & \Rightarrow & x = \pm \sqrt{2}. \end{eqnarray}
Logo, as raízes do polinômio $g(x)$ são $0$, $-\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$.
5. Encontre as raízes do polinômio $h(x) = x^5-3x^3+2x$.
Solução: Temos que resolver a equação
$$x^5-3x^3+2x=0.$$
Nessa equação podemos colocar $x$ em evidência e, assim, vamos ter
$$x(x^4-3x^2+2)=0.$$
Pela equação acima temos $x=0$ ou $x^4-3x^2+2=0$. Nesse passo já obtivemos uma das soluções, que é $x=0$. Agora falta determinar os valores de $x$ tais que $x^4-3x^2+2=0$. Essa equação é uma equação biquadrada, usando o método apresentado na postagem anterior, temos que as soluções dessa equação são $\pm 1$ e $\pm\sqrt{2}$. Logo, as raízes do polinômio $h(x)$ são $0$, $-1$, $1$, $\sqrt{2}$ e $-\sqrt{2}$.
Nesse exemplos percebemos que, usando o que sabemos das propriedades operacionais de números reais e também o que sabemos sobre encontrar raízes de polinômios de grau menor que $5$, podemos determinar as raízes de alguns casos particulares de polinômios de grau $5$.
E os polinômios de grau maiores que $5$, eles possuem fórmulas para calcular suas raízes? A resposta é: Não! Um matemático francês chamado Évariste Galois que viveu de 1811 a 1832 provou que é impossível encontrar uma fórmula que envolva somas, subtrações, multiplicações, divisões, potências e raízes que forneça raízes de polinômios de grau maior ou igual a $5$. Novamente, isso não significa que esses polinômios não possuem raízes ou que é impossível encontrá-las, o que ele provou é que não existe uma fórmula que determine as raízes qualquer polinômio de grau maior ou igual a $5$.
Como vimos nos exemplos acima de polinômios de grau $5$, as raízes de alguns casos particulares de polinômios de grau maior que $5$ podem ser encontradas usando propriedades operacionais de números reais, fatoração e o que já sabemos de polinômios de grau menor.
Portanto, como não há fórmulas que determinem as raízes de polinômios de grau maior ou igual a $5$ e as fórmulas para os de grau $3$ e $4$ são complicadas, precisamos de outros métodos para encontrar raízes de polinômios. Por isso, nas próximas postagens veremos outros métodos para determinar raízes de polinômios.
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