Na última postagem aprendemos a simplificar expressões algébricas com somas e produtos de potências e raízes de incógnitas. Nessa postagem vamos, antes de simplificar expressões mais complicadas, apreder como somar, subtrair, multiplicar e dividir quocientes com expressões algébricas. Isso costuma assustar um pouco e causa uma certa confusão em quem precisa efetuar somas, subtrações, produtos e divisões com quocientes desse tipo. O objetivo dessa postagem é mostrar que fazer contas com quocientes não é difícil, basta entender bem como as contas com esses quocientes são feitas, lembrando de como fazemos com os números. Vamos lá!
Soma, subtração, produto e divisão de quocientes com expressões algébricas
Antes de somarmos, subtrairmos, mutiplicarmos e dividirmos quocientes com expressões algébricas, vamos lembrar de como fazemos essas operações em quocientes com números.
Somando, subtraindo, multiplicando e dividindo quocientes
Considere os números reais $a$, $b$, $c$ e $d$ com $b,d \neq 0$. A soma e a subtração dos quocientes $\displaystyle\frac{a}{b}$ e $\displaystyle\frac{c}{d}$ é dada por:
\begin{equation} \frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd} \end{equation}
Vejamos alguns exemplos
Exemplos:
1. $\displaystyle\frac{3}{4}+\displaystyle\frac{4}{7} = \displaystyle\frac{3 \cdot 7 + 4 \cdot 4}{4 \cdot 7} = \displaystyle\frac{21+16}{28} = \displaystyle\frac{37}{28}$
2. $\displaystyle\frac{1,5}{2}-\displaystyle\frac{3}{\sqrt{5}} = \displaystyle\frac{1,5 \cdot \sqrt{5} - 2 \cdot 3}{2 \cdot \sqrt{5}} = \displaystyle\frac{1,5\sqrt{5}+6}{2\sqrt{5}}.$
A multiplicação dos quocientes $\displaystyle\frac{a}{b}$ e $\displaystyle\frac{c}{d}$ é dada por:
\begin{equation} \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\end{equation}
Aqui basta multiplicar o de cima com o de cima e o debaixo com o de baixo. Vejamos alguns exemplos.
Exemplos:
3. $\displaystyle\frac{5}{7} \cdot \displaystyle\frac{3}{2} = \displaystyle\frac{5 \cdot 3}{7 \cdot 2} = \displaystyle\frac{15}{14}$
4. $\displaystyle\frac{\sqrt[3]{7}}{3} \cdot \displaystyle\frac{4}{2,1} = \displaystyle\frac{\sqrt[3]{7} \cdot 4}{3 \cdot 2,1} = \displaystyle\frac{4\sqrt[3]{7}}{6,2}$
A divisão dos quocientes $\displaystyle\frac{a}{b}$ e $\displaystyle\frac{c}{d}$ com $a$ e $b$ também diferentes de zero, é dada por:
\begin{equation} \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} \end{equation}
Aqui copiamos o quociente que está em cima e multiplicamos pelo inverso de quem está em baixo. Vejamos alguns exemplos.
Exemplos:
5. $\displaystyle\frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{5}} = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{5}{7} = \displaystyle\frac{5}{14}$
6. $\displaystyle\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{6,3}{2}} = \displaystyle\frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \displaystyle\frac{2}{6,3} = \displaystyle\frac{2\sqrt{5}}{18,9}$
Somando, subtraindo, multiplicando e dividindo quocientes com uma ou mais incógnitas
Agora que lembramos como fazer essas operações com quocientes de números, vamos passar a tratar dessas operações com quocientes de expressões algébricas. Precisamos sempre nos lembrar de uma coisa que escrevi bastante nas últimas postagens "as letras (incógnitas) representam números e, portanto, podem ser tratadas como números". O que eu quero dizer com isso é que as regras acima, que usamos para números, também usamos para incógnitas, sem nenhum problema. Podemos reescrevê-las, considerando no lugar dos números $a$, $b$, $c$ e $d$, expressões algébricas.
Sejam $u$, $v$, $w$ e $t$ expressões algébricas. Definimos,
\begin{equation} \frac{u}{v} \pm \frac{w}{t} = \frac{ut \pm vw}{vt}; \end{equation}
\begin{equation} \frac{u}{v} \cdot \frac{w}{t} = \frac{uw}{vt};\end{equation}
\begin{equation} \frac{\frac{u}{v}}{\frac{w}{t}} = \frac{u}{v} \cdot \frac{t}{w} = \frac{ut}{vw} \end{equation}
Viu só? Somamos, subtraimos, multiplicamos e dividimos quocientes com expressões algébricas da mesma forma que fazemos com quocientes de números.
A seguir veremos alguns exemplos de como soma, multiplicar de dividir quocientes com uma ou mais incógnitas. Em cada exemplo vou destacar alguns detalhes importantes.
Exemplos:
7. Efetue a soma $\displaystyle\frac{1}{3} + \displaystyle\frac{2}{x}$.
Solução: Essa é uma soma simples de se fazer. No caso desse exemplos temos $u=1$, $v=3$, $w=2$ e $t-x$. Assim,
\begin{eqnarray} \frac{1}{3} + \frac{2}{x} &=& \frac{1x+3 \cdot 2}{3x} \\ &=& \frac{x+6}{3x} \end{eqnarray}
8. Efetue a subtração $\displaystyle\frac{3x}{4}-\displaystyle\frac{1}{x}$.
Solução: Esse exemplo é feito de forma análoga ao exemplo anterior, mas agora com a subtração no lugar da soma. Nesse exemplo temos $u = 3x$, $v = 4$, $w = 1$ e $t = x$. Assim,
\begin{eqnarray} \frac{3x}{4} - \frac{1}{x} &=& \frac{3x x - 1 \cdot 4}{4x} \\ &=& \frac{3x^2-4}{4x} \end{eqnarray}
9. Efetue a soma $\displaystyle\frac{x-1}{4}+\displaystyle\frac{3}{x^2}$.
Solução: Nesse exemplo vamos usar a mesma regra do exemplo 7 com $u = x+1$, $v = 4$, $w=3$ e $t=x^2$. Temos
\begin{eqnarray} \frac{x-1}{4} + \frac{3}{x^2} &=& \frac{(x-1)x^2+3 \cdot 4}{4x^2} \\ &=& \frac{(x+1)x^2+8}{4x^2} \\ &=& \frac{xx^2+1x+8}{4x^2} \\ &=& \frac{x^3+x+8}{4x^2} \end{eqnarray}
10. Efetue a subtração $\displaystyle\frac{4-3x}{x^2+2}-\displaystyle\frac{5x}{x+1}$.
Solução: Nesse exemplo, vamos usar a mesma regra do exemplo 8 com $u=4-3x$, $v = x^2+2$, $w=5x$ e $t = x+1$. Temos
\begin{eqnarray} \frac{4-3x}{x^2+2} - \frac{5x}{x+1} &=& \frac{(4-3x)(x+1) - 5x(x^2+2)}{(x^2+2)(x+1)} \\ &=& \frac{4x+4\cdot 1 - 3xx-3x1-(5xx^2+5x2)}{x^2x+x^21+2x+2 \cdot 1} \\ &=& \frac{4x+4-3x^2-3x-5x^3-10x}{x^3+x^2+2x+2} \\ &=& \frac{-5x^3-3x^2-9x+4}{x^3+x^2+2x+2} \end{eqnarray}
11. Efetue a soma $\displaystyle\frac{\sqrt{x}y}{y^2+x}+\displaystyle\frac{2x}{y+1}$.
Solução: Nesse exemplo temos duas incógnitas, mas não há nenhum problema nisso, basta procedermos como nos exemplos anteriores. Temos
\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{x}y}{y^2+x}+\displaystyle\frac{2x}{y+1} &=& \frac{\sqrt{x}y(y+1)+2x(y^2+x)}{(y^2+x)(y+1)} \\ &=& \frac{\sqrt{x}yy+\sqrt{x}1+2xy^2+2xx}{y^2y+y^21+xy+x1} \\ &=& \frac{\sqrt{x}y^2+\sqrt{x}+2xy^2+2x^2}{y^3+y^2+xy+x} \end{eqnarray}
Uma pergunta que pode surgir agora é: "Se tivermos que fazer a soma com mais de dois quecientes desses, o que devemos fazer?" Bom, uma maneira mais cautelosa de fazer isso é somanado-os dois a dois. Uma outra forma de fazer é da seguinte forma: sejam $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ e $f$ números ou expressões algébricas, temos
\begin{equation} \frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} \pm \frac{e}{f} = \frac{adf \pm cbf \pm ebd}{bdf} \end{equation}
Vamos continuar com exemplos sobre multiplicação
12. Efetue o produto $\displaystyle\frac{3}{x} \cdot \frac{x+1}{4}$.
Solução: Vimos acima que o produto de dois quocientes de números ou expressões algébricas é feito multiplicando o de cima com o de cima e o de baixo com o debaixo. Desse forma, temos:
\begin{eqnarray} \displaystyle\frac{3}{x} \cdot \frac{x+1}{4} &=& \frac{3(x+1)}{x4} \\ &=& \frac{3x+3}{4x} \end{eqnarray}
13. Calcule o produto $\displaystyle\frac{x^2-5}{10x} \cdot \displaystyle\frac{x^3}{\sqrt{3}x-2}$.
Solução: Como vimos no exemplos anterior, não há segredos na multiplicação de quocientes, basta multiplicar o de cima com o de cima e o de baixo com o de baixo. Assim,
\begin{eqnarray} \frac{x^2-5}{10x} \cdot \frac{x^3}{\sqrt{3}x-2} &=& \frac{(x^2-5)x^3}{10x(\sqrt{3}x-2)} \\ &=& \frac{x^2x^3-5x^3}{10x\sqrt{3}x-10x2} \\ &=& \frac{x^5-5x^3}{10\sqrt{3}x^2-20x} \end{eqnarray}
14. Calcule o produto $\displaystyle\frac{2x^2 + \sqrt{y}}{y+1} \cdot \displaystyle\frac{4y}{x+y}$.
Solução: Nesse exemplos temos duas incógnitas, mas o produto é feito da mesma forma. Temos
\begin{eqnarray} \frac{2x^2 + \sqrt{y}}{y+1} \cdot \frac{4y}{x+y} &=& \frac{(2x^2 + \sqrt{y})4y}{(y+1)(x+y)} \\ &=& \frac{2x^2y+\sqrt{y}4y}{yx+yy+1x+1y} \\ &=& \frac{2x^2y+4y^{\frac{1}{2}}}{xy+y^2+x+y} \\ &=& \frac{2x^2+4y^{\frac{3}{2}}}{xy+y^2+x+y}\end{eqnarray}
Vamos agora fazer alguns exemplos com a divisão.
15. Efetue a divisão $\displaystyle\frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{x+5}{3}}$.
Solução: Aqui a regra é, como visto acima, copia o quociente que está em cima e multiplica pelo quociente que está em baixo. Desse modo, temos:
\begin{eqnarray} \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{x+5}{3}} &=& \frac{1}{x^2} \cdot \frac{3}{x+5} \\ &=& \frac{3}{x^2(x+5)} \\ &=& \frac{3}{x^2x+x^25} \\ &=& \frac{3}{x^3+5x^2} \end{eqnarray}
16. Efetue a divisão $\displaystyle\frac{\frac{x^3+x-1}{x}}{\frac{x+1}{x^2}}$.
Solução: Usando a mesma regra usada no exemplo acima, temos
\begin{eqnarray} \frac{\frac{x^3+x-1}{x}}{\frac{x+1}{x^2}} &=& \frac{x^3+x-1}{x} \cdot \frac{x^2}{x+1} \\ &=& \frac{(x^3+x-1)x^2}{x(x+1)} \\ &=& \frac{x^3x^2+xx^2-1x^2}{xx+x} \\ &=& \frac{x^5+x^3-x^2}{x^2+x}\end{eqnarray}
17. Calcule a divisão $\displaystyle\frac{\frac{xy+\sqrt{x}}{x^2}}{\frac{\sqrt{y}+3x^2}{xy}}$.
Solução: Nesse exemplo temos duas incógnitas, mas o modo de calcular a divisão é o mesmo, como fizemos no exemplo anterior. Temos,
\begin{eqnarray} \frac{\frac{xy+\sqrt{x}}{x^2}}{\frac{\sqrt{y}+3x^2}{xy}} &=& \frac{xy+\sqrt{x}}{x^2} \cdot \frac{xy}{\sqrt{y}+3x^2} \\ &=& \frac{(xy+\sqrt{x})xy}{x^2(\sqrt{y}+3x^2)} \\ &=& \frac{xyxy+\sqrt{x}xy}{x^2\sqrt{y}+x^23x^2} \\ &=& \frac{x^2y^2+xy\sqrt{x}}{x^2\sqrt{y}+3x^4} \end{eqnarray}
Exemplo em vídeo:
Errata: Nesse vídeo eu acabei falando que 2 vezes 4 é igual a 4, mas, na verdade, a conta que fiz foi 2 vezes 2 igual a 4. Falei errado, mas a conta está certa... hehe
Com esses exemplos temos boas ideias de como de fazer somas, subtrações, multiplicações e divisões de quocientes com expressões algébricas. Não há segredos, basta fazer as operações usando as suas definições, tomar cuidado com o jogo de sinais e usar a propriedades de potenciação e radiciação.
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