Expressões algébricas #7: Simplificando expressões

Nas postagens anteriores (você pode acessá-las aqui) entendemos como somar e subtrair letras, como multiplicar e dividir letras, entendemos o que significam as raízes e as potências de letras, entendemos como simplificar expressões algébricas mais simples, com somente potências e raízes de letras e, por último, vimos como somar, subtrair, multiplicar e dividir quocientes com expressões algébricas. Isso significa que temos todo o conhecimento necessários para simplificar qualquer expressão algébrica, por mais trabalhoso que isso seja. Nessa postagem vamos fazer uso do que aprendemos nas postagens anteriores para simplicar algumas expressões algébricas. Vamos lá!

Simplificando expressões

Não é possível fazermos exemplos de simplifição de exepressões algébricas com todas as possíveis expressões algébricas que podem ser simplificadas, pois são infinitias as possibilidades. Aqui, para sermos mais eficientes e para essa postagem ser mais útil (e não tão cansativa de ser lida), vamos fazer alguns exemplos de simplicação de expresões algébricas apresentando e destacando algumas ideias que podem ser usadas na simplificação da maioria das expressões algébricas. Vamos aos exemplos.

Exemplos:

1. Simplifique a expressão algébrica $x^2(x+1)-2x^3-4x+8(x-3)$.

Solução: Nessa expressão algébrica temos somente somas, subtrações e multiplicações. Assim como numa expressão numérica, devemos fazer a multiplicação primeiro. Usando a propriedade distributiva da multiplicação, somando e subtraindo os termos semelhantes, temos,

\begin{eqnarray} x^2(x+1)-2x^3-4x+8(x-3) &=& x^2x+x^2\cdot 1-2x^3-4x+8x+8 \cdot (-3) \\ &=& x^3+x^2-2x^3-4x+8x - 24 \\ &=& -x^3+x^2+4x-24\end{eqnarray}

2. Simplifique a expressão algébrica $\sqrt[3]{x}\left(1 + \displaystyle\frac{1}{x}\right)$.

Solução: Aqui temos somente um termo multiplicando uma soma. Usando a propriedade distributiva da multiplicação, temos

\begin{eqnarray} \sqrt[3]{x}\left(1 + \displaystyle\frac{1}{x}\right) &=& \sqrt[3]{x} \cdot 1+\sqrt[3]{x} \cdot \frac{1}{x} \\ &=& \sqrt[3]{x} + \frac{\sqrt[3]{x}}{x} \\ &=& \sqrt[3]{x}+x^{\frac{1}{3}}x^{-1} \\ &=& \sqrt[3]{x}+x^{-\frac{2}{3}} \\ &=& \sqrt[3]{x}+\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \\ &=& \sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}  \end{eqnarray}

No exemplo 2, talvez a expressão do enunciado seja mais simples do que a que obtivemos após fazer a multiplicação, mas fiz as contas assim mesmo para nos lembrarmos de que podemos transformar raízes em potências com expoentes racionais (e vice-versa) e que quando uma potência de uma incógnita está em baixo ou em cima no quociente, ela pode "subir" ou "descer", trocando o sinal do expoente.

3. Simplifique a expressão algébrica $x \left(\sqrt{x}-\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)-x(3+x)$.

Solução: Mais uma vez vamos começar efetuando as multiplicações usando a propriedade distributiva da multiplicação. Temos,

\begin{eqnarray} x \left(\sqrt{x}-\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)-x(3+x)  &=& x\sqrt{x}-x \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)-x \cdot 3 - xx \\ &=& xx^{\frac{1}{2}}-\frac{x}{x^2}-3x-x^2 \\ &=& x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{x}-3x-x^2 \\ &=& \sqrt{x^3}-\frac{1}{x}-3x-x^2\end{eqnarray}

4. Simplifique a expressão algébrica $\displaystyle\frac{x^4+x^3+x^2+x}{x+1}$.

Solução: Esse tipo de expressão algébrica, um quociente de dois polinômios, é chamada de expressão racional. Nem todas as expressões desse tipo podem ser simplificadas, mas existe uma forma de sabermos se elas podem ser simplificadas, podemos verificar se os polinômios do quociente possuem raízes em comum. Observe que o polinômio que está em baixo no quociente possui somente uma raiz, que é o $-1$. O número $-1$ também é raiz do polinômio que está em cima no quociente, pois 

$$(-1)^4 +(-1)^3+(-1)^2+(-1) = 1-1+1-1=0$$

Desse modo, é possível escrever o polinômio que está em cima na forma

$$x^4+x^3+x^2+x = (x+1)q(x)$$

para algum polinômio $q(x)$. Sendo assim, vamos poder simplificar o polinômio $x+1$ que aparece em cima com o mesmo polinômio que aparece em baixo. Para escrever o polinômio de cima na forma $(x+1)q(x)$ podemos usar a divisão de polinômios ou simplesmente colocar alguns termos em evidência. Vamos fazer isso usando a segunda estratégia (veja mais detalhes sobre raízes de polinômios e divisão de polinômios),

\begin{eqnarray} \frac{x^4+x^3+x^2+x}{x+1} &=& \frac{x^2(x^2+x)+(x^2+x)}{x+1} \\ &=& \frac{(x^2+1)(x^2+x)}{x+1} \\ &=& \frac{(x^2+1)x(x+1)}{x+1} \\ &=& x(x^2+1) \end{eqnarray}

5. Simplifique a expressão algébrica $\displaystyle\frac{x^2+x-2}{x^4-x^2}$.

Solução: Nesse exemplo também temos uma expressão racional, assim, vamos procedor como no exemplo anterior, vamos verificar se os polinômios do quociente possuem alguma raiz em comum. Aplicando o método da Soma e Produto no polinômio de cima, temos que $1$ e $-2$ são suas raízes. Agora, observe que $1$ também é raiz do polinômio de baixo, pois $1^4-1^2=0$. Portanto esses dois polinômios são divisíveis por $x-1$, ou , em outras palavras, esses dois polinômio são iguais ao produto de um polinômio por $x-1$. Como o polinômio que está em cima possui grau $2$ e é mônico ele pode ser escrito na forma $x^2+x-2 = (x-1)(x+2)$ (veja mais detalhes sobre isso aqui). No polinômio de baixo, podemos colocar $x^2$ em evidência, obtendo $x^4-x^2 = x^2(x-1)$. Assim, podemos simplificar a expressão do enunciado da seguinte forma,

\begin{eqnarray} \frac{x^2+x-2}{x^4-x^2} &=& \frac{(x-1)(x+2)}{x^2(x-1)} \\ &=& \frac{x+2}{x^2}  \end{eqnarray} 

6. Simplifique a expressão algébrica $x\left[\sqrt{x} - 3(x+\sqrt{x})\right]+\displaystyle\frac{2x^{\frac{5}{2}}}{x}$.

Solução: Observe que nessa expressão algébrica temos uma operação dentro de parênteses e esses parênteses estão dentro de colchetes. A ordem de prioridade das operações que usamos nas expressões algébricas é mesma que usamos nas expressões numéricas, sempre simplificamos de dentro para fora respeitando a ordem das operações. Desse modo, temos,

\begin{eqnarray} x\left[\sqrt{x} - 3(x+\sqrt{x})\right]+\displaystyle\frac{2x^{\frac{5}{2}}}{x} &=& x\left[\sqrt{x} -3x-3\sqrt{x})\right]+2x^{\frac{5}{2}}x^{-1} \\ &=& x\left[-2\sqrt{x} -3x\right]+2x^{\frac{3}{2}} \\ &=& -2xx^{\frac{1}{2}} -3xx+2x^{\frac{3}{2}} \\ &=& -2x^{\frac{3}{2}} -3x^{2}+2x^{\frac{3}{2}} \\ &=& -3x^2  \end{eqnarray}

7. Simplifique a expressão algébrica $\displaystyle\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$.

Solução: Aparentemente, parece que não é possível fazer alguma simplificação nessa expressão. Observe que ela não é uma expressão racional, pois não é o quociente de dois polinômios. Mas, podemos usar um produto notável aqui. Note que

$$x-1 = \left(\sqrt{x}\right)^2-1^2 = \left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)$$

Usamos a diferença de quadrados para reescrever a expressão $x-1$. Desse modo, temos

\begin{eqnarray} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} &=& \frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1} \\ &=& \sqrt{x}+1 \end{eqnarray}

8. Simplifique a expressão algébrica $\displaystyle\frac{(x^2-y^2)\sqrt{x+y}}{(x+y)^{\frac{3}{2}}}$.

Solução: Nessa expressão algébrica temos duas incónitas. Isso pode tornar a simplificação um pouco mais complicada, mas para encoontrarmos uma forma de simplificar esse tipo de expressão, devemos prestar atenção no básico, ou seja, vermos se há termos que podem ser colocados em evidência e também se há potências que pode ser simplificadas. Nessa expressão temos potências da soma $x+y$ em cima e em baixo no quociente a também uma diferença de quadrados. Temos

\begin{eqnarray} \frac{(x^2-y^2)\sqrt{x+y}}{(x+y)^{\frac{3}{2}}} &=& \frac{(x^2-y^2)(x+y)^{\frac{1}{2}}}{(x+y)^{\frac{3}{2}}} \\ &=& \frac{x^2-y^2}{x+y} \\ &=& \frac{(x+y)(x-y)}{x+y} \\ &=& x-y \end{eqnarray}

Exemplo em vídeo:

Gostou do conteúdo dessa postagem? Foi útil para você? Tem alguma dúvida? Deixe um comentário.

Leia mais

Expressões algébricas #6: Soma, subtração, produto e divisão de quocientes com expressões algébricas

Na última postagem aprendemos a simplificar expressões algébricas com somas e produtos de potências e raízes de incógnitas. Nessa postagem vamos, antes de simplificar expressões mais complicadas, apreder como somar, subtrair, multiplicar e dividir quocientes com expressões algébricas. Isso costuma assustar um pouco e causa uma certa confusão em quem precisa efetuar somas, subtrações, produtos e divisões com quocientes desse tipo. O objetivo dessa postagem é mostrar que fazer contas com quocientes não é difícil, basta entender bem como as contas com esses quocientes são feitas, lembrando de como fazemos com os números. Vamos lá!

Soma, subtração, produto e divisão de quocientes com expressões algébricas

Antes de somarmos, subtrairmos, mutiplicarmos e dividirmos quocientes com expressões algébricas, vamos lembrar de como fazemos essas operações em quocientes com números.

Somando, subtraindo, multiplicando e dividindo quocientes

Considere os números reais $a$, $b$, $c$ e $d$ com $b,d \neq 0$. A soma e a subtração dos quocientes $\displaystyle\frac{a}{b}$ e $\displaystyle\frac{c}{d}$ é dada por:

\begin{equation} \frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd} \end{equation}

Vejamos alguns exemplos

Exemplos:

1. $\displaystyle\frac{3}{4}+\displaystyle\frac{4}{7} = \displaystyle\frac{3 \cdot 7 + 4 \cdot 4}{4 \cdot 7} = \displaystyle\frac{21+16}{28} = \displaystyle\frac{37}{28}$

2. $\displaystyle\frac{1,5}{2}-\displaystyle\frac{3}{\sqrt{5}} = \displaystyle\frac{1,5 \cdot \sqrt{5} - 2 \cdot 3}{2 \cdot \sqrt{5}} = \displaystyle\frac{1,5\sqrt{5}+6}{2\sqrt{5}}.$

A multiplicação dos quocientes $\displaystyle\frac{a}{b}$ e $\displaystyle\frac{c}{d}$ é dada por:

\begin{equation} \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\end{equation}

Aqui basta multiplicar o de cima com o de cima e o debaixo com o de baixo. Vejamos alguns exemplos.

Exemplos:

3. $\displaystyle\frac{5}{7} \cdot \displaystyle\frac{3}{2} = \displaystyle\frac{5 \cdot 3}{7 \cdot 2} = \displaystyle\frac{15}{14}$

4. $\displaystyle\frac{\sqrt[3]{7}}{3} \cdot \displaystyle\frac{4}{2,1} = \displaystyle\frac{\sqrt[3]{7} \cdot 4}{3 \cdot 2,1} = \displaystyle\frac{4\sqrt[3]{7}}{6,2}$

A divisão dos quocientes $\displaystyle\frac{a}{b}$ e $\displaystyle\frac{c}{d}$ com $a$ e $b$ também diferentes de zero, é dada por:

\begin{equation} \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} \end{equation}

Aqui copiamos o quociente que está em cima e multiplicamos pelo inverso de quem está em baixo. Vejamos alguns exemplos.

Exemplos:

5. $\displaystyle\frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{5}} = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{5}{7} = \displaystyle\frac{5}{14}$

6. $\displaystyle\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{6,3}{2}} = \displaystyle\frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \displaystyle\frac{2}{6,3} = \displaystyle\frac{2\sqrt{5}}{18,9}$

Somando, subtraindo, multiplicando e dividindo quocientes com uma ou mais incógnitas

Agora que lembramos como fazer essas operações com quocientes de números, vamos passar a tratar dessas operações com quocientes de expressões algébricas. Precisamos sempre nos lembrar de uma coisa que escrevi bastante nas últimas postagens "as letras (incógnitas) representam números e, portanto, podem ser tratadas como números". O que eu quero dizer com isso é que as regras acima, que usamos para números, também usamos para incógnitas, sem nenhum problema. Podemos reescrevê-las, considerando no lugar dos números $a$, $b$, $c$ e $d$, expressões algébricas.

Sejam $u$, $v$, $w$ e $t$ expressões algébricas. Definimos,

\begin{equation} \frac{u}{v} \pm \frac{w}{t} = \frac{ut \pm vw}{vt}; \end{equation}

\begin{equation} \frac{u}{v} \cdot \frac{w}{t} = \frac{uw}{vt};\end{equation}

\begin{equation} \frac{\frac{u}{v}}{\frac{w}{t}} = \frac{u}{v} \cdot \frac{t}{w} = \frac{ut}{vw} \end{equation}

Viu só? Somamos, subtraimos, multiplicamos e dividimos quocientes com expressões algébricas da mesma forma que fazemos com quocientes de números.

 

A seguir veremos alguns exemplos de como soma, multiplicar de dividir quocientes com uma ou mais incógnitas. Em cada exemplo vou destacar alguns detalhes importantes. 

Exemplos:

7. Efetue a soma $\displaystyle\frac{1}{3} + \displaystyle\frac{2}{x}$.

Solução: Essa é uma soma simples de se fazer. No caso desse exemplos temos $u=1$, $v=3$, $w=2$ e $t-x$. Assim,

\begin{eqnarray} \frac{1}{3} + \frac{2}{x} &=& \frac{1x+3 \cdot 2}{3x} \\ &=& \frac{x+6}{3x}  \end{eqnarray}

8. Efetue a subtração $\displaystyle\frac{3x}{4}-\displaystyle\frac{1}{x}$.

Solução: Esse exemplo é feito de forma análoga ao exemplo anterior, mas agora com a subtração no lugar da soma. Nesse exemplo temos $u = 3x$, $v = 4$, $w = 1$ e $t = x$. Assim,

\begin{eqnarray} \frac{3x}{4} - \frac{1}{x} &=& \frac{3x x - 1 \cdot 4}{4x} \\ &=& \frac{3x^2-4}{4x}  \end{eqnarray}

9. Efetue a soma $\displaystyle\frac{x-1}{4}+\displaystyle\frac{3}{x^2}$.

Solução: Nesse exemplo vamos usar a mesma regra do exemplo 7 com $u = x+1$, $v = 4$, $w=3$ e $t=x^2$. Temos

\begin{eqnarray} \frac{x-1}{4} + \frac{3}{x^2} &=& \frac{(x-1)x^2+3 \cdot 4}{4x^2} \\ &=& \frac{(x+1)x^2+8}{4x^2} \\ &=& \frac{xx^2+1x+8}{4x^2} \\ &=& \frac{x^3+x+8}{4x^2} \end{eqnarray}

10. Efetue a subtração $\displaystyle\frac{4-3x}{x^2+2}-\displaystyle\frac{5x}{x+1}$.

Solução: Nesse exemplo, vamos usar a mesma regra do exemplo 8 com $u=4-3x$, $v = x^2+2$, $w=5x$ e $t = x+1$. Temos

\begin{eqnarray} \frac{4-3x}{x^2+2} - \frac{5x}{x+1} &=& \frac{(4-3x)(x+1) -  5x(x^2+2)}{(x^2+2)(x+1)} \\ &=& \frac{4x+4\cdot 1 - 3xx-3x1-(5xx^2+5x2)}{x^2x+x^21+2x+2 \cdot 1} \\ &=& \frac{4x+4-3x^2-3x-5x^3-10x}{x^3+x^2+2x+2} \\ &=& \frac{-5x^3-3x^2-9x+4}{x^3+x^2+2x+2} \end{eqnarray}

11. Efetue a soma $\displaystyle\frac{\sqrt{x}y}{y^2+x}+\displaystyle\frac{2x}{y+1}$.

Solução: Nesse exemplo temos duas incógnitas, mas não há nenhum problema nisso, basta procedermos como nos exemplos anteriores. Temos

\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{x}y}{y^2+x}+\displaystyle\frac{2x}{y+1} &=& \frac{\sqrt{x}y(y+1)+2x(y^2+x)}{(y^2+x)(y+1)} \\ &=& \frac{\sqrt{x}yy+\sqrt{x}1+2xy^2+2xx}{y^2y+y^21+xy+x1} \\ &=& \frac{\sqrt{x}y^2+\sqrt{x}+2xy^2+2x^2}{y^3+y^2+xy+x} \end{eqnarray}

Uma pergunta que pode surgir agora é: "Se tivermos que fazer a soma com mais de dois quecientes desses, o que devemos fazer?" Bom, uma maneira mais cautelosa de fazer isso é somanado-os dois a dois. Uma outra forma de fazer é da seguinte forma: sejam $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ e $f$ números ou expressões algébricas, temos

\begin{equation} \frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} \pm \frac{e}{f} = \frac{adf \pm cbf \pm ebd}{bdf} \end{equation}

Vamos continuar com exemplos sobre multiplicação

12. Efetue o produto $\displaystyle\frac{3}{x} \cdot \frac{x+1}{4}$.

Solução: Vimos acima que o produto de dois quocientes de números ou expressões algébricas é feito multiplicando o de cima com o de cima e o de baixo com o debaixo. Desse forma, temos:

\begin{eqnarray} \displaystyle\frac{3}{x} \cdot \frac{x+1}{4} &=& \frac{3(x+1)}{x4} \\ &=& \frac{3x+3}{4x} \end{eqnarray}

13. Calcule o produto $\displaystyle\frac{x^2-5}{10x} \cdot \displaystyle\frac{x^3}{\sqrt{3}x-2}$.

Solução: Como vimos no exemplos anterior, não há segredos na multiplicação de quocientes, basta multiplicar o de cima com o de cima e o de baixo com o de baixo. Assim, 

\begin{eqnarray} \frac{x^2-5}{10x} \cdot \frac{x^3}{\sqrt{3}x-2} &=& \frac{(x^2-5)x^3}{10x(\sqrt{3}x-2)} \\ &=& \frac{x^2x^3-5x^3}{10x\sqrt{3}x-10x2} \\ &=& \frac{x^5-5x^3}{10\sqrt{3}x^2-20x}  \end{eqnarray}

14. Calcule o produto $\displaystyle\frac{2x^2 + \sqrt{y}}{y+1} \cdot \displaystyle\frac{4y}{x+y}$.

Solução: Nesse exemplos temos duas incógnitas, mas o produto é feito da mesma forma. Temos

\begin{eqnarray} \frac{2x^2 + \sqrt{y}}{y+1} \cdot \frac{4y}{x+y} &=& \frac{(2x^2 + \sqrt{y})4y}{(y+1)(x+y)} \\ &=& \frac{2x^2y+\sqrt{y}4y}{yx+yy+1x+1y} \\ &=& \frac{2x^2y+4y^{\frac{1}{2}}}{xy+y^2+x+y} \\ &=& \frac{2x^2+4y^{\frac{3}{2}}}{xy+y^2+x+y}\end{eqnarray}

Vamos agora fazer alguns exemplos com a divisão.

15. Efetue a divisão $\displaystyle\frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{x+5}{3}}$.

Solução: Aqui a regra é, como visto acima, copia o quociente que está em cima e multiplica pelo quociente que está em baixo. Desse modo, temos:

\begin{eqnarray} \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{x+5}{3}} &=& \frac{1}{x^2} \cdot \frac{3}{x+5} \\ &=& \frac{3}{x^2(x+5)} \\ &=& \frac{3}{x^2x+x^25} \\ &=& \frac{3}{x^3+5x^2}   \end{eqnarray}

16. Efetue a divisão $\displaystyle\frac{\frac{x^3+x-1}{x}}{\frac{x+1}{x^2}}$.

Solução: Usando a mesma regra usada no exemplo acima, temos

\begin{eqnarray} \frac{\frac{x^3+x-1}{x}}{\frac{x+1}{x^2}} &=& \frac{x^3+x-1}{x} \cdot \frac{x^2}{x+1} \\ &=& \frac{(x^3+x-1)x^2}{x(x+1)} \\ &=& \frac{x^3x^2+xx^2-1x^2}{xx+x} \\ &=& \frac{x^5+x^3-x^2}{x^2+x}\end{eqnarray}

17. Calcule a divisão $\displaystyle\frac{\frac{xy+\sqrt{x}}{x^2}}{\frac{\sqrt{y}+3x^2}{xy}}$.

Solução: Nesse exemplo temos duas incógnitas, mas o modo de calcular a divisão é o mesmo, como fizemos no exemplo anterior. Temos,

\begin{eqnarray} \frac{\frac{xy+\sqrt{x}}{x^2}}{\frac{\sqrt{y}+3x^2}{xy}} &=& \frac{xy+\sqrt{x}}{x^2} \cdot \frac{xy}{\sqrt{y}+3x^2} \\ &=& \frac{(xy+\sqrt{x})xy}{x^2(\sqrt{y}+3x^2)} \\ &=&   \frac{xyxy+\sqrt{x}xy}{x^2\sqrt{y}+x^23x^2} \\ &=& \frac{x^2y^2+xy\sqrt{x}}{x^2\sqrt{y}+3x^4} \end{eqnarray}

Exemplo em vídeo:

Errata: Nesse vídeo eu acabei falando que 2 vezes 4 é igual a 4, mas, na verdade, a conta que fiz foi 2 vezes 2 igual a 4. Falei errado, mas a conta está certa... hehe

Com esses exemplos temos boas ideias de como de fazer somas, subtrações, multiplicações e divisões de quocientes com expressões algébricas. Não há segredos, basta fazer as operações usando as suas definições, tomar cuidado com o jogo de sinais e usar a propriedades de potenciação e radiciação.

Gostou do conteúdo dessa postagem? Foi útil para você? Tem alguma dúvida? Deixe um comentário.

Leia mais

Expressões Algébricas #5: Simplificando expressões algébricas com potências e raízes

Que ótimo que estamos avançando no nosso estudo de expressões algébricas. Nas postagens anteriores vimos como somar, subtrair, multiplicar e dividir incógnitas e também vimos como simplificar potências e raízes de incógnitas. As postagens anteriores servem de base para as postagens que virão, elas apresentam o que é básico dentro do contexto de expressões algébricas. Agora, vamos, aos poucos, misturar tudo o que vimos e um pouco mais (hehe...). Nessa postagem  vamos ver maneiras de simplificar expressões algébricas envolvendo somas, subtrações e multiplicações de potências e raízes de incógnitas.

Simplificando expressões algébricas com potências e raízes

Nesse ponto em que estamos, acredito que a melhor forma de entendermos como simplificar expressões algébricas é por meio de exemplos, vendo alguns detalhes importantes em cada exemplo e ideias que podem ser usadas para simplificar outras expressões algébricas. É importante lembrar que a ordem das operações numa expressão algébrica é a mesma de uma expressão numérica, pois as letras representam números. Então, vamos aos exemplos.

Exemplos:

1. Simplifique a expressão algébrica $x-x^2+4x+x^3-3x^3+1$.

Solução: Nessa expressão temos a soma e a subtração de potências da incógnita $x$ e de números também. Para simplificar essa expressão temos que fazer as operações que estão nela entre os termos que são semelhantes. Já falei um pouco sobre termos semelhantes em uma das postagens anteriores, mas vou dar mais detalhes aqui. O termos semelhantes são a mesma incógnita e os múltiplos das potências de mesmo expoente dessa incónita. A expressão desse exemplo é:

$$x-x^2+4x+x^3-3x^3+1$$

Os termos dessa expressão, na ordem em que aparecem, são:

$$x, \; -x^2, \; 4x, \; x^3, \; -3x^3, \; 1$$

Vamos separar esses termos em grupos de termos semelhantes:

Grupo 1: $1$

Grupo 2: $x$, $4x$

Grupo 3: $-x^2$

Grupo 4: $-x^3$, $3x^3$

Esses são os termos semelhantes que temos nessa expressão. Para simplificar uma expressão algébrica não é necessário escrever essa separação em grupos que fiz nesse exemplo, fiz essa separação somente para deixar claro quais são os termos semelhantes. Podemos fazer isso simplesmente olhando para a expressão algébrica. Agora, vamos fazer as operações que aparecem em cada grupo de termos semelhantes, fazendo a aperação entre os números que estão multiplicando as potências de $x$ em cada termo. Temos,

\begin{eqnarray} x - x^2 + 4x + x^3 - 3x^3 + 1 &=& \underbrace{x +4x}_{\; Grupo \; 2 \;}  \underbrace{-x^2}_{\; Grupo \; 3 \;}  \underbrace{+x^3 - 3x^3}_{\; Grupo \; 4 \;}  \underbrace{+1}_{\; Grupo \; 1 \;} \\ &=& 5x - x^2 -2x^3 + 1 \end{eqnarray}

Observe que $x+4x = (1+4)x = 5x$ e $x^3-3x^3 = (1-3)x^3 = -2x^3$, ou seja, fizemos as operações que apareceram nos grupos dos termos semelhantes. Observe também que não existem termos semelhantes a $1$ e $x^2$, por isso ficaram como estão. Outra coisa importante para ser observada é que na passagem da primeira igualdade eu comutei (troquei de ordem) os termos da expressão para deixar os termos semelhantes juntos. Isso pode ajudar na simplificação, mas não é necessário. Mas, lembre-se, as operações de soma e subtração só podem ser feitas entre os termos semelhantes. Vamos usar essa ideia em todos os outros exemplos.

2. Simplifique as expressão algébrica $-2 + x^2-\sqrt{x}+3 - 2\sqrt{x}+x+x^2$.

Solução: Você pode até pensar que esse exemplo ficou mais difícil por conter algumas raízes. Mas, não se preocupe, vamos usar a mesma estratégia dos termos semelhantes. Os termos que possuem raízes quadradas só podem ser somados ou subtraídos com termos que possuem raízes quadradas, os termos que possuem raízes cúbicas só podem ser somados ou subtraídos com termos que possuem raízes cúbicas e assim por diante. E aqui, quando digo somados ou subtraídos, estou me referindo aos números que multiplicam essas raízes. Vamos reescrever a expressão agrupando os termos semelhantes e simplificá-la.

\begin{eqnarray} -2 + x^2 - \sqrt{x} + 3 - 2\sqrt{x} + x + x^2 &=& \underbrace{-2 + 3}_{\; \; \;}  \underbrace{+x^2+x^2}_{\; \; \;} \underbrace{-\sqrt{x}-2\sqrt{x}}_{\; \; \;} \underbrace{+ x}_{\; \; \;} \\ &=& 1 + 2x^2 - 3\sqrt{x} + x \end{eqnarray}

3. Simplifique a expressão algébrica $x^2-1+2x^{\frac{2}{3}}-3\sqrt{x}+5x^{\frac{2}{3}}+\displaystyle\frac{\sqrt{x}}{2}$.

Solução: Nessa expressão nós temos uma potência com expoente racional, mas isso não muda em nada a ideia de fazer a soma e a subtração entre os termos semelhantes. Temos

\begin{eqnarray} x^2-1+2x^{\frac{2}{3}} - 3\sqrt{x} + 5x^{\frac{2}{3}} + \frac{\sqrt{x}}{2} &=& x^2-1+2x^{\frac{2}{3}}+5x^{\frac{2}{3}}-3\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{2} \\ &=& x^2 -1 +7x^{\frac{2}{3}}-\frac{5\sqrt{x}}{2}\end{eqnarray}

4. Simplifique a expressão algébrica $x^{-2} + \sqrt[3]{x} - 3x^{-2}+4\sqrt[3]{x}-x^2$.

Solução: Vamos seguir o mesmo raciocínio, somar e subtrair os termos semelhantes. Temos

\begin{eqnarray} x^{-2}+\sqrt[3]{x} - 3x^{-2}+4\sqrt[3]{x}-x^2 = -2x^{-2} + 5\sqrt[3]{x} - x^2\end{eqnarray}

Vamos introduzir nos próximos exemplos multiplicações de potências das incógnitas.

5. Simplifique a expressão algébrica $x^3(x^2+2)+5x-2x^3$.

Solução: Nesse exemplo, um dos fatores da expressão é $x^3(x^2+2)$. Para fazer essa multiplicação temos que usar a propridade distributiva da multiplicação. Vamos lembrá-la rapidamente: para $a$, $b$ e $c$ números reais quaisquer, vale:

$$a(b+c) = ab+ ac$$

No caso da multiplicação $x^3(x^2+2)$, o $x^3$ faz o papel do $a$, o $x^2$ faz o papel do $b$ e o $2$ faz o papeol do $c$. Assim, reescrevemos a expressão

\begin{eqnarray} x^3(x^2+2) + 5x - 2x^3 = x^3x^2+x^32+5x-2x^3 \end{eqnarray}

Agora, para simplificar o lado direito do sinal de igual, vamos usar a propriedade de potenciação que nos que quando multiplicamos potências de mesma base, somam-se os expoentes e, depois disso, vamos somar os termos semelhantes. Temos

\begin{eqnarray} x^3(x^2+2) + 5x - 2x^3 &=& x^3x^2+x^32+5x-2x^3 \\ &=& x^5+2x^3+5x-2x^3 \\ &=& x^5+5x \end{eqnarray}

6. Simplifique a expressão algébrica $(\sqrt{x}+1)(x^2-1) + x^{\frac{5}{2}}-4$.

Solução: Novamente vamos precisar usar a propriedade distributiva da multiplicação. Vamos aplicá-la passo a passo não nos esquecendo do jogo de sinais. Simplificando essa expressão algébrica, temos:

\begin{eqnarray} (\sqrt{x}+1)(x^2-1) + x^{\frac{5}{2}} - 4 &=& (\sqrt{x}+1)x^2 + (\sqrt{x}+1)(-1) + x^{\frac{5}{2}} -4 \\ &=& \sqrt{x}x^2+1x^2+\sqrt{x}(-1) + 1(-1) + x^{\frac{5}{2}}-4 \\ &=& x^{\frac{1}{2}}x^2+x^2-\sqrt{x}-1+x^{\frac{5}{2}}-4 \\ &=& x^{\frac{5}{2}}+x^2-\sqrt{x}-1+x^{\frac{5}{2}}-4 \\ &=& 2x^{\frac{5}{2}} + x^2 -\sqrt{x} -5\end{eqnarray} 

Nesse exemplo tranformamos uma raiz em uma potência, ou seja, $\sqrt{x}$ em $x^{\frac{1}{2}}$ para escrever o produto $\sqrt{x}x^2$ na forma $x^{\frac{5}{2}}$. Isso pode ser usado para "juntar" raízes com potências de uma mesma incógnita numa multiplicação. 

7. Simplifique a espressão algébrica $\sqrt{x}(\sqrt{x}+x^{\frac{3}{2}})-x(x+2)+x^5$.

Solução: Temos

\begin{eqnarray} \sqrt{x}(\sqrt{x}+x^{\frac{3}{2}})-x(x+2)+x^5 &=& \sqrt{x}\sqrt{x}+\sqrt{x}x^{\frac{3}{2}}-xx-x2+x^5 \\ &=& \left(\sqrt{x}\right)^2 + x^{\frac{1}{2}}x^{\frac{3}{2}} - x^2-2x+x^5 \\ &=& x+x^{2}-x^2-2x+x^5 \\ &=& -x+x^5 \end{eqnarray}

A seguir veremos mais exemplos de simplificação de expressões algébricas com duas incógnitas.

8. Simplifique a expressão algébrica $(2x^2-4)y + y^2-x^2y+x$.

Solução: Vamos fazer a primeira multiplicação que aparece nessa expressão algébrica para vermos quais os termos que aparecem nessa expressão. Temos

\begin{eqnarray} (2x^2-4)y+y^2-x^2y+x = 2x^2y-4y+y^2-x^2y+x \end{eqnarray}

Observe que, nessa expressão algébrica, temos uns termos que podemos chamar de mistos. Esses termos são aqueles que apresentam o produto de potências de duas ou mais incógnitas diferentes. Esses termos entram na mesma regra dos termos semelhantes, isto é, o termo $2x^2y$ só pode ser somado ao termo $-x^2y$. Quando temos mais de uma incógnita numa expressão algébrica, podem aparecer esses termos mistos. Só podemos somar e subtrair aqueles que possuem as mesmas incónitas multiplicadas e com os mesmos expoentes. Assim, 

\begin{eqnarray} (2x^2-4)y+y^2-x^2y+x &=& 2x^2y-4y+y^2-x^2y+x \\ &=& x^2y-4y-x^2+x \end{eqnarray}

9. Simplifique a expressão algébrica $xy^2-xy^{-\frac{1}{2}}+xy(y^{-\frac{1}{2}}-y)$.

Solução: Vamos seguir o mesmo raíciocínio que estamos usando, vamos multiplicar primeiro usando a propriedade distributiva, usar propriedades e definições de potências e depois somar e subtrair os termos semelhantes. Temos

\begin{eqnarray} xy^2-xy^{-\frac{1}{2}}+xy(y^{-\frac{1}{2}}-y) &=& xy^2-xy^{-\frac{1}{2}} + xyy^{-\frac{1}{2}}-xyy \\ &=& xy^2-xy^{-\frac{1}{2}}+xy^{-\frac{1}{2}}-xy^2 \\ &=& 0 \end{eqnarray}

10. Simplifique a expressão algébrica

$$3x + \frac{1}{2}\left[ x^2 + y(x^3+yx-y^{-1}x^2) + \sqrt{x+y}\right].$$

Solução: Seguindo o que já estamos fazendo, temos

\begin{eqnarray} 3x + \frac{1}{2}\left[ x^2 + y(x^3+yx-y^{-1}x^2) + \sqrt{x+y}\right] &=& 3x + \frac{1}{2}\left[ x^2 + x^3+yyx-yy^{-1}x^2 + \sqrt{x+y}\right] \\ &=& 3x + \frac{1}{2}\left[ x^2 + x^3+y^2x-x^2 + \sqrt{x+y}\right] \\ &=& 3x + \frac{1}{2}\left[ x^3+y^2x + \sqrt{x+y}\right]  \\ &=& 3x + \frac{1}{2}x^3+\frac{1}{2}xy^2 + \frac{1}{2}\sqrt{x+y}\end{eqnarray}

Observação importante: Sobre o exemplo anterior, temos um termo com $\sqrt{x+y}$. Esse termo fica assim mesmo. Não podemos "abrir" uma raiz, independentemente do seu índice, ou seja, 

$$\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$$

para quaisquer que sejam $a$ e $b$, incógnitas ou números diferentes de zero. Essa igualdade vai ser verdadeira se, e somenete se, $a=0$ ou $b=0$.

Exemplo em vídeo:

Com esses exemplos já pegamos o jeito de simplificar esse tipo de expressão. Com as ideias apresentadas aqui, você consiguirá simplicar esse tipo de expressão sem muitas dificuldades. 

Gostou do conteúdo dessa postagem? Foi útil para você? Tem alguma dúvida? Deixe um comentário.

 

Leia mais

Expressões Algébricas #4: Potências e raízes de letras

Nas últimas duas postagens (acesse-as por aqui) vimos como somar, subtrair, multiplicar e dividir letras em uma expressão algébrica. Mas, numa expressão algébrica há outras operações envolvendo letras além dessas, a saber, as potências e as raízes. Nessa postagem vamos ver o que fazer quando aparecem potências e raízes de letras em expressões algébricas. Para isso, vamos lembrar as definições de potências com expoentes naturais, inteiros e racionias e também a definição de raiz de índice $n$. Já vimos nas postagens anteriores que as letras são chamadas de incógnitas ou variáveis. Daqui em diante as chamaremos incógnitas.

Potências e raízes de letras

Para entender como funcionam ou o que significam as potências e as raízes de uma incógnita basta lembrar que as incógnitas representam números, assim, todas as definições e propriedades envolvendo potências e raízes de números também valem para as incógnitas, a diferença é, como a própria palavra incógnita nos diz, a incógnita é um número que não sabemos qual é. 

Definições de potências com expoentes naturais e inteiros

Considere um número real $x$ qualquer ($x$ é uma incógnita). Chamamos de potência de base $x$ e expoente natural $n$ o número $x^n$, o qual é definido como segue:

$$\left\{\begin{array}{l} x^0 = 1 \mbox{ se } x \neq 0 \\ x^n = x^{n-1} \cdot x \mbox{ para todo } n \in \mathbb{N} \mbox{ e } n \geq 1.\end{array} \right.$$

Para ficar ainda mais claro, vamos escrever algumas potências para alguns valores de $n$:

$$\begin{eqnarray} x^0 &=& 1 \\ x^1 &=& x^0 \cdot x = x \\ x^2 &=& x^1 \cdot x = x \cdot x \\ x^3 &=& x^2 \cdot x = x \cdot x \cdot x \\ x^4 &=& x^3 \cdot x = x \cdot x \cdot x \cdot x \\ x^5 &=& x^4 \cdot x = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \\ \vdots & & \\ x^n &=& x^{n-1} \cdot x = \underbrace{x \cdot x \cdots x}_{n \; fatores}  \end{eqnarray}$$

Dado um número real $x$ ($x$ é uma incógnita), diferente de zero, e um número inteiro positivo $n$, definimos a potência de base $x$ e expoente $-n$, denotada por $x^{-n}$, (observe que, se $n$ é positivo, $-n$ será negativo) como sendo

$$x^{-n} = \displaystyle\frac{1}{x^n}.$$

Pela definição acima, vemos que $x^{-n}$, com $x \neq 0$, é o inverso de $x^n$. Também podemos dizer que $x$ está elevado a $-n$.

Definição de raiz de índice $n$

Considere um número natural $n$ maior que $1$ e $x$ um número real (uma incógnita). Chamamos de raiz de índice $n$ ou raiz $n$-ésima do número real $x$ ao número real $b$, de mesmo sinal que $x$, tal que $b^n = x$. Denotamos a raiz de índice $n$ (raiz $n$-ésima) de $x$ por $\sqrt[n]{x}$ onde $n$ é o índice da raiz e $x$ é o radicando.

O símbolo $\sqrt[n]{ \mbox{ }}$ é chamado radical. 

Quando o índice é igual a $2$, chamamos a raiz de índice $2$ de raiz quadrada e, no radical que a denota, omitimos o número $2$, ficando na forma $\sqrt{x}$. Quando o índice é igual  a $3$, chamamos a raiz de índice $3$ de raiz cúbica. Somente quando o índice é igual a $2$ é que omitimos o índice no radical, assim, os radicais com índice maior ou igual a três devem conter o índice na sua notação, por exemplo, $\sqrt[3]{x}$. Quando o índice da raiz é igual a $4$, chamamos a raiz de índice $4$ de raiz quarta. Se o índice for igual a $5$, chamamos a raiz de índice $5$ de raiz quinta. Seguindo esse raciocínio, nomeamos as raízes de índices superiores.

Na definição de raiz de índice $n$ está explicado o que significa $\sqrt[n]{x}$. Mas quando aparece uma raiz dessa numa expressão algébrica, a intenção não é calculá-la, mas simplificá-la, se possível.

Definição de potência com expoente racional

Dados $x \in \mathbb{R}$ com $x \geq 0$ e $\displaystyle\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$, com $p \in \mathbb{Z}$ e $q \in \mathbb{N}$, $q \neq 0$, definimos a potência de base $x$ e expoente $\displaystyle\frac{p}{q}$ por

$$a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{x^p}.$$

A definição de potência com expoente inteiro negativo se extende para o caso em que o expoente é um número racional negativo, isto é,

Dado um número $x$ ($x$ é uma incógnita), diferente de zero, e um número racional positivo $\displaystyle\frac{p}{q}$, com $q \neq 0$ definimos a potência de base $x$ e expoente $-\displaystyle\frac{p}{q}$, denotada por $x^{-\frac{p}{q}}$, como sendo

$$x^{-\frac{p}{q}} = \displaystyle\frac{1}{x^{\frac{p}{q}}}.$$

Guarde bem essas definições, elas são fundamentais na simplificação de expressões algébricas.

Propriedades das potências e das raízes

Propriedades das potências: Sejam $m,n \in \mathbb{Q}$ e $x,y \in \mathbb{R}$ (incógnitas). Temos

(i) $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$;

(ii) $\displaystyle\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$;

(iii) $(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$;

(iv) $\left(\displaystyle\frac{x}{y}\right)^n = \displaystyle\frac{x^n}{y^n}$ se $y \neq 0$;

(v) $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$

Propriedades das raízes: Sejam $x,y \in \mathbb{R}$, com $x,y \geq 0$ (incógnitas), $m \in \mathbb{Z}$ e $n,p \in \mathbb{N}$ onde $m \neq 0$ e $n,p \geq 2$. Valem:

(i) $\sqrt[n]{x^n} = x$;

(ii) $\sqrt[n]{x \cdot y} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$;

(iii) $\displaystyle\sqrt[n]{\displaystyle\frac{x}{y}} = \displaystyle\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$ se $y \neq 0$;

(iv) $(\sqrt[n]{x})^m = \sqrt[n]{x^m}$;

(v) $\sqrt[p]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[p \cdot n]{x}$;

(vi) $\sqrt[n]{x^m} = \sqrt[n \cdot p]{x^{m \cdot p}}$.

(vii) Se $\sqrt[n]{x} = y$, temos que $x^n = y$. Assim, $(\sqrt[n]{x})^n = y^n = x$ e, portanto, $(\sqrt[n]{x})^n = x$.

Na prática, para simplificar ou reescrever expressões algébricas com potências e raízes, usamos as propriedades das potências e das raízes listadas acima. Vamos ver a seguir exemplos de como usá-las em expressõe algébricas.

Exemplos:

Nos exemplos a seguir, $x$, $y$ e $z$ são incógnitas.

1. $2x^2 \cdot 5x^3= 10x^{2+3} = 10x^5$

2. $3x^5x^{-3} = 3x^{5-3} = x^2$

3. $x\sqrt{x} = 2xx^{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{3}{2}} = 2\sqrt{x^3}$. Observe que nesse exemplo reescrevemos $\sqrt{x}$ em $x^{\frac{1}{2}}$ de acordo com a definição de portência  com índice racional e usamos propriedade (i) das potências.

4. $\displaystyle\frac{\sqrt{x}y^2\sqrt{x}}{y} = \displaystyle\frac{\sqrt{x}\sqrt{x}y^2}{y} = \displaystyle\frac{(\sqrt{x})^2y^2}{y} = xy$

Para facilitar a simplificação de produtos de radicais de uma incógnita, podemos escrever os radicais em forma de potência com expoente racional, usar as propriedades de potências e depois, se necessário, escrever o resultado (a simplificação)  na forma de radical.

5. $\sqrt{x}\sqrt[3]{x^4} = x^{\frac{1}{2}}x^{\frac{4}{3}} = x^{\frac{1}{2}+\frac{4}{3}} = x^{\frac{11}{6}} = \sqrt[6]{x^{11}}$

6. $3x^22yx^{-3} = 6x^2x^{-3}y=6x^{-1}y = 6 \cdot \displaystyle\frac{1}{x} \cdot y = \displaystyle\frac{6y}{x}$

7. $x^{-4}y^43x^5\displaystyle\frac{1}{2}y = \displaystyle\frac{3}{2}x^{-4}x^{5}y^4y = \displaystyle\frac{3}{2}xy^5 = \displaystyle\frac{3xy^5}{2}$

8. $x^2yx^{-3}y^{-2} = x^{2}x^{-3}yy^{-2} = x^{-1}y^{-1} = (xy)^{-1} = \displaystyle\frac{1}{xy}$

9. $\sqrt{x}y\sqrt{y^3}x^{2} = x^{\frac{1}{2}}x^{2}yy^{\frac{3}{2}} = x^{\frac{5}{2}}y^{\frac{5}{2}} = (xy)^{\frac{5}{2}} = \sqrt{(xy)^5}$

Antes de continuar os exemplos, vamos ver o que acontece quando temos um potência com expoente negativo (que pode ser uma fração) de uma incógnita $x$ no denominador

\begin{eqnarray} \frac{1}{x^{-n}} &=& \frac{1}{\frac{1}{x^n}} \\ &=& 1 \cdot \frac{x^n}{1} = x^n \end{eqnarray}

Podemos concluir então que, se um potência negativa está no denominador, ela pode "subir" trocando o sinal do expoente.

Vamos prosseguir com os exemplos:

10. $\displaystyle\frac{3x^4x^2}{x^3} = \displaystyle\frac{3x^6}{x^3} = 3x^3$

11. $\displaystyle\frac{x^5\sqrt{x}}{4x} = \displaystyle\frac{x^4\sqrt{x}}{4} = \displaystyle\frac{x^4x^{\frac{1}{2}}}{4} = \displaystyle\frac{x^{\frac{9}{2}}}{4}$

12. $\displaystyle\frac{5x^33x^{-2}}{x^{-3}} = \displaystyle\frac{15x^{3}x^{-2}}{x^{-3}} = \displaystyle\frac{15x}{x^{-3}} = 15xx^3 = 15x^4$

13. $\displaystyle\frac{5xx^{\frac{6}{5}}y^{-\frac{1}{2}}}{x^2y} = \displaystyle\frac{5x^{\frac{11}{5}}y^{-\frac{1}{2}}}{x^2y} = \displaystyle\frac{5x^{\frac{11}{5}}x^{-2}}{yy^{\frac{1}{2}}} = \displaystyle\frac{5x^{\frac{1}{5}}}{y^{\frac{3}{2}}}$

14. $\displaystyle\frac{x^{\frac{1}{3}}yz^{4}}{xy^{-2}z^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{3}}x^{-1}yy^2z^{4}z^{-\frac{1}{2}} = x^{-\frac{2}{3}}y^3z^{\frac{7}{2}} = \displaystyle\frac{y^3z^{\frac{7}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

15. $\displaystyle\frac{x^{\frac{3}{2}}y^{-2}z^2}{x^{-\frac{1}{2}}y^{-3}z} = \displaystyle\frac{x^{\frac{3}{2}}x^{\frac{1}{2}}y^{-2}y^{3}z^2}{z} = xyz$

É muito importante que você saiba todas a propriedades das potências e das raízes para fazer as simplicações nas expressões algébricas. Desse modo, nenhuma delas vai ser um bicho de sete cabeças.

Gostou do conteúdo dessa postagem? Foi útil para você? Tem alguma dúvida? Deixe um comentário.

Leia mais

Expressões Algébricas #3: Como multiplicar e dividir letras?

Na postagem anterior vimos como fazer somas e subtrações em expresões algébricas e já consiguimos fazer simplificações em algumas expressões com essas operações. Nessa postagem vamos aprender como fazer multiplicações e divisões em expressões algébricas. Vamos aprender o que fazer quando números multiplicam ou dividem múltiplos de incógnitas e vamos aprender também o que fazer quando duas incógnitas, iguais ou diferentes, são multiplicadas ou divididas, uma pela outra. Vamos lá!

Como multiplicar e dividir letras?

Vamos ver como multiplicar e dividir letras em partes.

Multiplicando um número por um múltiplo de uma incógnita

Na postagem anterior vimos que como somar e subtrair dois múltiplos de uma incógnita, isto é, vimos como fazer $3x+\displaystyle\frac{1}{2}x$ e $\sqrt{2}x-4x$. Agora, se tivermos um número multiplicando, por exemplo, $5x$? Nesse caso, basta multiplicar este número por $5$ e multiplicar por $x$. Vejamos alguns exemplos:

1. $3 \cdot 4x = 12x$

2. $8 \cdot \displaystyle\frac{2}{3}x = \displaystyle\frac{16}{3}x$. Observe que $8$ pode ser visto como $\displaystyle\frac{8}{1}$ e que, na multiplicação de frações, multiplicamos o de cima (numerador) com o de cima e o de baixo (denominador) com o de baixo.

3. $-\displaystyle\frac{5}{4} \cdot 3x = -\displaystyle\frac{15}{4}x$. Não se esqueça de fazer o jogo de sinal quando aparecer números negativos.

4. $\displaystyle\frac{1}{3} \cdot \left(\displaystyle\frac{4}{7}x\right) = -\displaystyle\frac{4}{21}x$.

5. $4 \cdot \displaystyle\frac{1}{8}x = \displaystyle\frac{4}{8}x = \displaystyle\frac{1}{2}x$. 

6. $\displaystyle\frac{4}{3} \cdot \displaystyle\frac{7}{2}x = \displaystyle\frac{24}{6}x = 4x$

7. $-4 \cdot (-\sqrt{3}x) = 4\sqrt{3}x$. Quando multiplicamos um número que não é uma raiz por uma raiz, não é necessário aproximar o valor da raiz para fazer a conta, pode deixar assim mesmo.

Observação: A multiplicação de um múltiplo de uma incógnita por um número pode ocorrer pela direita, como por exemplo:

$$4x \cdot 5 = 5 \cdot 4x = 4 \cdot 5x = 20x.$$

Isso ocorre pois a incógnita, independentemente de qual for, sempre representa um número e a multiplicação é comutativa.

Multiplicando dois múltiplos de uma incógnita

Como podemos multiplicar $x$ por $3x$ ou $y$ por $2x$? Vamos analisar esses casos separadamente.

Quando as letras são iguais: Precisamos sempre ter em mente que as letras representam números, assim, as propriedades algébricas que as operações possuem com respeito aos números, também possuem com respeito às letras. A multiplicação $5 \cdot 5$ pode ser escrita como $5^2$, a multiplicação $4 \cdot 4 \cdot 4$ pode ser escrita como $4^3$ e assim por diante. Com as letras não é diferente, temos

\begin{eqnarray} x &=& x^1 \\ x \cdot x &=& x^2 \\ x \cdot x \cdot x &=& x^3 \\ &\vdots & \\ \underbrace{x \cdot x \cdots x}_{n \: fatores} &=& x^n \end{eqnarray}

É importante lembrar também que, para as letras também valem todas a propriedades de potenciação (pois elas representam números). Vejas as propriedades da potenciação aqui. Vejamos alguns exemplos

Exemplos: 

8. $x \cdot 4x = x4x = 4xx = 4x^2$. A ordem dos fatores sempre pode mudar, visto que a multiplicação é comutativa.

9. $x \cdot \sqrt[3]{5}x = \sqrt[3]{5}x^2$

10. $-\displaystyle\frac{3}{4}x \cdot 5x = -\displaystyle\frac{3}{4} \cdot 5 x x = -\displaystyle\frac{15}{4}x^2$

11. $\sqrt{2}x \cdot (-4x^2) = -\sqrt{2} \cdot 4 xx^2 = -4\sqrt{2}x^3$. Aqui usamos a propriedade da potenciação que diz que quando multiplicamos potências de mesma base, somam-se os expoentes.

12. $\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{5}x^2 \cdot x^3 = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{5}x^2x^3 = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{5}x^5$

Quando as letras não são iguais: Quando multiplicamos duas letras diferentes, por exemplo $x$ por $y$, não há muito o que fazer, basta escrever como "resultado" $xy$. Como não conhecemos quais são os números $x$ e $y$, indicamos a mulplicação de $x$ por $y$ por $xy$, simplesmente. Vejamos alguns exemplos:

13. $y \cdot 3x = y3x = 3xy = 3yx$. Lembre-se sempre que a multiplicação é comutativa.

14. $-5x \cdot \displaystyle\frac{2}{3}y = -5 \cdot \displaystyle\frac{2}{3}xy = -\displaystyle\frac{10}{3}xy$

15. $-\sqrt{5}y^2 \cdot (-x) = -\sqrt{5}y^2x$

16. $\displaystyle\frac{1}{2}y^3 \cdot \sqrt{3}x^5 = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}y^3x^5$

Podemos ainda ter os dois tipos de multiplicação abordados acima juntos.

17. $5xy \cdot 4xy^2 = 5 \cdot 4xyxy^3 = 5 \cdot 4 xxyy^3 = 20x^2y^3$

18. $-\displaystyle\frac{5}{6}x^5y^2 \cdot 12x^2y = 10x^7y^3$.

Observação: Fizemos os exemplos usando as letras $x$ e $y$, mas poderíamos ter feito esses mesmos exemplos com outras letras, $a$ e $b$ por exemplo. As letras em si não importam, o que importa é entender como as operações entre elas funcionam. Podemos estender essas ideias acima para um número finito de letras.

Dividindo um múltiplo de uma incógnita por um número

Como podemos fazer $3x$ dividido por $2$? Em uma expressão algébrica, essas divisões aparecem geralmente no formato de uma fração, ou seja, nesse caso teríamos $\displaystyle\frac{3x}{2}$. Dados dois números quaisquer $m$ e $n$ com $n$ diferente de $0$, temos

$$\displaystyle\frac{mx}{n} = \displaystyle\frac{m}{n}x.$$

Assim, $\displaystyle\frac{3x}{2} = \displaystyle\frac{3}{2}x$. Isso nos diz que, se for possível, dividimos o número que multiplica o $x$ e, caso contrário, deixamos como está. Vejamos alguns exemplos.

Exemplos:

19. Podemos deixar a expressão $\displaystyle\frac{4x}{5}$ como está, pois $4$ não é divisível por $5$.

20. $\displaystyle\frac{12x}{6} = \displaystyle\frac{12}{6}x = 2x$

21. $\displaystyle\frac{21}{24}x = \displaystyle\frac{7}{8}x$. Aqui não é possível dividir $21$ por $24$, mas podemos simplificar a fração $\displaystyle\frac{21}{24}$, dividindo por $3$ o numerador e o denominador, obtendo $\displaystyle\frac{7}{8}$.

22. Podemos ter uma divisão de frações também, por exemplo, $\displaystyle\frac{2x}{\frac{2}{3}}$. Nesse caso devemos lembrar como é feita a divisão de frações, copia o de cima e multiplica pelo inverso do debaixo. Assim,

$$\displaystyle\frac{2x}{\frac{2}{3}} = 2x \cdot \displaystyle\frac{3}{2} = 3x$$

23. $\displaystyle\frac{\frac{3}{5}x}{-\frac{4}{3}} = -\displaystyle\frac{3}{5}x \cdot \displaystyle\frac{3}{4} = -\displaystyle\frac{9x}{20}$

24. $\displaystyle\frac{-\sqrt[3]{5}x}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt[3]{5}x\displaystyle\frac{2}{\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{2\sqrt[3]{5}x}{\sqrt{2}}$

Observação: Nos exemplos acima poderíamos  trocar o $x$ por qualquer potência dele ou ainda pelo multiplicação de mais letras que essas divisões seriam efetuadas da mesma forma.

Dividindo dois múltiplos de uma potência de uma incógnita

Como podemos fazer as divisões $\displaystyle\frac{3x^2}{2x}$, $\displaystyle\frac{-5x^6}{3x^7}$ e $\displaystyle\frac{4y}{\sqrt{2}x}$? Vamos analisar esses dois tipos de divisões separadamente.

Quando as incógnitas são iguais: Sempre devemos nos lembrar que as letras representam números, assim, as propriedades algébricas que as operações possuem com respeito aos números, também possuem com respeito às letras. A divisão $\displaystyle\frac{5^3}{5^2}$ é igual a  $5$ e, obtemos esse resultado usando a seguinte propriedade de potências

$$\displaystyle\frac{5^3}{5^2} = 5^{3-2} = 5^1 = 5$$

Para as letras também vale essa propriedade de potenciação (pois elas representam números). Vejamos alguns exemplos:

Exemplos:

25. No caso particular de dividirmos um número por um múltiplo de uma letra ou uma potência dela, não há o que fazer, o resultado será uma fração com uma letra no denominador, como por exemplo

$$\frac{1}{x}, \: \frac{-\sqrt{2}}{x^3}, \: \frac{3}{5x^2}$$

26. $\displaystyle\frac{3x^4}{x^2} = 3 \displaystyle\frac{x^4}{x^2} = 3x^2$

27. $\displaystyle\frac{\sqrt{5}x^6}{2x^3} = \displaystyle\frac{\sqrt{5}}{2}x^3$

28. $\displaystyle\frac{-3x^3}{5x^7} = -\displaystyle\frac{3}{5} \cdot \displaystyle\frac{x^3}{x^7} = -\displaystyle\frac{3}{5} \cdot x^{-4} = -\displaystyle\frac{3}{5} \cdot \displaystyle\frac{1}{x^4} = -\displaystyle\frac{3}{5x^4}$.

Esse exemplo foi feito em detalhes, mas usando a propriedade de divisão de potência de mesma base, do primeiro sinal de igual, já poderíamos ter pulado para o último. Não há problema em deixar uma letra com potência negativa, se preferir.

29. $\displaystyle\frac{3x}{2x^2} = \displaystyle\frac{3}{x}$

30. $\displaystyle\frac{3x^2}{-\sqrt[3]{9}x^7} = -\displaystyle\frac{3}{\sqrt[3]{9}x^5}$

Quando as incógnitas não são iguais: Quando dividimos duas letras diferentes ou potências dela, por exemplo $x^3$ por $y^2$, não há  o que fazer, basta escrever como "resultado" $\displaystyle\frac{x^3}{y^2}$. Como não conhecemos quais são os números $x$ e $y$, a divisão fica dessa forma mesmo. Vejamos alguns exemplos:

31. $\displaystyle\frac{3x}{4y}$

32. $\displaystyle\frac{6x^2}{2y} = \displaystyle\frac{3x^2}{y}$. Nesse exemplos temos podemos dividir o $6$ pelo $2$, visto que,

$$\displaystyle\frac{6x^2}{2y} = \displaystyle\frac{6}{2} \cdot \displaystyle\frac{x^2}{y} = 3\displaystyle\frac{x^2}{y} = \displaystyle\frac{3x^2}{y}.$$

33. $\displaystyle\frac{10x^3}{8y^2} = \displaystyle\frac{5x^3}{4y^2}$. Observe que $10$ não é divisível por $8$, mas podemos simplificar a fração $\displaystyle\frac{10}{8}$ dividindo do numerador e o denominador por $2$, obtendo a fração $\displaystyle\frac{5}{4}$.

Pode-se ocorrer também divisões misturando o que vimos nos exemplos anteriores, ou seja, duas ou mais incógnitas, tanto no numerador quanto no deniminador.

34. Vamos fazer esse exemplos com mais detalhes.

\begin{eqnarray} \frac{4x^4y^3}{5xy^2} &=& \frac{4}{5} \cdot \frac{x^4}{x} \cdot \frac{y^3}{y^2} \\ &=& \frac{4}{5} x^3 \cdot y \\ &=& \frac{4x^3y}{5} \end{eqnarray}

35. Vamos fazer mais esse exemplos com mais detalhes 

\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{3}x^2y}{xy^3} &=& \sqrt{2} \cdot \frac{x^2}{x} \cdot \frac{y}{y^3} \\ &=& \sqrt{2} \cdot x \cdot \frac{1}{y^2} \\ &=& \frac{\sqrt{2}x}{y^2} \end{eqnarray}

36. $\displaystyle\frac{-5x^3y^5}{7xy^2z} = -\frac{5x^2y^3}{7z}$

37. $\displaystyle\frac{10x^2y^5z^2}{-3x^3y^6z} = -\frac{10z}{3xy}$

Viu só? Não é dificícil fazer as contas de multiplicação e divisão com letras, tudo se resume a propriedades operacionais que já conhecemos com os números. Nas próximas postagens veremos como simplificar expressões algébricas mais complicadas.

Resumo da postagem em vídeo com outros exemplos:

Gostou do conteúdo dessa postagem? Foi útil para você? Tem alguma dúvida? Deixe um comentário.

Leia mais

Expressões Algébricas #2: Como somar e subtrair letras?

Acredito que a primeira dificuldade de todos que se depararam com uma expressão algébrica pela primeira vez foi fazer contas com letras. Pois, como assim, somar e multiplicar duas letras? Olha, na minha opinião, é bem mais fácil fazer contas com letras do que com números. Meu objetivo a partir dessa postagem é te mostrar como fazer as operações de soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e racidiação em uma expressão algébrica e fazer você concordar comigo à respeito das contas com as letras. Você vai ver, não há nenhum segredo. Vamos começar com a soma e a subtração nas expressões algébricas. Vamos lá!

Como somar e subtrair letras?

Na postagem anterior vimos que as letras, nas expressões algébricas, representam números. Chamamos a cada letra em uma expressão algébrica de incógnita ou de variável da expressão algébrica. 

Antes de falarmos propriamente da soma e da subtração com as incógnitas, vamos falar um pouco sobre múltiplos dessas incógnitas. Lembrando, um múltiplo de um número ou, no nosso caso, de uma incógnita, é este número ou incógnita multiplicado por outro número. Por exemplo $3 \cdot 5 = 15$ é um múltiplo de $5$ (e também um múltiplo de $3$) e $4x$ é um múltiplo de $x$. Vamos ver a seguir alguns tipos de múltiplos.

Múltiplos inteiros de uma incógnita

Nas expressões algébricas, com uma incógnita $x$, sempre aparecem termos na forma $5x$ ou $-2x$, mas o que significa isso? O número que está na frente do $x$ está multiplicando o $x$. No primeiro caso temos $5$ vezes $x$ e no segundo, $-2$ vezes $x$. Por definição, para qualquer número $n$ inteiro positivo, os múltiplos inteiros de $x$ são definidos como segue:

\begin{eqnarray}0 &=& 0x \\ x &=& 1x \\ x + x &=& 2x \\ x + x + x &=& 3x  \\ & \vdots & \\ \underbrace{x + x + \cdots + x}_{n \; parcelas} &=& nx \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} -x &=& -1x \\ -x -x = &=& -2x \\  = -x-x-x &=& -3x  \\ & \vdots & \\ \underbrace{-x -x - \cdots -x}_{n \; parcelas} &=& -nx, \; n>0 \end{eqnarray}

 

Múltiplos fracionários de uma incógnita

Dada uma incógnita $x$, podemos pensar em múltiplos frácionários de $x$, isto é, podemos múltiplicar $x$ por uma fração, como por exemplo $\displaystyle\frac{1}{2}x$ e $-\displaystyle\frac{3}{4}x$. Vamos entender o que significa isso. Considere uma fração qualquer $\displaystyle\frac{m}{n}$ onde $m$ e $n$ são números inteiros e $n \neq 0$. Pela definição de multiplicação de frações, temos

$$\displaystyle\frac{m}{n}x=\displaystyle\frac{mx}{n}.$$

Quando uma incógnita $x$ está sendo multiplicado por uma fração, por definição, o numerador da fração (quem está em cima) multiplica o  $x$ (no sentido dos múltiplos inteiros que vimos acima) e o denominador (quem está em baixo) divide o resultado da multiplicação do numerador pela incónita $x$. Por exemplo:

$$\displaystyle\frac{5}{2}x = \displaystyle\frac{5x}{2}, \; \displaystyle\frac{6}{7}x = \displaystyle\frac{6x}{7}, \; -\displaystyle\frac{9}{10}x = \displaystyle\frac{-9x}{10}$$

Quando temos uma fração negativa multiplicando a incógnita, como no último exemplo, valem as igualdades, devido ao jogo de sinais:

$$-\displaystyle\frac{9}{10}x = \displaystyle\frac{-9x}{10} = \displaystyle\frac{9x}{-10}.$$

Lembre-se que todo número decimal com um número finito de casas decimais ou com um número infinito de casas decimais repetindo um padrão (dízimas periódicas) também são frações. Então, múltiplos fracionários podem aparecer assim

$$3,56x; \; -10,1x; \; (6,3333...)x; \; 7,9\overline{87}x$$

Em geral, é bem mais comum aparecer em expressões algébricas múltiplos fracionários com frações do que com números com vírgula. Exceto em raríssimas excessões,  não é necessário tranformar um número com vírgula em fração ou vice e versa para reescrever os múltiplos. A vantagem de se usar uma fração para representar um número decimal é que, com ela, evita-se o uso da vírgula e também o uso de aproxmações para números com vírgula.

Múltiplos irracionais de uma incógnita

Também podemos multiplicar uma incónita por número irracional. Já falamos aqui no blog sobre números irracionais e, para mais detalhes sobre eles, clique aqui. Mas, relembrando, um número irracional é qualquer número real que não pode ser escrito como uma fração, por exemplo, raízes quadradas de números primos e o $\pi$. Assim, exemplos de múltiplos irracionais de uma incógnita $x$ são

$$\sqrt{2}x, \; \pi x, \; -\sqrt{7}x$$

Nesses casos não há muito o que fazer. O ideal é deixar assim mesmo, sem substituir o número irracional por uma aproximação dele.

Outros múltiplos de uma incógnita

Além dos múltiplos que vimos anteriormente, podemos encontrar outros tipos de múltiplos, como por exemplo

$$\displaystyle\frac{2,1}{5}x, \; \displaystyle\frac{4}{3,2}x; \; \displaystyle\frac{5,6}{2,4}x$$

$$\displaystyle\frac{\pi}{2}x, \; -\displaystyle\frac{5}{\sqrt{2}}x, \; \displaystyle\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt{5}}x$$

$$\displaystyle\frac{3\pi}{2,2}x, \; -\displaystyle\frac{5,3}{\sqrt{2}}x, \; \displaystyle\frac{4\sqrt[3]{2}}{\sqrt{3,4}}x$$

Sempre que tivermos um quociente multiplicando uma incógnita, podemos ver essa multiplicação da mesma forma que vemos a multiplicação de uma incógnita por uma fração, isto é,

$$\displaystyle\frac{2,1}{5}x = \displaystyle\frac{2,1x}{5}, \; -\displaystyle\frac{5}{\sqrt{2}}x = \displaystyle\frac{-5x}{\sqrt{2}},  \; \displaystyle\frac{4\sqrt[3]{2}}{\sqrt{3,4}}x = \displaystyle\frac{4\sqrt[3]{2}x}{\sqrt{3,4}}$$

Agora que entendemos o que significa cada número multiplicando uma incógnita, vamos entender agora como somamos e subtraímos os múltiplos dessa incógnita.

Somando e subtraindo em uma expressão algébrica

O que fazer diante de uma sequência de somas e subtrações com múltiplos de uma incónita? Isso é fácil, basta fazer essas operações entre os números que estão multiplicando a incógnita e depois multiplicar o resultado pela incógnita, não se esquecendo do jogo de sinais. Vamos fazer isso nos seguintes exemplos:

Exemplos:

1. Efetue a soma $3x+8x$.

Solução: Como foi observado, basta somar os números que estão multiplicando o $x$ e multiplicar o resultado por $x$. Como $8+3 = 11$, temos

$$3x+8x=11x$$

2. Efetue a subtração $13x-7x$.

Solução: Do mesmo modo, basta subtrair os números que estão multiplicando o $x$ e multiplicar o resultado por $x$. Como $13-7=6$, temos

$$13x-7x=6x$$

Essa ideia pode ser aplicada em uma sequência de somas e subtrações de múltiplos de uma incógnita $x$. Quando efetuamos os cálculos em uma expressão algébrica, dizemos que estamos simplificando a expressão algébrica, isto é, estamos escrevendo-a de uma forma mais simples, de uma forma menor e com menos operações.

3. Simplifique a seguinte expressão algébrica $4x-3x+8x-4x$.

Solução: Nesse caso você pode efetuar essas operações na sequência em que elas aparecem ou, se preferir, comutar os termos para facilitar o cálculo. Temos:

\begin{eqnarray} 4x-3x+8x-4x &=& x+8x-4x \\ &=& 9x - 4x \\ &=& 5x \end{eqnarray}

ou 

\begin{eqnarray} 4x-3x+8x-4x &=& 4x+8x-3x -4x\\ &=& 12x - 7x \\ &=& 5x \end{eqnarray}

Observe que, no segundo cálculo fizemos, ao mesmo tempo $4x+8x$ que é igual a $12x$, pois $4+8=12$, e $-4x-3x$ que é igual a $-7x$, pois $-4-3=-7$.

Viu só como é fácil? Basta fazer a operação que aparece (soma ou subtração) com os números que estão multplicando a incógnita.

Vamos fazer mais um exemplo como o último.

4. Simplifique a expressão algébrica $\displaystyle\frac{3}{4}x-5x-2x$.

Solução: Temos uma fração multiplicando o $x$ nessa expressão, mas a simplificação dessa expressão é feita da mesma forma como fizemos as anteriores, basta efetuar os cálculos com os números que estão multiplicando a incógnita. Nesse exemplo, vamos somar primeiro os múltiplos inteiros e depois vamos somar o resultado com o múltiplo fracionário. Temos,

\begin{eqnarray} \displaystyle\frac{3}{4}x-5x-2x &=& \displaystyle\frac{3}{4}x -7x \\ &=& -\displaystyle\frac{25}{4}x \end{eqnarray}

Observe que, na última igualdade fizemos a seguinte conta $\displaystyle\frac{3}{4}-7 = \displaystyle\frac{3-4 \cdot 7}{4}=-\displaystyle\frac{25}{4}$. Por esse motivo, $\displaystyle\frac{3}{4}x-7x = -\displaystyle\frac{25}{4}x$.

Observação: Para fazer a soma e a subtração entre dois quocientes quaisquer $\displaystyle\frac{a}{b}$ e $\displaystyle\frac{c}{d}$, sendo $a$, $b$, $c$ e $d$ números rais quaisquer com $b$ e $d$ diferentes de zero, podemos usar a seguinte regra

$$\displaystyle\frac{a}{b} \pm \displaystyle\frac{c}{d}=\displaystyle\frac{da \pm bc}{bd}.$$

Por exemplo

$$\displaystyle\frac{5}{4} + \displaystyle\frac{3}{2}=\displaystyle\frac{2 \cdot 5 +4 \cdot 3}{4 \cdot 2} = \displaystyle\frac{22}{8} = \displaystyle\frac{11}{4}$$

$$\displaystyle\frac{7}{\sqrt{2}} - \displaystyle\frac{5}{3}=\displaystyle\frac{3 \cdot7 - \sqrt{2} \cdot 5}{\sqrt{2} \cdot 3} = \displaystyle\frac{21 - 5\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}.$$

E se na expressão algébrica aparecer um número sozinho, sem multiplicar o $x$? E, se além disso aparecer uma outra incógnita, por exemplo, $y$? Aqui nós definimos o que chamamos de termos semelhantes. Em uma expressão numérica, efetuamos os cálculos somente com os termos semelhantes, isto é, entre aqueles que são somente números e aqueles que estão multiplicando uma mesma incógnita. Vamos ver isso nos próximos exemplos.

5. Simpleifique a seguinte expressão algébrica $4x-\displaystyle\frac{3}{2}x+\displaystyle\frac{4}{3}x-2$.

Solução: Para simplificar essa expressão, vamos efetuar os cálculos entre os termos que possuem $x$ e entre os termos que não possuem $x$, que nesse caso é um termo só. Temos,

\begin{eqnarray} 4x-\displaystyle\frac{3}{2}x+\displaystyle\frac{4}{3}x-2 &=& 4x-\displaystyle\frac{1}{6}x-2 \\ &=& \displaystyle\frac{23}{6}x-2 \end{eqnarray}

Como não há nenhum termo semelhante ao $2$, ou seja, não há outro número que não esteja multiplicando o $x$, deixamos como está. Esta é a expressão simplificada, não efetuamos a operação $\displaystyle\frac{23}{6}x-2$ pois esses não são termos semelhantes, um termo contém o $x$ e o outro não.

6. Simplifique a expressão $5x-\sqrt{2}x+4 - 3x+8$.

Solução: Vamos somar os termos semelhantes. Se achar conveniente, antes de efetuar os cálculos, agrupe os termos semelhantes. Vejamos

 \begin{eqnarray} 5x-\sqrt{2}x+4 - 3x+8 &=& 5x-3x-\sqrt{2}x+4+8 \\ &=& 2x-\sqrt{2}x+12 \\ &=& (2-\sqrt{2})x+12 \end{eqnarray}

Observe a subtração dos termos semelhantes $2x-\sqrt{2}x$ ficou na forma $(2 - \sqrt{2})x$. Isso ocorre por que, como vimos, essa operação deve ser feita entre os coeficientes e depois multiplica-se o resultado por $x$. Não precisamos calcular um valor aproximado para $\sqrt{2}$ e fazer a conta, não há problema em deixar essa subtração na forma $(2-\sqrt{2})x$.

7. Simplifique a expressão $\displaystyle\frac{2}{\sqrt{2}}x+ \displaystyle\frac{1}{2}x +1 -4y-3y+11$.

Solução: Nessa expreesão temos termos com $x$, com $y$ e termos sem nenhuma incógnita. Vamos seguir no mesmo raciocínio para efetuar as operações, efetuando-as somente entre os termos semelhantes.

\begin{eqnarray} \displaystyle\frac{2}{\sqrt{2}}x+ \displaystyle\frac{1}{2}x +1 -4y-3y+11 &=& \displaystyle\frac{2}{\sqrt{2}}x+ \displaystyle\frac{1}{2}x -4y-3y+11+1 \\ &=& \displaystyle\frac{2+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}x-7y+12 \end{eqnarray}

Observe que $\displaystyle\frac{2}{\sqrt{2}}+ \displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{2+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$ e este cálculo foi feito de acordo com a observação feita anteriormente. Por esse motivo temos $\displaystyle\frac{2}{\sqrt{2}}x+ \displaystyle\frac{1}{2}x = \displaystyle\frac{2+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}x$.

8. Simplifique a expressão algébrica $2x+3-4x+\displaystyle\frac{1}{3}x-y-11-\displaystyle\frac{1}{4}y+5$.

Solução: Seguindo o mesmo raciocínio que usamos nos exemplos anteriores e efetuando as operações entre os termos semelhantes, temos:

\begin{eqnarray}2x+3-4x+\displaystyle\frac{1}{3}x-y-11-\displaystyle\frac{1}{4}y+5 &=& 2x-4x+\displaystyle\frac{1}{3}x-y-\displaystyle\frac{1}{4}y+5+3-11 \\ &=& -2x+\displaystyle\frac{1}{3}x-y-\displaystyle\frac{1}{4}y-3 \\ &=& -\displaystyle\frac{5}{3}x-\displaystyle\frac{5}{4}y-3 \end{eqnarray}

Esses exemplos nos dão condições para lidar com as operações de soma e subtração em expressões algébricas. Podemos estender as ideias apresentadas aqui para expressões com um número qualquer de incónitas. Nessa postagem usamos somente as letras $x$ e $y$ como incógnitas, mas lembre-se que qualquer letra pode ser usada. Bom, este é só um início. Nas próximas postagens abordaremos outros aspectos das expressões algébricas.

Resumo da postagem em vídeo:

Gostou do conteúdo dessa postagem? Foi útil para você? Tem alguma dúvida? Deixe um comentário.

Leia mais

Expressões Algébricas #1: O que é uma expressão algébrica?

Você já deve ter ouvido falar por aí alguma coisa do tipo: "Para que colocar letras na matemática?" ou "quem foi o maluco que colocou letras na matemática?", ou ainda, "A matemática era fácil até quando colocaram letras nela, como vou somar $x$ e $y$, faz sentido isso?" Nessa série de postagens que se inicia com esta aqui, vamos estudar as expressões algébricas,  isto é, vamos aprender como fazer algumas contas usando letras para representar números. Para começar bem, vamos entender o que é uma expressão algébrica, por que faz sentido somar letras e também por que elas são muito importantes na matemática. Vamos lá!

O que é uma expressão algébrica?

Definição: Uma expressão algébricas é uma sequência de operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação) entre números e letras (que represdentam números).

Vamos ver alguns exemplos de expressões algébricas.

Exemplos:

1. $x+4$

2. $x+y$

3. $3x+\displaystyle\frac{y}{2}$

4. $-5ab+3a-2b$

5. $a^2b-3a+b^3$

6. $\displaystyle\frac{1}{x} + y(x^2+1)$

7. $x^3[3+\sqrt{x^2+y^2+1}]$

8. $\displaystyle\frac{x^3+y^{\frac{3}{2}}}{x^2-y(3+y)}$

9. $\displaystyle\frac{a^2(b-1)+b^2(a+1)}{\sqrt{a^2+b^2}}$

10. $\displaystyle\frac{1}{x}+y\{x^2+y^2[4xy-(x+y)^{\frac{1}{3}}]\}$

Nos exemplos acima foram usadas apenas as letras $a$, $b$, $x$ e $y$ para representar números, mas não há uma regra para isso, podemos usar quaisquer letras. Inclusive, em algumas situações, aparecem nas expressões algébricas letras maiúsculas e até letras gregas. Outra coisa importante, as expressões dos exemplos contém uma ou duas letras, mas isso também não é uma regra, podemos ter expressões numéricas com qualquer quantidade finita de letras, 3, 4, 5, e por aí vai.

Não é legal esse monte de contas com letrinhas? Isso é sensacional! (hehe...). Mas, afinal, por que fazemos contas com letras e as usamos para representar números? Vamos responder essa pergunta a seguir.

Para que servem as expressões algébricas?

Para responder a essa pergunta, vamos pensar de uma forma bem simples. Suponha que você é o dono de uma empresa e precisa comprar 2 computadores e um mesa para o seu escritório. Após uma pesquisa de preços, você encontrou um computador  2500 reais e uma mesa por 500 reais. Assim, se você comprar dois computadores e uma mesa você vai gastar 5500 reais, pois

$$2 \cdot 2500 + 500 = 5000+500 = 5500.$$

Essa é uma expressão numérica. Agora, vamos pensar nesse mesmo problema de uma forma diferente. Independentemente de qualquer coisa, eu sei que computadores e mesas possum um preço. Assim, vamos usar a letra $x$ para representar o preço do computador e a letra $y$ para representar o preço da mesa. Dessa forma, não importa qual computador ou qual mesa você compre, o valor em reais que você gastará é 

$$2x+y.$$

Essa é uma expressão algébrica.

Aí você pode pensar o seguinte "não preciso usar as letras, basta eu ver os preços e fazer as contas". Sim, eu concordo. Mas o que eu quero que você perceba aqui é o objetivo ou, o propósito, de cada expressão acima. A expressão numérica nos dá o valor da compra de dois determinados computadores e uma mesa enquando que a expressão algébrica é capaz de nos fornecer valor da compra de quaisquer dois computadores e uma mesa. Enquanto a expressão numérica nos dá uma informação quantitativa, a expressão algébrica nos dá uma informação qualitativa, ela nos mostra como vai ser calculado o valor gasto na compra independentemente de qual computador ou qual mesa forem comprados.

Vamos ver mais um exemplo do uso de expressões algébricas. Considere uma empresa que fabrica caixas de papel, sem tampas, onde a base é um quadrado. Para fabricar uma caixa qualquer desse tipo, independentemente de suas dimensões, como podemos calcular quantos centímetros quadrados de papel vão ser usados nessa caixa?. Considere uma caixa desse tipo onde os lados da base medem $x$ centímetros e a altura mede $y$ centímetros.

A área da base mede $x^2 \; \mbox{cm}^2$ e a área de cada lateral, que é um retângulo, mede $xy \; \mbox{cm}^2$. Sendo uma base e quatro laterais, a quantidade de papel usada para fabricar uma caixa desse tipo é dada pela expressão,

$$x^2+4xy.$$

Veja só o que temos aqui, uma expressão algébrica que nos fornecce a quantidade de papel usada na fabricação de qualquer caixa desse tipo. E no que ela é importante? Ela pode ser usada para $x$ e $y$ diferentes dada uma condição sobre a quantidade máxima de papel que pode ser usada na fabricação e até mesmo para decidir a qual preço vender essa caixa sabendo o preço do custo dela. Viu só? As expressões algébricas nos trazem informações de carater qualitativo, elas não são somente um número, mas uma exprssão capaz de nos dar respostas sobre o comportamento de alguma coisa. Isso não é incrível?

Agora, você também pode me perguntar: "Ok, entendi que as expressões algébricas são importantes, mas agora, o que eu faço com esse $x^2+4xy$?" Nada! A deixe como está. Ela representa, nesse caso, a quantida de papel gasto na fabricação da caixa e pronto. Caso seja necessário calular a quantidade de papel usada na fabricação de uma caixa, em específico, você pode substituir os valores das medidas na expressão calcular a quantidade de papel gasto.

Esses exemplos que mencionei acima são bem simples, mas acredito que são suficientes para entendermos por que as expressões algébricas são importantes. As expressão algébricas possuem inúmeras aplicações na matemática, em todas as áreas. Por esse motivo é muito importante saber fazer contas com elas e simplificá-las sempre que possível. Veremos como fazer isso nas próximas postagens.

Resumo dessa postagem em vídeo:

Gostou do conteúdo dessa postagem? Foi útil para você? Tem alguma dúvida? Deixe um comentário.

Leia mais