Funções #2 - O que é a imagem de uma função?

 E vamos dar sequência ao assunto de funções com essa segunda postagem. Na postagem anterior, definimos, de forma geral, o que é uma função. Além disso, definimos também o que é domínio e o contradomínio de uma função. Esses conjuntos são inseparáveis do conceito de função. Agora, nessa postagem, vamos falar de um outro conjunto que também é inseparável do conceito de função, vamos falar sobre a imagem de uma função. Então, sem enrolação, vamos lá!

O que é a imagem de uma função?

Bom, vamos começar com a definição (formal e matemática) do que é a imagem de uma função e depois vamos seguir com mais detalhes sobre esse conceito.

Definição: Seja $f: A \rightarrow B$ uma função. Definimos a imagem da função $f$, denotada por $Im(f)$, como segue:

$$Im(f) = \{y \in B: f(x) = y \mbox{ para algum } x \in A\}$$

Podemos ainda encontrar a imagem de uma função definida na forma

$$Im(f) = \{f(x) \in B: x \in A\}$$

Bom, essa é a definição formal, mas não vamos parar por aqui, vamos ver as informações que estão nessa definição.

Observe, primeiramente, que a imagem de uma função é formada por elementos de $B$, ou seja, por elementos do contradomínio da função. Assim, $Im(f)$ é um subconjunto do contradomínio da função, ou ainda, em símbolos, $Im(f) \subset B$.

Agora, veja que há uma condição para que os elementos do contradomímio estejam na imagem. Para que um elemento $y$ do contradomínio esteja na imagem, deve existir pelo menos um $x$ pertencente o domínio tal que $f(x) = y$, isto é, deve existir pelo menos um $x$ no domínio que esteja associado a $y$ pela $f$. Isso nos mostra que, em geral, a imagem de uma função e o contradomínio de uma função são conjuntos distintos.

Para ficar ainda mais claro o conceito de imagem de uma função, vamos determinar a imagem de algumas funções dadas por meio de diagramas em alguns exemplos.

Exemplos:

1. Considere a função $f:A \rightarrow B$ dada pelo seguinte diagrama

Para determinar a imagem da função $f$, devemos olhar para o seu contradomínio, pois como acabamos de ver, a imagem de uma função está contida no seu contradomínio. Agora, dentro do contradomínio, vamos procurar pelos elementos tais que existe pelo menos um elemento no domínio ($A$) que esteja associado a ele. Para o elemento $1 \in B$ temos $f(a) = 1$, para $2 \in B$ temos $f(c) = 2$ e para $3 \in B$ temos $f(b) = 3$. Assim, para cada elemento de $B$, existe pelo menos um elemento $A$ que é levado nele por meio da função $f$. Portanto, segue que $Im(f) = \{1,2,3\}$, ou inda, $Im(f) = B$.

2. Considere a função $g:A \rightarrow C$ dada pelo seguinte diagrama

Assim como no primeiro exemplo, vamos olhar para o conjunto $C$, que é o contradomínio de $g$, e vamos procurar por aqueles elementos para os quais existe pelo menos um elemento no domínio que é levado nele. Temos $f(a) = z$, $f(b) = w$ e $f(c) = x$. Note que não há nenhum elemento em $A$ que é levado no $y$ pela função $g$, logo $y$ não está na imagem de $g$. Portanto $Im(g) = \{x,z,w\}$. Esse exemplo é um caso onde temos $Im(g)$ diferente do contradomínio de $g$.

3. Considere a função $h:A \rightarrow D$ dada pelo seguinte diagrama

Vamos aplicar aqui o mesmo raciocínio que aplicamos nos exemplos anteriores. Temos que $f(x) = a$ e $f(z) = b$ enquanto que não existem elementos em $C$ que são levados pela função $h$ nos elementos $c$ e $d$ de $D$. Portanto $Im(h) = \{a,b\}$.  Observe que também temos $f(y) = a$ e $f(z) = b$. Isso não faz diferença para determinar a imagem de $h$. Para um elemento estar na imagem, basta que exista um elemento no domínio que seja levado nele pela função. Se houver mais de um, não tem problema, pois, se tem mais de um, então tem um, e isso é o que a definição de imagem de uma função exige para que um elemento esteja na imagem.

4. Considere a função $p:A \rightarrow C$ dada pelo seguinte diagrama

Nesse caso temos $p(a) = p(b) = p(c) = w$. Logo, $Im(p) = \{w\}$.

Acredito que, com esses diagramas, o conceito de imagem de uma função ficou claro para você. E sempre lembre-se de que os conceitos de domínio, contradomímio e imagem de uma função são inseparáveis do conceito de função. As funções sempre são acompanhadas desse conjunto.

Resumo da postagem em vídeo:

Na postagem anterior, definimos funções, domínio, contradomínio e imagem usando diagramas. Isso foi somente para entendermos esses conceitos. À partir da próxima postagem, abordaremos as funções reais de uma variável real e revisitaremos esses conceitos no contexto desse tipo de função. Ainda temos muita coisa para ver. Continue seguindo as postagens.

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