Essa é a primeira postagem de uma nova série de postagens que estamos começando aqui no blog e o assunto da vez é Funções. Se você me perguntar o quanto eu acho importante o conceito de Função na Matemática, seria muito difícil para mim encontrar palavras para expressar isso. Não é exagero. O conceito de função está em todas as áreas da Mátemática, sem exceção. A importância desse conceito também pode ser visto em suas aplicações. As funções estão ao nosso redor o tempo todo. Elas estão presentes na previsão do tempo que você dá uma olhada antes de viajar, no avião que você vê voando, no celular ou computador no qual você está lendo essa postagem, no carro de Fórmula 1, no prédio que estão construindo perto da sua casa, etc.. Daria para escrever uma postagem só com as aplicações. Se você quer seguir os estudos na áreas de exatas com matemática, física, química, engenharias, computação ou em ciência sociais aplicadas como economia, administração e contabilidade é fundamental que você entenda bem o conceito de funções. Nessa postagem eu vou te apresentar a definição mais geral possível de função para depois, nas próximas postagens, entrarmos em detalhes mais expecíficos desse conceito. Então, sem perder mais tempo, vamos aprender (ou relembrar) o que é uma função. Vamos lá!
O que é uma função?
Para responder a pergunta do título acima, precisamos saber um pouco sobre teoria dos conjuntos, pelos menos o básico, que é o que são elementos e conjuntos e a relações de pertinência e inclusão (isto é, quando um elemento pertence ou não pertence a um conjunto e quando um conjunto está ou não contido em outro conjunto). Se você não lembra desses conceitos, como eles já foram abordados aqui no blog, vou deixar os links das postagens sobre esses assuntos:
Caso queira ver todas as postagens sobre teoria dos conjuntos, acesse esse link.
Agora, vamos à definição de função.
Definição: Uma função de um conjunto $A$ em um conjunto $B$ é uma regra que associa a cada elemento de $A$ um único elemento em $B$.
Em outras palavras, uma função nada mais é do que uma maneira de relacionar dois conjuntos $A$ e $B$ por meio de seus elementos, mas não de qualquer forma. Uma função de $A$ em $B$ é uma regra (lei) que associa a cada elemento de $A$, sem que não sobre nenhum, um único elemento em $B$. Essa definição acima é a definição mais geral possível. Os conjuntos $A$ e $B$ podem ser conjuntos de quaisquer tipos de objetos, não somente de números. Podem ser conjuntos de nomes, de letras, de matrizes, de vetores e até mesmo de outros conjuntos.
Um fato importante que devemos observar na definição de função é que não é possível definir função sem que haja dois conjuntos (eles podem ser iguais). Uma função sempre será de um conjunto a outro. Sem conjuntos, não temos funções (por isso fiz questão de falar que precisamos saber, pelo menos o básico, sobre Teoria dos Conjuntos).
Observação: Uma função também pode ser chamada de aplicação, a definiçao é exatamente a mesma. Alguns livros de matemática chamam de função as aplicações que possuem contradomínio igual ao conjunto dos números reais. Isso não é uma regra. Como estamos mais acostumados com o nome função, vamos usar somente esse nome.
Em matemática é comum usarmos letras para dar nome à funções. Isso mesmo, damos nomes às regras que criamos para relacionar dois conjuntos. Em geral usamos letras mínusculas, como $f$, $g$, $h$, $\dots$. Mas, em alguns textos matemáticos podemos encontrar funções nomeadas com letras maiúsculas e até com letras gregas. Em símbolos, para dizer que uma função $f$ está associando os elementos do conjunto $A$ com os do conjunto $B$, escrevemos
$$f: A \rightarrow B$$
Ao considerarmos uma função $f: A \rightarrow B$, ao conjunto $A$ damos o nome de domínio da função $f$ e ao conjunto $B$ damos o nome de contradomínio da função $f$. Em outras palavras, o domínio é o conjunto onde a função está definida.
Para entendermos bem o que é uma função, a seguir vamos ver alguns diagramas onde teremos exemplos de funções.
Exemplos:
1. Considere a regra $f$ que associa os elementos do conjunto $A$ com os elementos do conjunto $B$ dada pelo diagrama.
Temos que $f$ é uma função de $A$ em $B$, pois ela satisfaz a definição de função, isto é, cada elemento de $A$ está associado a um único elemento em $B$ e em $A$ não está sobrando nenhum elemento.
2. Considere a regra $g$ que associa os elementos do conjunto $C$ com os elementos do conjunto $D$ dada pelo diagrama.
Temos que $g$ é uma função de $C$ em $D$, pois ela satisfaz a definição de função. Embora os elementos $1$ e $2$ de $C$ estejam associados ao elemento $4$ de $B$, temos que o $1$ está associado somente ao $4$, o $2$ está associado somente ao $4$ e o $3$ está associado somente ao $5$. Logo $g$ satisfaz a definição de função.
3. Considere a regra $h$ que associa os elementos do conjunto $A$ com os elementos do conjunto $E$ dada pelo diagrama.
Temos que $h$ é uma função. Observe que cada elemento de $A$ está associado a um único elemento de $E$ sem que sobre nenhum elemento em $A$. É apenas isso que a definição de função exige. Embora não haja elemento em $A$ que esteja associado com $w \in E$, não há nenhum problema com isso, a definição de função continua sendo satisfeita. No contradomínio pode sobrar elementos, mas no domínio nunca.
4. Considere a regra $l$ que associa os elementos do conjunto $F$ coms os elementos do conjunto $C$ dada pelo diagrama.
A regra $l$ é uma função, pois ela associa cada elemento de $F$ a um único elemento de $C$.
Considere dois conjuntos $A$ e $B$ quaisquer e uma função $f : A \rightarrow B$ qualquer. Para dizer que o elemento $x \in A$ está associado ao elemento $y \in B$ escrevemos $f(x) = y$ e lemos "$f$ de $x$ igual a $y$".
No exemplo 2 temos uma função $g: C \rightarrow D$. Essa função associa o $1 \in C$ ao $4 \in D$ , assim, podemos escrever $g(1) = 4$. No exemplo 3 temos a função $h : A \rightarrow E$ que associa $a \in A$ com $x \in E$, desse modo, podemos escrever $h(a) = x$.
Vamos ver agora exemplos de regras que associam elementos de dois conjuntos que não são funções.
Exemplos:
5. Considere a regra $q$ que associa os elementos dos conjuntos $C$ e $G$ dada pelo diagrama
6. Considere a regra $t$ que associa os elementos dos conjuntos $H$ e $C$ dada pelo diagrama
A regra $t$ está associando o elemento $y \in H$ a dois elementos distintos em $C$, ao $2$ e ao $3$. Assim, $t$ não está associando a cada elemento de $H$ um único elemento em $C$. Logo, $t$ não é uma função.
Resumo da postagem em vídeo:
Nessa postagem você aprendeu o que é uma função e que, junto com uma função, sempre temos dois conjuntos, um chamado domínio e o outro contradomínio. É só isso que precisamos saber sobre funções? Com certeza, não... Continuaremos com mais detalhes sobre as funções nas próximas postagens.
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