Na postagem anterior vimos como resolver uma inequação do primeiro grau. Essa é a base para resolver qualquer inequação. Nessa postagem eu poderia abordar as inequações do segundo grau, mas vou além disso. Vou apresentar um método que pode ser usado para resolver qualquer inequação que possa ser escrita como um polinômio de grau maior ou igual a $2$, um símbolo de desigualdade e o zero. podemos chamar esse método de "análise de sinal de polinômios". Essa postagem é importante não só para a resolução de inequações. A análise de sinal de polinômios também é usada em assuntos mais avançados de matemática, como determinar os intervalos onde uma função polinomial é crescente ou decrescente, onde seu gráfico possui concavidade para cima ou para baixo e também para determinar seus pontos de máximos e mínimos locais. Para entender bem essa postagem é necessário que você saiba o que são raízes de polinômios, como encontrá-las e também como fatorar polinômios. Tendo recordado esses tópicos sobre polinômios, vamos lá!
Análise de sinal de polinômios
O que é fazer uma análise de sinal de um polinômio ou analisar o sinal de um polinômio? Esse processo consiste em determinar para quais valores de $x$ o polinômio é positivo, para valores de $x$ ele é zero e para quais valores de $x$ ele é negativo. Matematicamente, dado um polinômio qualquer
$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0,$$
analisar o seu sinal significa resolver as inequações
$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 > 0,$$
$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 < 0$$
e resolver a equação
$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_ 0= 0.$$
Por esse motivo, aprender a analisar o sinal de um polinômio é muito importante, esse método pode ser aplicado para resolver qualquer inequação em uma das formas
$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 > 0,$$
$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 \geq 0,$$
$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 < 0$$
ou
$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 \leq 0.$$
As inequações que podem ser escritas em um dos formatos acima são chamadas de inequações polinomiais. Quando $n=1$, temos uma inequação do primeiro grau (essa nos já estudamos), quando $n=2$ temos uma inequação do segundo grau, quando $n=3$, temos uma inequação do terceiro grau e assim por diante.
Já sabemos da importância que é saber analisar o sinal de um polinômio, mas como isso é feito? Esse processo é feito usando a fatoração completa de polinômios. Mas como a fatoração completa de polinômios é aplicada na análise de sinal de um polinômio? Para entender isso, considere primeiramente um produto $ab$ de dois números reais $a$ e $b$. É fácil saber qual é o sinal do produto $ab$. O produto $ab$ vai ser maior que zero quando $a > 0$ e $b > 0$ ou quando $a < 0$ e $b < 0$, o produto $ab$ será igual a zero quando $a=0$ ou $b=0$ e o produto $ab$ será negativo quando $a < 0$ e $b > 0 $ ou quando $a > 0$ e $b <0$. A mesma coisa acontece com o produto de polinômios, dado um polinômio $p(x)$, fatorando-o de forma completa, vamos ter
$$p(x) = q_1(x)q_2(x) \cdots q_n(x),$$
onde os $q_i(x)$ são polinômios de grau $1$ ou grau $2$ irredutíveis, com $i = 1,2, \dots, n$. Desse modo, para saber qual é o sinal de $p(x)$ para cada $x$, basta saber os sinais de cada $p_i(x)$, isto é, fazer a análise de sinal desses fatores, e fazer o jogo de sinal entre esses polinômios, o que é um trabalho mais fácil.
Agora, vamos o que está descrto acima nos exemplos, começando pelos mais fáceis e depois complicando um pouco.
Exemplos:
1. Analise o sinal do polinômio $x^2+x-2$.
Solução: A primeira coisa a se fazer ao analisar o sinal de um polinômio é fatorá-lo. Nesse exemplo temos um polinômio de grau $2$, o que facilita um pouco a nossa vida, pois, para encontrar suas raízes basta aplicarmos a fórmula de Bhaskara ou Soma e Produto (pode ser que ele não possua raízes, veremos esse caso adiante). Aplicando Soma e Produto ao polinômio $x^2+x-2$ segue que suas raízes são $x = 1$ e $x = -2$. Desse modo, como esse polinômio é mônico (coeficiente dominante é igual a $1$), temos que $x^2+x-2 = (x-1)(x+2)$. Agora, para analisar o sinal de $x^2+x-2$, vamos analisar o sinal dos fatores presentes na sua fatoração, isto é, vamos determinar para quais valores de $x$ os polinômios $x-1$ e $x+2$ são maiores que zero, zero e menores que zero. Isto é, vamos resolver as inequações
$$x-1 > 0, \; x-1 < 0,$$
$$x+2 > 0, \; x+2 < 0 $$
e as equações
$$x - 1 = 0 \mbox{ e } x+2 = 0.$$
Vamos começar analisando o sinal do fator $x-1$. Temos
\begin{eqnarray} x-1 & > & 0 \\ x &>& 1, \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} x-1 & < & 0 \\ x &<& 1 \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} x-1 & = & 0 \\ x &=& 1. \end{eqnarray}
Guarde esses resultados. Vamos agora analisar o sinal do fator $x+2$. Temos
\begin{eqnarray} x+2 & > & 0 \\ x &>& - 2, \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} x+2 & < & 0 \\ x &<& -2 \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} x+2 & = & 0 \\ x &=& -2. \end{eqnarray}
Novamente, guarde esses resultados.
Agora que analisamos os sinal de cada fator, vamos usar um diagrama para auxiliar a análise de sinal do polinômio $x^2+x-2$. Primeiramente, escreva os dois fatores, um em baixo do outro e, em baixo deles coloque o produto deles. Após fazer isso, trace um segmento na frente dos fatores e do produto deles, confome o exemplo:
Agora, vamos colocar no diagrama os resultados da análise de sinal que fizemos no polinômio $x-1$. Vamos lembrar, nós obtivemos que $x-1 > 0$ para $x > 1$, que $x-1 < 0$ para $x < 1$ e que $x-1=0$ para $x=1$. No segmento que está na frente do fator $x-1$, marque o número $1$ acima do segmento e abaixo dele, coloque o número $0$. Isso é para dizer que $x-1$ é igual a $0$ quando $x=1$. Agora, à esquerda do $0$ coloque sinais de menos e à direita do zero, coloque sinais de mais, isso porque $x-1$ é menor que $0$ quando $x < 1$ e $x-1$ é maior que $0$ quando $x > 1$. Faça isso conforme o exemplo:
Vamos colocar no diagrama os resultados da análise de sinal que fizemos no polinômio $x+2$. Vamos lembrar, nós obtivemos que $x+2 > 0$ para $x > -2$, que $x+2 < 0$ para $x < -2$ e que $x+2=0$ para $x=-2$. No segmento que está na frente do fator $x+2$, marque o número $-2$ acima do segmento e , abaixo dele, coloque o número $0$. Isso é para dizer que $x+2$ é igual a $0$ quando $x=-2$. Observemos que $-2 < 1$ e, por esse motivo, devemos marcar o $-2$ à esquerda do $1$ que foi marcado no segmento acima, isso é fundamental, devemos obedecer a ordem na reta numérica. Agora, à esquerda do $0$ coloque sinais de menos e à direita do zero, coloque sinais de mais, isso porque $x+2$ é menor que $0$ quando $x < -2$ e $x+2$ é maior que $0$ quando $x > -2$. Faça isso conforme o exemplo:
Depois de representar a análise de sinal de todos os fatores no diagrama, trace segmentos perpendiculares aos segmentos que estão na frente dos fatores passando pelos números que foram marcados, conforme o exemplo:
Agora vamos fazer marcações no segmento que está à frente do produto dos fatores. Marque o número $-2$ onde a perpendicular que passa pelo $-2$ cruza o segmento que está à frente do produto dos fatores e, em baixo do $-2$ coloque o $0$. Faça a mesma coisa com o número $1$.
Perceba que o último segmento está dividido em três partes. Nessas partes vamos colacar o resultado do jogo de sinal com os sinais que estão acima. Assim, vamos ter
Estamos chagando ao final. Basta interpretarmos o que está na última linha do diagrama. À esquerda do $-2$ temos sinais de mais, isto é, para valores de $x$ menores que $-2$, temos que $(x-1)(x+2) = x^2+x-2$ é maior que $0$. Em outras palavras, temos que $x^2+x-2>0$ no intervalo $(-\infty, -2)$. Entre os números $-2$ e $1$ temos sinais de menos, isto é, para valores de $x$ maiores que $-2$ e menores que $1$, temos que $(x-1)(x+2) = x^2+x-2$ é menor que $0$. Em outras palavras, temos que $x^2+x-2<0$ no intervalo $(-2, 1)$. À direita do $1$ temos sinais de mais, isto é, para valores de $x$ maiores que $1$, temos que $(x-1)(x+2) = x^2+x-2$ é maior que $0$. Em outras palavras, temos que $x^2+x-2>0$ no intervalo $(1, \infty)$. Em baixo dos números $-2$ e $1$ está o número $0$, assim, $(x-1)(x+2) = x^2+x-2$ é igual a $0$ para $x=-2$ e $x=1$. Assim, está feita a análise de sinal do polinômio $x^2+x-2$. Resumindo, temos:
O plonômio $x^2+x-2$ é positivo em $(-\infty, -2)$ e $(1, \infty)$, é negativo em $(-2, 1)$ e é zero em $-2$ e $-1$.
Viu como não é difícil? Pode ser trabalhoso, mas não é difícil. Antes de continuarmos com os exemplos, vamos ver uma obervação.
Observação: Se um polinômio de grau $2$, $ax^2+bx+c$, não tiver raiz, a sua análise de sinal é fácil de fazer. Nesse caso ele será somente positivo ou somente negativo. Para saber se ele será negativo ou positivo, basta olhar o sinal de $a$. Se $a$ for negativo, vamos ter $ax^2+bx+c < 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$ e se $a$ for positivo, vamos ter $ax^2+bx+c > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$. No final da postagem eu coloquei um vídeo justificando o motivo do polinômio não mudar de sinal se as condições dessa observação forem verificadas.
Vamos fazer mais dois exemplos e, para essa postagem não ficar muito longa, os próximos exemplos não serão feitos passo a passa como o primeiro, mas o raciocínio usado neles será exatamente o mesmo.
2. Analise o sinal do polinômio $2x^3-7x^2+9$.
Solução: Vamos começar fatorando o polinômio $2x^3-7x^2+9$. Uma das raízes desse polinômio é $x=-1$, pois $2 \cdot (-1)^3 - 7 \cdot (-1)^2 + 9 = -2-7+9=0$ (Como eu sei disso? Toda vez que preciso calcular uma raiz de um polinômio, antes de fazer qualquer coisa, eu testo os números $-1$ e $1$). Sendo assim, o polinômio $2x^3-7x^2+9$ é divisível por $x+1$ (para saber mais sobre isso, clique aqui). Dividindo $2x^3-7x^2+9$ por $x+1$, temos:
\begin{eqnarray} \Delta &=& (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 \\ &=& 81 - 72 \\ &=& 9 \end{eqnarray}
e assim,
\begin{eqnarray} x &=& \frac{-(-9) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} \\ &=& \frac{9 \pm 3}{4} \end{eqnarray}
Logo, as raízes desse polinômio são $x=3$ e $x \displaystyle\frac{3}{2}$. Desse modo, podemos dividir o polinômio $2x^2-9x+9$ por $x-3$. Fazendo essa divisão, temos:
Logo, $2x^2-9x+9 = (x-3)(2x-3)$. Temos então a fatoração completa do polinômio $2x^3-7x^2+9$, isto é:
$$2x^3-7x^2+9 = (x+1)(x-3)(2x-3).$$
Agora, vamos analisar o sinal de cada fator da fatoração acima. Para o fator $x+1$, temos:
\begin{eqnarray} x+1 & > & 0 \\ x &>& -1, \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} x+1 & < & 0 \\ x &<& -1 \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} x+1 & = & 0 \\ x &=& -1. \end{eqnarray}
Para o fator $x-3$, temos:
\begin{eqnarray} x-3 & > & 0 \\ x &>& 3, \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} x-3 & < & 0 \\ x &<& 3 \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} x-3 & = & 0 \\ x &=& 3. \end{eqnarray}
Para o fator $2x-3$, temos:
\begin{eqnarray} 2x-3 & > & 0 \\ 2x &>& 3 \\ x &>& \frac{3}{2}, \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} 2x-3 & < & 0 \\ 2x &<& 3 \\ x &<& \frac{3}{2} \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} 2x-3 & = & 0 \\ 2x &=& 3 \\ x &=& \frac{3}{2}. \end{eqnarray}
Passando os resultados obtidos para o digrama, temos:
Observe que, nesse caso, em cada parte que o último segmento foi dividido, fizemos o jogo de sinal com três sinais. De acordo com o diagrama, podemos concluir que o polinômio $2x^3-7x^2+9$ é maior que $0$ em $\left(-1, \displaystyle\frac{3}{2}\right)$ e $(3, +\infty)$, é menor que $0$ em $(-\infty, -1)$ e $\left(\displaystyle\frac{3}{2}, 3\right)$ e é igual a $0$ em $-1$, $\displaystyle\frac{3}{2}$ e $3$.
Vamos ao último exemplo.
3. Analise o sinal do polinômio $x^4-x^3+x^2-x$.
Solução: Novamente, vamos começar fatorando o polinômio $x^4-x^3+x^2-x$. Esse polinômio é mais fácil de fatorar (como eu sei disso? Pela experiência. Quanto mais exercícios você faz, mais fácil ficar de identificar o melhor caminho para encontrar a solução). Podemos fazer o seguinte:
\begin{eqnarray} x^4-x^3+x^2-x &=& x(x^3-x^2+x-1) \\ &=& x(x^2(x-1) + (x-1)) \\ &=& x(x-1)(x^2+1). \end{eqnarray}
Essa é uma fatoração completa o polinômio $x^4-x^3+x^2-x$. Apesar do polinômio $x^2+1$ ter grau $2$, ele não pode ser fatorado, pois ele não possui raízes reais (possui $\Delta = -4$). Como já temos a fatoração completa do polinômio $x^4-x^3+x^2-x$, vamos analisar o sinal de seus fatores.
Para o fator $x$ temos que $x$ é negativo quando $x<0$, que $x$ é positivo quando $x > 0$ é que é zero quando $x=0$.
Como já vimos, o fator $x^2+1$ não possui raízes, logo, o seu sinal é o mesmo para todo $x \in \mathbb{R}$. Nesse fator, temos $a = 1 > 0$, logo, $x^2+1 > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$.
Para o fator $x-1$, temos:
\begin{eqnarray} x-1 & > & 0 \\ x &>& 1, \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} x-1 & < & 0 \\ x &<& 1 \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} x-1 & = & 0 \\ x &=& 1. \end{eqnarray}
Passando os resultados obtidos para o digrama, temos:
Observe que no segmento que representa os sinais do fator $x^2+1$ só foram marcados sinais de mais. Isso foi feito pois ele não possui raízes e é positivo para todo $x \in \mathbb{R}$.
De acordo com o diagrama, temos que $x^4-x^3+x^2-x$ é positivo em $(-\infty,0)$ e em $(1,+\infty)$, é negativo em $(0,1)$ e é zero em $0$ e em $1$.
Exemplo em vídeo:
Acredito que, com os exemplos que foram feitos aqui, você será capaz de analisar o sinal de qualquer polinômio. A parte mais difícil do processo de análise de sinal de um polinômio é fatorá-lo, então, estude também as várias formas que podemos fatorar um polinômio (você pode estudr isso clicando aqui).
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