Expressões Algébricas #5: Simplificando expressões algébricas com potências e raízes

Que ótimo que estamos avançando no nosso estudo de expressões algébricas. Nas postagens anteriores vimos como somar, subtrair, multiplicar e dividir incógnitas e também vimos como simplificar potências e raízes de incógnitas. As postagens anteriores servem de base para as postagens que virão, elas apresentam o que é básico dentro do contexto de expressões algébricas. Agora, vamos, aos poucos, misturar tudo o que vimos e um pouco mais (hehe...). Nessa postagem  vamos ver maneiras de simplificar expressões algébricas envolvendo somas, subtrações e multiplicações de potências e raízes de incógnitas.

Simplificando expressões algébricas com potências e raízes

Nesse ponto em que estamos, acredito que a melhor forma de entendermos como simplificar expressões algébricas é por meio de exemplos, vendo alguns detalhes importantes em cada exemplo e ideias que podem ser usadas para simplificar outras expressões algébricas. É importante lembrar que a ordem das operações numa expressão algébrica é a mesma de uma expressão numérica, pois as letras representam números. Então, vamos aos exemplos.

Exemplos:

1. Simplifique a expressão algébrica $x-x^2+4x+x^3-3x^3+1$.

Solução: Nessa expressão temos a soma e a subtração de potências da incógnita $x$ e de números também. Para simplificar essa expressão temos que fazer as operações que estão nela entre os termos que são semelhantes. Já falei um pouco sobre termos semelhantes em uma das postagens anteriores, mas vou dar mais detalhes aqui. O termos semelhantes são a mesma incógnita e os múltiplos das potências de mesmo expoente dessa incónita. A expressão desse exemplo é:

$$x-x^2+4x+x^3-3x^3+1$$

Os termos dessa expressão, na ordem em que aparecem, são:

$$x, \; -x^2, \; 4x, \; x^3, \; -3x^3, \; 1$$

Vamos separar esses termos em grupos de termos semelhantes:

Grupo 1: $1$

Grupo 2: $x$, $4x$

Grupo 3: $-x^2$

Grupo 4: $-x^3$, $3x^3$

Esses são os termos semelhantes que temos nessa expressão. Para simplificar uma expressão algébrica não é necessário escrever essa separação em grupos que fiz nesse exemplo, fiz essa separação somente para deixar claro quais são os termos semelhantes. Podemos fazer isso simplesmente olhando para a expressão algébrica. Agora, vamos fazer as operações que aparecem em cada grupo de termos semelhantes, fazendo a aperação entre os números que estão multiplicando as potências de $x$ em cada termo. Temos,

\begin{eqnarray} x - x^2 + 4x + x^3 - 3x^3 + 1 &=& \underbrace{x +4x}_{\; Grupo \; 2 \;}  \underbrace{-x^2}_{\; Grupo \; 3 \;}  \underbrace{+x^3 - 3x^3}_{\; Grupo \; 4 \;}  \underbrace{+1}_{\; Grupo \; 1 \;} \\ &=& 5x - x^2 -2x^3 + 1 \end{eqnarray}

Observe que $x+4x = (1+4)x = 5x$ e $x^3-3x^3 = (1-3)x^3 = -2x^3$, ou seja, fizemos as operações que apareceram nos grupos dos termos semelhantes. Observe também que não existem termos semelhantes a $1$ e $x^2$, por isso ficaram como estão. Outra coisa importante para ser observada é que na passagem da primeira igualdade eu comutei (troquei de ordem) os termos da expressão para deixar os termos semelhantes juntos. Isso pode ajudar na simplificação, mas não é necessário. Mas, lembre-se, as operações de soma e subtração só podem ser feitas entre os termos semelhantes. Vamos usar essa ideia em todos os outros exemplos.

2. Simplifique as expressão algébrica $-2 + x^2-\sqrt{x}+3 - 2\sqrt{x}+x+x^2$.

Solução: Você pode até pensar que esse exemplo ficou mais difícil por conter algumas raízes. Mas, não se preocupe, vamos usar a mesma estratégia dos termos semelhantes. Os termos que possuem raízes quadradas só podem ser somados ou subtraídos com termos que possuem raízes quadradas, os termos que possuem raízes cúbicas só podem ser somados ou subtraídos com termos que possuem raízes cúbicas e assim por diante. E aqui, quando digo somados ou subtraídos, estou me referindo aos números que multiplicam essas raízes. Vamos reescrever a expressão agrupando os termos semelhantes e simplificá-la.

\begin{eqnarray} -2 + x^2 - \sqrt{x} + 3 - 2\sqrt{x} + x + x^2 &=& \underbrace{-2 + 3}_{\; \; \;}  \underbrace{+x^2+x^2}_{\; \; \;} \underbrace{-\sqrt{x}-2\sqrt{x}}_{\; \; \;} \underbrace{+ x}_{\; \; \;} \\ &=& 1 + 2x^2 - 3\sqrt{x} + x \end{eqnarray}

3. Simplifique a expressão algébrica $x^2-1+2x^{\frac{2}{3}}-3\sqrt{x}+5x^{\frac{2}{3}}+\displaystyle\frac{\sqrt{x}}{2}$.

Solução: Nessa expressão nós temos uma potência com expoente racional, mas isso não muda em nada a ideia de fazer a soma e a subtração entre os termos semelhantes. Temos

\begin{eqnarray} x^2-1+2x^{\frac{2}{3}} - 3\sqrt{x} + 5x^{\frac{2}{3}} + \frac{\sqrt{x}}{2} &=& x^2-1+2x^{\frac{2}{3}}+5x^{\frac{2}{3}}-3\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{2} \\ &=& x^2 -1 +7x^{\frac{2}{3}}-\frac{5\sqrt{x}}{2}\end{eqnarray}

4. Simplifique a expressão algébrica $x^{-2} + \sqrt[3]{x} - 3x^{-2}+4\sqrt[3]{x}-x^2$.

Solução: Vamos seguir o mesmo raciocínio, somar e subtrair os termos semelhantes. Temos

\begin{eqnarray} x^{-2}+\sqrt[3]{x} - 3x^{-2}+4\sqrt[3]{x}-x^2 = -2x^{-2} + 5\sqrt[3]{x} - x^2\end{eqnarray}

Vamos introduzir nos próximos exemplos multiplicações de potências das incógnitas.

5. Simplifique a expressão algébrica $x^3(x^2+2)+5x-2x^3$.

Solução: Nesse exemplo, um dos fatores da expressão é $x^3(x^2+2)$. Para fazer essa multiplicação temos que usar a propridade distributiva da multiplicação. Vamos lembrá-la rapidamente: para $a$, $b$ e $c$ números reais quaisquer, vale:

$$a(b+c) = ab+ ac$$

No caso da multiplicação $x^3(x^2+2)$, o $x^3$ faz o papel do $a$, o $x^2$ faz o papel do $b$ e o $2$ faz o papeol do $c$. Assim, reescrevemos a expressão

\begin{eqnarray} x^3(x^2+2) + 5x - 2x^3 = x^3x^2+x^32+5x-2x^3 \end{eqnarray}

Agora, para simplificar o lado direito do sinal de igual, vamos usar a propriedade de potenciação que nos que quando multiplicamos potências de mesma base, somam-se os expoentes e, depois disso, vamos somar os termos semelhantes. Temos

\begin{eqnarray} x^3(x^2+2) + 5x - 2x^3 &=& x^3x^2+x^32+5x-2x^3 \\ &=& x^5+2x^3+5x-2x^3 \\ &=& x^5+5x \end{eqnarray}

6. Simplifique a expressão algébrica $(\sqrt{x}+1)(x^2-1) + x^{\frac{5}{2}}-4$.

Solução: Novamente vamos precisar usar a propriedade distributiva da multiplicação. Vamos aplicá-la passo a passo não nos esquecendo do jogo de sinais. Simplificando essa expressão algébrica, temos:

\begin{eqnarray} (\sqrt{x}+1)(x^2-1) + x^{\frac{5}{2}} - 4 &=& (\sqrt{x}+1)x^2 + (\sqrt{x}+1)(-1) + x^{\frac{5}{2}} -4 \\ &=& \sqrt{x}x^2+1x^2+\sqrt{x}(-1) + 1(-1) + x^{\frac{5}{2}}-4 \\ &=& x^{\frac{1}{2}}x^2+x^2-\sqrt{x}-1+x^{\frac{5}{2}}-4 \\ &=& x^{\frac{5}{2}}+x^2-\sqrt{x}-1+x^{\frac{5}{2}}-4 \\ &=& 2x^{\frac{5}{2}} + x^2 -\sqrt{x} -5\end{eqnarray} 

Nesse exemplo tranformamos uma raiz em uma potência, ou seja, $\sqrt{x}$ em $x^{\frac{1}{2}}$ para escrever o produto $\sqrt{x}x^2$ na forma $x^{\frac{5}{2}}$. Isso pode ser usado para "juntar" raízes com potências de uma mesma incógnita numa multiplicação. 

7. Simplifique a espressão algébrica $\sqrt{x}(\sqrt{x}+x^{\frac{3}{2}})-x(x+2)+x^5$.

Solução: Temos

\begin{eqnarray} \sqrt{x}(\sqrt{x}+x^{\frac{3}{2}})-x(x+2)+x^5 &=& \sqrt{x}\sqrt{x}+\sqrt{x}x^{\frac{3}{2}}-xx-x2+x^5 \\ &=& \left(\sqrt{x}\right)^2 + x^{\frac{1}{2}}x^{\frac{3}{2}} - x^2-2x+x^5 \\ &=& x+x^{2}-x^2-2x+x^5 \\ &=& -x+x^5 \end{eqnarray}

A seguir veremos mais exemplos de simplificação de expressões algébricas com duas incógnitas.

8. Simplifique a expressão algébrica $(2x^2-4)y + y^2-x^2y+x$.

Solução: Vamos fazer a primeira multiplicação que aparece nessa expressão algébrica para vermos quais os termos que aparecem nessa expressão. Temos

\begin{eqnarray} (2x^2-4)y+y^2-x^2y+x = 2x^2y-4y+y^2-x^2y+x \end{eqnarray}

Observe que, nessa expressão algébrica, temos uns termos que podemos chamar de mistos. Esses termos são aqueles que apresentam o produto de potências de duas ou mais incógnitas diferentes. Esses termos entram na mesma regra dos termos semelhantes, isto é, o termo $2x^2y$ só pode ser somado ao termo $-x^2y$. Quando temos mais de uma incógnita numa expressão algébrica, podem aparecer esses termos mistos. Só podemos somar e subtrair aqueles que possuem as mesmas incónitas multiplicadas e com os mesmos expoentes. Assim, 

\begin{eqnarray} (2x^2-4)y+y^2-x^2y+x &=& 2x^2y-4y+y^2-x^2y+x \\ &=& x^2y-4y-x^2+x \end{eqnarray}

9. Simplifique a expressão algébrica $xy^2-xy^{-\frac{1}{2}}+xy(y^{-\frac{1}{2}}-y)$.

Solução: Vamos seguir o mesmo raíciocínio que estamos usando, vamos multiplicar primeiro usando a propriedade distributiva, usar propriedades e definições de potências e depois somar e subtrair os termos semelhantes. Temos

\begin{eqnarray} xy^2-xy^{-\frac{1}{2}}+xy(y^{-\frac{1}{2}}-y) &=& xy^2-xy^{-\frac{1}{2}} + xyy^{-\frac{1}{2}}-xyy \\ &=& xy^2-xy^{-\frac{1}{2}}+xy^{-\frac{1}{2}}-xy^2 \\ &=& 0 \end{eqnarray}

10. Simplifique a expressão algébrica

$$3x + \frac{1}{2}\left[ x^2 + y(x^3+yx-y^{-1}x^2) + \sqrt{x+y}\right].$$

Solução: Seguindo o que já estamos fazendo, temos

\begin{eqnarray} 3x + \frac{1}{2}\left[ x^2 + y(x^3+yx-y^{-1}x^2) + \sqrt{x+y}\right] &=& 3x + \frac{1}{2}\left[ x^2 + x^3+yyx-yy^{-1}x^2 + \sqrt{x+y}\right] \\ &=& 3x + \frac{1}{2}\left[ x^2 + x^3+y^2x-x^2 + \sqrt{x+y}\right] \\ &=& 3x + \frac{1}{2}\left[ x^3+y^2x + \sqrt{x+y}\right]  \\ &=& 3x + \frac{1}{2}x^3+\frac{1}{2}xy^2 + \frac{1}{2}\sqrt{x+y}\end{eqnarray}

Observação importante: Sobre o exemplo anterior, temos um termo com $\sqrt{x+y}$. Esse termo fica assim mesmo. Não podemos "abrir" uma raiz, independentemente do seu índice, ou seja, 

$$\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$$

para quaisquer que sejam $a$ e $b$, incógnitas ou números diferentes de zero. Essa igualdade vai ser verdadeira se, e somenete se, $a=0$ ou $b=0$.

Exemplo em vídeo:

Com esses exemplos já pegamos o jeito de simplificar esse tipo de expressão. Com as ideias apresentadas aqui, você consiguirá simplicar esse tipo de expressão sem muitas dificuldades. 

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Expressões Algébricas #4: Potências e raízes de letras

Nas últimas duas postagens (acesse-as por aqui) vimos como somar, subtrair, multiplicar e dividir letras em uma expressão algébrica. Mas, numa expressão algébrica há outras operações envolvendo letras além dessas, a saber, as potências e as raízes. Nessa postagem vamos ver o que fazer quando aparecem potências e raízes de letras em expressões algébricas. Para isso, vamos lembrar as definições de potências com expoentes naturais, inteiros e racionias e também a definição de raiz de índice $n$. Já vimos nas postagens anteriores que as letras são chamadas de incógnitas ou variáveis. Daqui em diante as chamaremos incógnitas.

Potências e raízes de letras

Para entender como funcionam ou o que significam as potências e as raízes de uma incógnita basta lembrar que as incógnitas representam números, assim, todas as definições e propriedades envolvendo potências e raízes de números também valem para as incógnitas, a diferença é, como a própria palavra incógnita nos diz, a incógnita é um número que não sabemos qual é. 

Definições de potências com expoentes naturais e inteiros

Considere um número real $x$ qualquer ($x$ é uma incógnita). Chamamos de potência de base $x$ e expoente natural $n$ o número $x^n$, o qual é definido como segue:

$$\left\{\begin{array}{l} x^0 = 1 \mbox{ se } x \neq 0 \\ x^n = x^{n-1} \cdot x \mbox{ para todo } n \in \mathbb{N} \mbox{ e } n \geq 1.\end{array} \right.$$

Para ficar ainda mais claro, vamos escrever algumas potências para alguns valores de $n$:

$$\begin{eqnarray} x^0 &=& 1 \\ x^1 &=& x^0 \cdot x = x \\ x^2 &=& x^1 \cdot x = x \cdot x \\ x^3 &=& x^2 \cdot x = x \cdot x \cdot x \\ x^4 &=& x^3 \cdot x = x \cdot x \cdot x \cdot x \\ x^5 &=& x^4 \cdot x = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \\ \vdots & & \\ x^n &=& x^{n-1} \cdot x = \underbrace{x \cdot x \cdots x}_{n \; fatores}  \end{eqnarray}$$

Dado um número real $x$ ($x$ é uma incógnita), diferente de zero, e um número inteiro positivo $n$, definimos a potência de base $x$ e expoente $-n$, denotada por $x^{-n}$, (observe que, se $n$ é positivo, $-n$ será negativo) como sendo

$$x^{-n} = \displaystyle\frac{1}{x^n}.$$

Pela definição acima, vemos que $x^{-n}$, com $x \neq 0$, é o inverso de $x^n$. Também podemos dizer que $x$ está elevado a $-n$.

Definição de raiz de índice $n$

Considere um número natural $n$ maior que $1$ e $x$ um número real (uma incógnita). Chamamos de raiz de índice $n$ ou raiz $n$-ésima do número real $x$ ao número real $b$, de mesmo sinal que $x$, tal que $b^n = x$. Denotamos a raiz de índice $n$ (raiz $n$-ésima) de $x$ por $\sqrt[n]{x}$ onde $n$ é o índice da raiz e $x$ é o radicando.

O símbolo $\sqrt[n]{ \mbox{ }}$ é chamado radical. 

Quando o índice é igual a $2$, chamamos a raiz de índice $2$ de raiz quadrada e, no radical que a denota, omitimos o número $2$, ficando na forma $\sqrt{x}$. Quando o índice é igual  a $3$, chamamos a raiz de índice $3$ de raiz cúbica. Somente quando o índice é igual a $2$ é que omitimos o índice no radical, assim, os radicais com índice maior ou igual a três devem conter o índice na sua notação, por exemplo, $\sqrt[3]{x}$. Quando o índice da raiz é igual a $4$, chamamos a raiz de índice $4$ de raiz quarta. Se o índice for igual a $5$, chamamos a raiz de índice $5$ de raiz quinta. Seguindo esse raciocínio, nomeamos as raízes de índices superiores.

Na definição de raiz de índice $n$ está explicado o que significa $\sqrt[n]{x}$. Mas quando aparece uma raiz dessa numa expressão algébrica, a intenção não é calculá-la, mas simplificá-la, se possível.

Definição de potência com expoente racional

Dados $x \in \mathbb{R}$ com $x \geq 0$ e $\displaystyle\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$, com $p \in \mathbb{Z}$ e $q \in \mathbb{N}$, $q \neq 0$, definimos a potência de base $x$ e expoente $\displaystyle\frac{p}{q}$ por

$$a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{x^p}.$$

A definição de potência com expoente inteiro negativo se extende para o caso em que o expoente é um número racional negativo, isto é,

Dado um número $x$ ($x$ é uma incógnita), diferente de zero, e um número racional positivo $\displaystyle\frac{p}{q}$, com $q \neq 0$ definimos a potência de base $x$ e expoente $-\displaystyle\frac{p}{q}$, denotada por $x^{-\frac{p}{q}}$, como sendo

$$x^{-\frac{p}{q}} = \displaystyle\frac{1}{x^{\frac{p}{q}}}.$$

Guarde bem essas definições, elas são fundamentais na simplificação de expressões algébricas.

Propriedades das potências e das raízes

Propriedades das potências: Sejam $m,n \in \mathbb{Q}$ e $x,y \in \mathbb{R}$ (incógnitas). Temos

(i) $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$;

(ii) $\displaystyle\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$;

(iii) $(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$;

(iv) $\left(\displaystyle\frac{x}{y}\right)^n = \displaystyle\frac{x^n}{y^n}$ se $y \neq 0$;

(v) $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$

Propriedades das raízes: Sejam $x,y \in \mathbb{R}$, com $x,y \geq 0$ (incógnitas), $m \in \mathbb{Z}$ e $n,p \in \mathbb{N}$ onde $m \neq 0$ e $n,p \geq 2$. Valem:

(i) $\sqrt[n]{x^n} = x$;

(ii) $\sqrt[n]{x \cdot y} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$;

(iii) $\displaystyle\sqrt[n]{\displaystyle\frac{x}{y}} = \displaystyle\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$ se $y \neq 0$;

(iv) $(\sqrt[n]{x})^m = \sqrt[n]{x^m}$;

(v) $\sqrt[p]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[p \cdot n]{x}$;

(vi) $\sqrt[n]{x^m} = \sqrt[n \cdot p]{x^{m \cdot p}}$.

(vii) Se $\sqrt[n]{x} = y$, temos que $x^n = y$. Assim, $(\sqrt[n]{x})^n = y^n = x$ e, portanto, $(\sqrt[n]{x})^n = x$.

Na prática, para simplificar ou reescrever expressões algébricas com potências e raízes, usamos as propriedades das potências e das raízes listadas acima. Vamos ver a seguir exemplos de como usá-las em expressõe algébricas.

Exemplos:

Nos exemplos a seguir, $x$, $y$ e $z$ são incógnitas.

1. $2x^2 \cdot 5x^3= 10x^{2+3} = 10x^5$

2. $3x^5x^{-3} = 3x^{5-3} = x^2$

3. $x\sqrt{x} = 2xx^{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{3}{2}} = 2\sqrt{x^3}$. Observe que nesse exemplo reescrevemos $\sqrt{x}$ em $x^{\frac{1}{2}}$ de acordo com a definição de portência  com índice racional e usamos propriedade (i) das potências.

4. $\displaystyle\frac{\sqrt{x}y^2\sqrt{x}}{y} = \displaystyle\frac{\sqrt{x}\sqrt{x}y^2}{y} = \displaystyle\frac{(\sqrt{x})^2y^2}{y} = xy$

Para facilitar a simplificação de produtos de radicais de uma incógnita, podemos escrever os radicais em forma de potência com expoente racional, usar as propriedades de potências e depois, se necessário, escrever o resultado (a simplificação)  na forma de radical.

5. $\sqrt{x}\sqrt[3]{x^4} = x^{\frac{1}{2}}x^{\frac{4}{3}} = x^{\frac{1}{2}+\frac{4}{3}} = x^{\frac{11}{6}} = \sqrt[6]{x^{11}}$

6. $3x^22yx^{-3} = 6x^2x^{-3}y=6x^{-1}y = 6 \cdot \displaystyle\frac{1}{x} \cdot y = \displaystyle\frac{6y}{x}$

7. $x^{-4}y^43x^5\displaystyle\frac{1}{2}y = \displaystyle\frac{3}{2}x^{-4}x^{5}y^4y = \displaystyle\frac{3}{2}xy^5 = \displaystyle\frac{3xy^5}{2}$

8. $x^2yx^{-3}y^{-2} = x^{2}x^{-3}yy^{-2} = x^{-1}y^{-1} = (xy)^{-1} = \displaystyle\frac{1}{xy}$

9. $\sqrt{x}y\sqrt{y^3}x^{2} = x^{\frac{1}{2}}x^{2}yy^{\frac{3}{2}} = x^{\frac{5}{2}}y^{\frac{5}{2}} = (xy)^{\frac{5}{2}} = \sqrt{(xy)^5}$

Antes de continuar os exemplos, vamos ver o que acontece quando temos um potência com expoente negativo (que pode ser uma fração) de uma incógnita $x$ no denominador

\begin{eqnarray} \frac{1}{x^{-n}} &=& \frac{1}{\frac{1}{x^n}} \\ &=& 1 \cdot \frac{x^n}{1} = x^n \end{eqnarray}

Podemos concluir então que, se um potência negativa está no denominador, ela pode "subir" trocando o sinal do expoente.

Vamos prosseguir com os exemplos:

10. $\displaystyle\frac{3x^4x^2}{x^3} = \displaystyle\frac{3x^6}{x^3} = 3x^3$

11. $\displaystyle\frac{x^5\sqrt{x}}{4x} = \displaystyle\frac{x^4\sqrt{x}}{4} = \displaystyle\frac{x^4x^{\frac{1}{2}}}{4} = \displaystyle\frac{x^{\frac{9}{2}}}{4}$

12. $\displaystyle\frac{5x^33x^{-2}}{x^{-3}} = \displaystyle\frac{15x^{3}x^{-2}}{x^{-3}} = \displaystyle\frac{15x}{x^{-3}} = 15xx^3 = 15x^4$

13. $\displaystyle\frac{5xx^{\frac{6}{5}}y^{-\frac{1}{2}}}{x^2y} = \displaystyle\frac{5x^{\frac{11}{5}}y^{-\frac{1}{2}}}{x^2y} = \displaystyle\frac{5x^{\frac{11}{5}}x^{-2}}{yy^{\frac{1}{2}}} = \displaystyle\frac{5x^{\frac{1}{5}}}{y^{\frac{3}{2}}}$

14. $\displaystyle\frac{x^{\frac{1}{3}}yz^{4}}{xy^{-2}z^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{3}}x^{-1}yy^2z^{4}z^{-\frac{1}{2}} = x^{-\frac{2}{3}}y^3z^{\frac{7}{2}} = \displaystyle\frac{y^3z^{\frac{7}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

15. $\displaystyle\frac{x^{\frac{3}{2}}y^{-2}z^2}{x^{-\frac{1}{2}}y^{-3}z} = \displaystyle\frac{x^{\frac{3}{2}}x^{\frac{1}{2}}y^{-2}y^{3}z^2}{z} = xyz$

É muito importante que você saiba todas a propriedades das potências e das raízes para fazer as simplicações nas expressões algébricas. Desse modo, nenhuma delas vai ser um bicho de sete cabeças.

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Expressões Algébricas #3: Como multiplicar e dividir letras?

Na postagem anterior vimos como fazer somas e subtrações em expresões algébricas e já consiguimos fazer simplificações em algumas expressões com essas operações. Nessa postagem vamos aprender como fazer multiplicações e divisões em expressões algébricas. Vamos aprender o que fazer quando números multiplicam ou dividem múltiplos de incógnitas e vamos aprender também o que fazer quando duas incógnitas, iguais ou diferentes, são multiplicadas ou divididas, uma pela outra. Vamos lá!

Como multiplicar e dividir letras?

Vamos ver como multiplicar e dividir letras em partes.

Multiplicando um número por um múltiplo de uma incógnita

Na postagem anterior vimos que como somar e subtrair dois múltiplos de uma incógnita, isto é, vimos como fazer $3x+\displaystyle\frac{1}{2}x$ e $\sqrt{2}x-4x$. Agora, se tivermos um número multiplicando, por exemplo, $5x$? Nesse caso, basta multiplicar este número por $5$ e multiplicar por $x$. Vejamos alguns exemplos:

1. $3 \cdot 4x = 12x$

2. $8 \cdot \displaystyle\frac{2}{3}x = \displaystyle\frac{16}{3}x$. Observe que $8$ pode ser visto como $\displaystyle\frac{8}{1}$ e que, na multiplicação de frações, multiplicamos o de cima (numerador) com o de cima e o de baixo (denominador) com o de baixo.

3. $-\displaystyle\frac{5}{4} \cdot 3x = -\displaystyle\frac{15}{4}x$. Não se esqueça de fazer o jogo de sinal quando aparecer números negativos.

4. $\displaystyle\frac{1}{3} \cdot \left(\displaystyle\frac{4}{7}x\right) = -\displaystyle\frac{4}{21}x$.

5. $4 \cdot \displaystyle\frac{1}{8}x = \displaystyle\frac{4}{8}x = \displaystyle\frac{1}{2}x$. 

6. $\displaystyle\frac{4}{3} \cdot \displaystyle\frac{7}{2}x = \displaystyle\frac{24}{6}x = 4x$

7. $-4 \cdot (-\sqrt{3}x) = 4\sqrt{3}x$. Quando multiplicamos um número que não é uma raiz por uma raiz, não é necessário aproximar o valor da raiz para fazer a conta, pode deixar assim mesmo.

Observação: A multiplicação de um múltiplo de uma incógnita por um número pode ocorrer pela direita, como por exemplo:

$$4x \cdot 5 = 5 \cdot 4x = 4 \cdot 5x = 20x.$$

Isso ocorre pois a incógnita, independentemente de qual for, sempre representa um número e a multiplicação é comutativa.

Multiplicando dois múltiplos de uma incógnita

Como podemos multiplicar $x$ por $3x$ ou $y$ por $2x$? Vamos analisar esses casos separadamente.

Quando as letras são iguais: Precisamos sempre ter em mente que as letras representam números, assim, as propriedades algébricas que as operações possuem com respeito aos números, também possuem com respeito às letras. A multiplicação $5 \cdot 5$ pode ser escrita como $5^2$, a multiplicação $4 \cdot 4 \cdot 4$ pode ser escrita como $4^3$ e assim por diante. Com as letras não é diferente, temos

\begin{eqnarray} x &=& x^1 \\ x \cdot x &=& x^2 \\ x \cdot x \cdot x &=& x^3 \\ &\vdots & \\ \underbrace{x \cdot x \cdots x}_{n \: fatores} &=& x^n \end{eqnarray}

É importante lembrar também que, para as letras também valem todas a propriedades de potenciação (pois elas representam números). Vejas as propriedades da potenciação aqui. Vejamos alguns exemplos

Exemplos: 

8. $x \cdot 4x = x4x = 4xx = 4x^2$. A ordem dos fatores sempre pode mudar, visto que a multiplicação é comutativa.

9. $x \cdot \sqrt[3]{5}x = \sqrt[3]{5}x^2$

10. $-\displaystyle\frac{3}{4}x \cdot 5x = -\displaystyle\frac{3}{4} \cdot 5 x x = -\displaystyle\frac{15}{4}x^2$

11. $\sqrt{2}x \cdot (-4x^2) = -\sqrt{2} \cdot 4 xx^2 = -4\sqrt{2}x^3$. Aqui usamos a propriedade da potenciação que diz que quando multiplicamos potências de mesma base, somam-se os expoentes.

12. $\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{5}x^2 \cdot x^3 = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{5}x^2x^3 = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{5}x^5$

Quando as letras não são iguais: Quando multiplicamos duas letras diferentes, por exemplo $x$ por $y$, não há muito o que fazer, basta escrever como "resultado" $xy$. Como não conhecemos quais são os números $x$ e $y$, indicamos a mulplicação de $x$ por $y$ por $xy$, simplesmente. Vejamos alguns exemplos:

13. $y \cdot 3x = y3x = 3xy = 3yx$. Lembre-se sempre que a multiplicação é comutativa.

14. $-5x \cdot \displaystyle\frac{2}{3}y = -5 \cdot \displaystyle\frac{2}{3}xy = -\displaystyle\frac{10}{3}xy$

15. $-\sqrt{5}y^2 \cdot (-x) = -\sqrt{5}y^2x$

16. $\displaystyle\frac{1}{2}y^3 \cdot \sqrt{3}x^5 = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}y^3x^5$

Podemos ainda ter os dois tipos de multiplicação abordados acima juntos.

17. $5xy \cdot 4xy^2 = 5 \cdot 4xyxy^3 = 5 \cdot 4 xxyy^3 = 20x^2y^3$

18. $-\displaystyle\frac{5}{6}x^5y^2 \cdot 12x^2y = 10x^7y^3$.

Observação: Fizemos os exemplos usando as letras $x$ e $y$, mas poderíamos ter feito esses mesmos exemplos com outras letras, $a$ e $b$ por exemplo. As letras em si não importam, o que importa é entender como as operações entre elas funcionam. Podemos estender essas ideias acima para um número finito de letras.

Dividindo um múltiplo de uma incógnita por um número

Como podemos fazer $3x$ dividido por $2$? Em uma expressão algébrica, essas divisões aparecem geralmente no formato de uma fração, ou seja, nesse caso teríamos $\displaystyle\frac{3x}{2}$. Dados dois números quaisquer $m$ e $n$ com $n$ diferente de $0$, temos

$$\displaystyle\frac{mx}{n} = \displaystyle\frac{m}{n}x.$$

Assim, $\displaystyle\frac{3x}{2} = \displaystyle\frac{3}{2}x$. Isso nos diz que, se for possível, dividimos o número que multiplica o $x$ e, caso contrário, deixamos como está. Vejamos alguns exemplos.

Exemplos:

19. Podemos deixar a expressão $\displaystyle\frac{4x}{5}$ como está, pois $4$ não é divisível por $5$.

20. $\displaystyle\frac{12x}{6} = \displaystyle\frac{12}{6}x = 2x$

21. $\displaystyle\frac{21}{24}x = \displaystyle\frac{7}{8}x$. Aqui não é possível dividir $21$ por $24$, mas podemos simplificar a fração $\displaystyle\frac{21}{24}$, dividindo por $3$ o numerador e o denominador, obtendo $\displaystyle\frac{7}{8}$.

22. Podemos ter uma divisão de frações também, por exemplo, $\displaystyle\frac{2x}{\frac{2}{3}}$. Nesse caso devemos lembrar como é feita a divisão de frações, copia o de cima e multiplica pelo inverso do debaixo. Assim,

$$\displaystyle\frac{2x}{\frac{2}{3}} = 2x \cdot \displaystyle\frac{3}{2} = 3x$$

23. $\displaystyle\frac{\frac{3}{5}x}{-\frac{4}{3}} = -\displaystyle\frac{3}{5}x \cdot \displaystyle\frac{3}{4} = -\displaystyle\frac{9x}{20}$

24. $\displaystyle\frac{-\sqrt[3]{5}x}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt[3]{5}x\displaystyle\frac{2}{\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{2\sqrt[3]{5}x}{\sqrt{2}}$

Observação: Nos exemplos acima poderíamos  trocar o $x$ por qualquer potência dele ou ainda pelo multiplicação de mais letras que essas divisões seriam efetuadas da mesma forma.

Dividindo dois múltiplos de uma potência de uma incógnita

Como podemos fazer as divisões $\displaystyle\frac{3x^2}{2x}$, $\displaystyle\frac{-5x^6}{3x^7}$ e $\displaystyle\frac{4y}{\sqrt{2}x}$? Vamos analisar esses dois tipos de divisões separadamente.

Quando as incógnitas são iguais: Sempre devemos nos lembrar que as letras representam números, assim, as propriedades algébricas que as operações possuem com respeito aos números, também possuem com respeito às letras. A divisão $\displaystyle\frac{5^3}{5^2}$ é igual a  $5$ e, obtemos esse resultado usando a seguinte propriedade de potências

$$\displaystyle\frac{5^3}{5^2} = 5^{3-2} = 5^1 = 5$$

Para as letras também vale essa propriedade de potenciação (pois elas representam números). Vejamos alguns exemplos:

Exemplos:

25. No caso particular de dividirmos um número por um múltiplo de uma letra ou uma potência dela, não há o que fazer, o resultado será uma fração com uma letra no denominador, como por exemplo

$$\frac{1}{x}, \: \frac{-\sqrt{2}}{x^3}, \: \frac{3}{5x^2}$$

26. $\displaystyle\frac{3x^4}{x^2} = 3 \displaystyle\frac{x^4}{x^2} = 3x^2$

27. $\displaystyle\frac{\sqrt{5}x^6}{2x^3} = \displaystyle\frac{\sqrt{5}}{2}x^3$

28. $\displaystyle\frac{-3x^3}{5x^7} = -\displaystyle\frac{3}{5} \cdot \displaystyle\frac{x^3}{x^7} = -\displaystyle\frac{3}{5} \cdot x^{-4} = -\displaystyle\frac{3}{5} \cdot \displaystyle\frac{1}{x^4} = -\displaystyle\frac{3}{5x^4}$.

Esse exemplo foi feito em detalhes, mas usando a propriedade de divisão de potência de mesma base, do primeiro sinal de igual, já poderíamos ter pulado para o último. Não há problema em deixar uma letra com potência negativa, se preferir.

29. $\displaystyle\frac{3x}{2x^2} = \displaystyle\frac{3}{x}$

30. $\displaystyle\frac{3x^2}{-\sqrt[3]{9}x^7} = -\displaystyle\frac{3}{\sqrt[3]{9}x^5}$

Quando as incógnitas não são iguais: Quando dividimos duas letras diferentes ou potências dela, por exemplo $x^3$ por $y^2$, não há  o que fazer, basta escrever como "resultado" $\displaystyle\frac{x^3}{y^2}$. Como não conhecemos quais são os números $x$ e $y$, a divisão fica dessa forma mesmo. Vejamos alguns exemplos:

31. $\displaystyle\frac{3x}{4y}$

32. $\displaystyle\frac{6x^2}{2y} = \displaystyle\frac{3x^2}{y}$. Nesse exemplos temos podemos dividir o $6$ pelo $2$, visto que,

$$\displaystyle\frac{6x^2}{2y} = \displaystyle\frac{6}{2} \cdot \displaystyle\frac{x^2}{y} = 3\displaystyle\frac{x^2}{y} = \displaystyle\frac{3x^2}{y}.$$

33. $\displaystyle\frac{10x^3}{8y^2} = \displaystyle\frac{5x^3}{4y^2}$. Observe que $10$ não é divisível por $8$, mas podemos simplificar a fração $\displaystyle\frac{10}{8}$ dividindo do numerador e o denominador por $2$, obtendo a fração $\displaystyle\frac{5}{4}$.

Pode-se ocorrer também divisões misturando o que vimos nos exemplos anteriores, ou seja, duas ou mais incógnitas, tanto no numerador quanto no deniminador.

34. Vamos fazer esse exemplos com mais detalhes.

\begin{eqnarray} \frac{4x^4y^3}{5xy^2} &=& \frac{4}{5} \cdot \frac{x^4}{x} \cdot \frac{y^3}{y^2} \\ &=& \frac{4}{5} x^3 \cdot y \\ &=& \frac{4x^3y}{5} \end{eqnarray}

35. Vamos fazer mais esse exemplos com mais detalhes 

\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{3}x^2y}{xy^3} &=& \sqrt{2} \cdot \frac{x^2}{x} \cdot \frac{y}{y^3} \\ &=& \sqrt{2} \cdot x \cdot \frac{1}{y^2} \\ &=& \frac{\sqrt{2}x}{y^2} \end{eqnarray}

36. $\displaystyle\frac{-5x^3y^5}{7xy^2z} = -\frac{5x^2y^3}{7z}$

37. $\displaystyle\frac{10x^2y^5z^2}{-3x^3y^6z} = -\frac{10z}{3xy}$

Viu só? Não é dificícil fazer as contas de multiplicação e divisão com letras, tudo se resume a propriedades operacionais que já conhecemos com os números. Nas próximas postagens veremos como simplificar expressões algébricas mais complicadas.

Resumo da postagem em vídeo com outros exemplos:

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