Acredito que a primeira dificuldade de todos que se depararam com uma expressão algébrica pela primeira vez foi fazer contas com letras. Pois, como assim, somar e multiplicar duas letras? Olha, na minha opinião, é bem mais fácil fazer contas com letras do que com números. Meu objetivo a partir dessa postagem é te mostrar como fazer as operações de soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e racidiação em uma expressão algébrica e fazer você concordar comigo à respeito das contas com as letras. Você vai ver, não há nenhum segredo. Vamos começar com a soma e a subtração nas expressões algébricas. Vamos lá!
Como somar e subtrair letras?
Na postagem anterior vimos que as letras, nas expressões algébricas, representam números. Chamamos a cada letra em uma expressão algébrica de incógnita ou de variável da expressão algébrica.
Antes de falarmos propriamente da soma e da subtração com as incógnitas, vamos falar um pouco sobre múltiplos dessas incógnitas. Lembrando, um múltiplo de um número ou, no nosso caso, de uma incógnita, é este número ou incógnita multiplicado por outro número. Por exemplo $3 \cdot 5 = 15$ é um múltiplo de $5$ (e também um múltiplo de $3$) e $4x$ é um múltiplo de $x$. Vamos ver a seguir alguns tipos de múltiplos.
Múltiplos inteiros de uma incógnita
Nas expressões algébricas, com uma incógnita $x$, sempre aparecem termos na forma $5x$ ou $-2x$, mas o que significa isso? O número que está na frente do $x$ está multiplicando o $x$. No primeiro caso temos $5$ vezes $x$ e no segundo, $-2$ vezes $x$. Por definição, para qualquer número $n$ inteiro positivo, os múltiplos inteiros de $x$ são definidos como segue:
\begin{eqnarray}0 &=& 0x \\ x &=& 1x \\ x + x &=& 2x \\ x + x + x &=& 3x \\ & \vdots & \\ \underbrace{x + x + \cdots + x}_{n \; parcelas} &=& nx \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} -x &=& -1x \\ -x -x = &=& -2x \\ = -x-x-x &=& -3x \\ & \vdots & \\ \underbrace{-x -x - \cdots -x}_{n \; parcelas} &=& -nx, \; n>0 \end{eqnarray}
Múltiplos fracionários de uma incógnita
Dada uma incógnita $x$, podemos pensar em múltiplos frácionários de $x$, isto é, podemos múltiplicar $x$ por uma fração, como por exemplo $\displaystyle\frac{1}{2}x$ e $-\displaystyle\frac{3}{4}x$. Vamos entender o que significa isso. Considere uma fração qualquer $\displaystyle\frac{m}{n}$ onde $m$ e $n$ são números inteiros e $n \neq 0$. Pela definição de multiplicação de frações, temos
$$\displaystyle\frac{m}{n}x=\displaystyle\frac{mx}{n}.$$
Quando uma incógnita $x$ está sendo multiplicado por uma fração, por definição, o numerador da fração (quem está em cima) multiplica o $x$ (no sentido dos múltiplos inteiros que vimos acima) e o denominador (quem está em baixo) divide o resultado da multiplicação do numerador pela incónita $x$. Por exemplo:
$$\displaystyle\frac{5}{2}x = \displaystyle\frac{5x}{2}, \; \displaystyle\frac{6}{7}x = \displaystyle\frac{6x}{7}, \; -\displaystyle\frac{9}{10}x = \displaystyle\frac{-9x}{10}$$
Quando temos uma fração negativa multiplicando a incógnita, como no último exemplo, valem as igualdades, devido ao jogo de sinais:
$$-\displaystyle\frac{9}{10}x = \displaystyle\frac{-9x}{10} = \displaystyle\frac{9x}{-10}.$$
Lembre-se que todo número decimal com um número finito de casas decimais ou com um número infinito de casas decimais repetindo um padrão (dízimas periódicas) também são frações. Então, múltiplos fracionários podem aparecer assim
$$3,56x; \; -10,1x; \; (6,3333...)x; \; 7,9\overline{87}x$$
Em geral, é bem mais comum aparecer em expressões algébricas múltiplos fracionários com frações do que com números com vírgula. Exceto em raríssimas excessões, não é necessário tranformar um número com vírgula em fração ou vice e versa para reescrever os múltiplos. A vantagem de se usar uma fração para representar um número decimal é que, com ela, evita-se o uso da vírgula e também o uso de aproxmações para números com vírgula.
Múltiplos irracionais de uma incógnita
Também podemos multiplicar uma incónita por número irracional. Já falamos aqui no blog sobre números irracionais e, para mais detalhes sobre eles, clique aqui. Mas, relembrando, um número irracional é qualquer número real que não pode ser escrito como uma fração, por exemplo, raízes quadradas de números primos e o $\pi$. Assim, exemplos de múltiplos irracionais de uma incógnita $x$ são
$$\sqrt{2}x, \; \pi x, \; -\sqrt{7}x$$
Nesses casos não há muito o que fazer. O ideal é deixar assim mesmo, sem substituir o número irracional por uma aproximação dele.
Outros múltiplos de uma incógnita
Além dos múltiplos que vimos anteriormente, podemos encontrar outros tipos de múltiplos, como por exemplo
$$\displaystyle\frac{2,1}{5}x, \; \displaystyle\frac{4}{3,2}x; \; \displaystyle\frac{5,6}{2,4}x$$
$$\displaystyle\frac{\pi}{2}x, \; -\displaystyle\frac{5}{\sqrt{2}}x, \; \displaystyle\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt{5}}x$$
$$\displaystyle\frac{3\pi}{2,2}x, \; -\displaystyle\frac{5,3}{\sqrt{2}}x, \; \displaystyle\frac{4\sqrt[3]{2}}{\sqrt{3,4}}x$$
Sempre que tivermos um quociente multiplicando uma incógnita, podemos ver essa multiplicação da mesma forma que vemos a multiplicação de uma incógnita por uma fração, isto é,
$$\displaystyle\frac{2,1}{5}x = \displaystyle\frac{2,1x}{5}, \; -\displaystyle\frac{5}{\sqrt{2}}x = \displaystyle\frac{-5x}{\sqrt{2}}, \; \displaystyle\frac{4\sqrt[3]{2}}{\sqrt{3,4}}x = \displaystyle\frac{4\sqrt[3]{2}x}{\sqrt{3,4}}$$
Agora que entendemos o que significa cada número multiplicando uma incógnita, vamos entender agora como somamos e subtraímos os múltiplos dessa incógnita.
Somando e subtraindo em uma expressão algébrica
O que fazer diante de uma sequência de somas e subtrações com múltiplos de uma incónita? Isso é fácil, basta fazer essas operações entre os números que estão multiplicando a incógnita e depois multiplicar o resultado pela incógnita, não se esquecendo do jogo de sinais. Vamos fazer isso nos seguintes exemplos:
Exemplos:
1. Efetue a soma $3x+8x$.
Solução: Como foi observado, basta somar os números que estão multiplicando o $x$ e multiplicar o resultado por $x$. Como $8+3 = 11$, temos
$$3x+8x=11x$$
2. Efetue a subtração $13x-7x$.
Solução: Do mesmo modo, basta subtrair os números que estão multiplicando o $x$ e multiplicar o resultado por $x$. Como $13-7=6$, temos
$$13x-7x=6x$$
Essa ideia pode ser aplicada em uma sequência de somas e subtrações de múltiplos de uma incógnita $x$. Quando efetuamos os cálculos em uma expressão algébrica, dizemos que estamos simplificando a expressão algébrica, isto é, estamos escrevendo-a de uma forma mais simples, de uma forma menor e com menos operações.
3. Simplifique a seguinte expressão algébrica $4x-3x+8x-4x$.
Solução: Nesse caso você pode efetuar essas operações na sequência em que elas aparecem ou, se preferir, comutar os termos para facilitar o cálculo. Temos:
\begin{eqnarray} 4x-3x+8x-4x &=& x+8x-4x \\ &=& 9x - 4x \\ &=& 5x \end{eqnarray}
ou
\begin{eqnarray} 4x-3x+8x-4x &=& 4x+8x-3x -4x\\ &=& 12x - 7x \\ &=& 5x \end{eqnarray}
Observe que, no segundo cálculo fizemos, ao mesmo tempo $4x+8x$ que é igual a $12x$, pois $4+8=12$, e $-4x-3x$ que é igual a $-7x$, pois $-4-3=-7$.
Viu só como é fácil? Basta fazer a operação que aparece (soma ou subtração) com os números que estão multplicando a incógnita.
Vamos fazer mais um exemplo como o último.
4. Simplifique a expressão algébrica $\displaystyle\frac{3}{4}x-5x-2x$.
Solução: Temos uma fração multiplicando o $x$ nessa expressão, mas a simplificação dessa expressão é feita da mesma forma como fizemos as anteriores, basta efetuar os cálculos com os números que estão multiplicando a incógnita. Nesse exemplo, vamos somar primeiro os múltiplos inteiros e depois vamos somar o resultado com o múltiplo fracionário. Temos,
\begin{eqnarray} \displaystyle\frac{3}{4}x-5x-2x &=& \displaystyle\frac{3}{4}x -7x \\ &=& -\displaystyle\frac{25}{4}x \end{eqnarray}
Observe que, na última igualdade fizemos a seguinte conta $\displaystyle\frac{3}{4}-7 = \displaystyle\frac{3-4 \cdot 7}{4}=-\displaystyle\frac{25}{4}$. Por esse motivo, $\displaystyle\frac{3}{4}x-7x = -\displaystyle\frac{25}{4}x$.
Observação: Para fazer a soma e a subtração entre dois quocientes quaisquer $\displaystyle\frac{a}{b}$ e $\displaystyle\frac{c}{d}$, sendo $a$, $b$, $c$ e $d$ números rais quaisquer com $b$ e $d$ diferentes de zero, podemos usar a seguinte regra
$$\displaystyle\frac{a}{b} \pm \displaystyle\frac{c}{d}=\displaystyle\frac{da \pm bc}{bd}.$$
Por exemplo
$$\displaystyle\frac{5}{4} + \displaystyle\frac{3}{2}=\displaystyle\frac{2 \cdot 5 +4 \cdot 3}{4 \cdot 2} = \displaystyle\frac{22}{8} = \displaystyle\frac{11}{4}$$
$$\displaystyle\frac{7}{\sqrt{2}} - \displaystyle\frac{5}{3}=\displaystyle\frac{3 \cdot7 - \sqrt{2} \cdot 5}{\sqrt{2} \cdot 3} = \displaystyle\frac{21 - 5\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}.$$
E se na expressão algébrica aparecer um número sozinho, sem multiplicar o $x$? E, se além disso aparecer uma outra incógnita, por exemplo, $y$? Aqui nós definimos o que chamamos de termos semelhantes. Em uma expressão numérica, efetuamos os cálculos somente com os termos semelhantes, isto é, entre aqueles que são somente números e aqueles que estão multiplicando uma mesma incógnita. Vamos ver isso nos próximos exemplos.
5. Simpleifique a seguinte expressão algébrica $4x-\displaystyle\frac{3}{2}x+\displaystyle\frac{4}{3}x-2$.
Solução: Para simplificar essa expressão, vamos efetuar os cálculos entre os termos que possuem $x$ e entre os termos que não possuem $x$, que nesse caso é um termo só. Temos,
\begin{eqnarray} 4x-\displaystyle\frac{3}{2}x+\displaystyle\frac{4}{3}x-2 &=& 4x-\displaystyle\frac{1}{6}x-2 \\ &=& \displaystyle\frac{23}{6}x-2 \end{eqnarray}
Como não há nenhum termo semelhante ao $2$, ou seja, não há outro número que não esteja multiplicando o $x$, deixamos como está. Esta é a expressão simplificada, não efetuamos a operação $\displaystyle\frac{23}{6}x-2$ pois esses não são termos semelhantes, um termo contém o $x$ e o outro não.
6. Simplifique a expressão $5x-\sqrt{2}x+4 - 3x+8$.
Solução: Vamos somar os termos semelhantes. Se achar conveniente, antes de efetuar os cálculos, agrupe os termos semelhantes. Vejamos
\begin{eqnarray} 5x-\sqrt{2}x+4 - 3x+8 &=& 5x-3x-\sqrt{2}x+4+8 \\ &=& 2x-\sqrt{2}x+12 \\ &=& (2-\sqrt{2})x+12 \end{eqnarray}
Observe a subtração dos termos semelhantes $2x-\sqrt{2}x$ ficou na forma $(2 - \sqrt{2})x$. Isso ocorre por que, como vimos, essa operação deve ser feita entre os coeficientes e depois multiplica-se o resultado por $x$. Não precisamos calcular um valor aproximado para $\sqrt{2}$ e fazer a conta, não há problema em deixar essa subtração na forma $(2-\sqrt{2})x$.
7. Simplifique a expressão $\displaystyle\frac{2}{\sqrt{2}}x+ \displaystyle\frac{1}{2}x +1 -4y-3y+11$.
Solução: Nessa expreesão temos termos com $x$, com $y$ e termos sem nenhuma incógnita. Vamos seguir no mesmo raciocínio para efetuar as operações, efetuando-as somente entre os termos semelhantes.
\begin{eqnarray} \displaystyle\frac{2}{\sqrt{2}}x+ \displaystyle\frac{1}{2}x +1 -4y-3y+11 &=& \displaystyle\frac{2}{\sqrt{2}}x+ \displaystyle\frac{1}{2}x -4y-3y+11+1 \\ &=& \displaystyle\frac{2+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}x-7y+12 \end{eqnarray}
Observe que $\displaystyle\frac{2}{\sqrt{2}}+ \displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{2+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$ e este cálculo foi feito de acordo com a observação feita anteriormente. Por esse motivo temos $\displaystyle\frac{2}{\sqrt{2}}x+ \displaystyle\frac{1}{2}x = \displaystyle\frac{2+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}x$.
8. Simplifique a expressão algébrica $2x+3-4x+\displaystyle\frac{1}{3}x-y-11-\displaystyle\frac{1}{4}y+5$.
Solução: Seguindo o mesmo raciocínio que usamos nos exemplos anteriores e efetuando as operações entre os termos semelhantes, temos:
\begin{eqnarray}2x+3-4x+\displaystyle\frac{1}{3}x-y-11-\displaystyle\frac{1}{4}y+5 &=& 2x-4x+\displaystyle\frac{1}{3}x-y-\displaystyle\frac{1}{4}y+5+3-11 \\ &=& -2x+\displaystyle\frac{1}{3}x-y-\displaystyle\frac{1}{4}y-3 \\ &=& -\displaystyle\frac{5}{3}x-\displaystyle\frac{5}{4}y-3 \end{eqnarray}
Esses exemplos nos dão condições para lidar com as operações de soma e subtração em expressões algébricas. Podemos estender as ideias apresentadas aqui para expressões com um número qualquer de incónitas. Nessa postagem usamos somente as letras $x$ e $y$ como incógnitas, mas lembre-se que qualquer letra pode ser usada. Bom, este é só um início. Nas próximas postagens abordaremos outros aspectos das expressões algébricas.
Resumo da postagem em vídeo:
Gostou do conteúdo dessa postagem? Foi útil para você? Tem alguma dúvida? Deixe um comentário.
0 Comentários:
Postar um comentário