Na postagem anterior vimos como fazer somas e subtrações em expresões algébricas e já consiguimos fazer simplificações em algumas expressões com essas operações. Nessa postagem vamos aprender como fazer multiplicações e divisões em expressões algébricas. Vamos aprender o que fazer quando números multiplicam ou dividem múltiplos de incógnitas e vamos aprender também o que fazer quando duas incógnitas, iguais ou diferentes, são multiplicadas ou divididas, uma pela outra. Vamos lá!
Como multiplicar e dividir letras?
Vamos ver como multiplicar e dividir letras em partes.
Multiplicando um número por um múltiplo de uma incógnita
Na postagem anterior vimos que como somar e subtrair dois múltiplos de uma incógnita, isto é, vimos como fazer $3x+\displaystyle\frac{1}{2}x$ e $\sqrt{2}x-4x$. Agora, se tivermos um número multiplicando, por exemplo, $5x$? Nesse caso, basta multiplicar este número por $5$ e multiplicar por $x$. Vejamos alguns exemplos:
1. $3 \cdot 4x = 12x$
2. $8 \cdot \displaystyle\frac{2}{3}x = \displaystyle\frac{16}{3}x$. Observe que $8$ pode ser visto como $\displaystyle\frac{8}{1}$ e que, na multiplicação de frações, multiplicamos o de cima (numerador) com o de cima e o de baixo (denominador) com o de baixo.
3. $-\displaystyle\frac{5}{4} \cdot 3x = -\displaystyle\frac{15}{4}x$. Não se esqueça de fazer o jogo de sinal quando aparecer números negativos.
4. $\displaystyle\frac{1}{3} \cdot \left(\displaystyle\frac{4}{7}x\right) = -\displaystyle\frac{4}{21}x$.
5. $4 \cdot \displaystyle\frac{1}{8}x = \displaystyle\frac{4}{8}x = \displaystyle\frac{1}{2}x$.
6. $\displaystyle\frac{4}{3} \cdot \displaystyle\frac{7}{2}x = \displaystyle\frac{24}{6}x = 4x$
7. $-4 \cdot (-\sqrt{3}x) = 4\sqrt{3}x$. Quando multiplicamos um número que não é uma raiz por uma raiz, não é necessário aproximar o valor da raiz para fazer a conta, pode deixar assim mesmo.
Observação: A multiplicação de um múltiplo de uma incógnita por um número pode ocorrer pela direita, como por exemplo:
$$4x \cdot 5 = 5 \cdot 4x = 4 \cdot 5x = 20x.$$
Isso ocorre pois a incógnita, independentemente de qual for, sempre representa um número e a multiplicação é comutativa.
Multiplicando dois múltiplos de uma incógnita
Como podemos multiplicar $x$ por $3x$ ou $y$ por $2x$? Vamos analisar esses casos separadamente.
Quando as letras são iguais: Precisamos sempre ter em mente que as letras representam números, assim, as propriedades algébricas que as operações possuem com respeito aos números, também possuem com respeito às letras. A multiplicação $5 \cdot 5$ pode ser escrita como $5^2$, a multiplicação $4 \cdot 4 \cdot 4$ pode ser escrita como $4^3$ e assim por diante. Com as letras não é diferente, temos
\begin{eqnarray} x &=& x^1 \\ x \cdot x &=& x^2 \\ x \cdot x \cdot x &=& x^3 \\ &\vdots & \\ \underbrace{x \cdot x \cdots x}_{n \: fatores} &=& x^n \end{eqnarray}
É importante lembrar também que, para as letras também valem todas a propriedades de potenciação (pois elas representam números). Vejas as propriedades da potenciação aqui. Vejamos alguns exemplos
Exemplos:
8. $x \cdot 4x = x4x = 4xx = 4x^2$. A ordem dos fatores sempre pode mudar, visto que a multiplicação é comutativa.
9. $x \cdot \sqrt[3]{5}x = \sqrt[3]{5}x^2$
10. $-\displaystyle\frac{3}{4}x \cdot 5x = -\displaystyle\frac{3}{4} \cdot 5 x x = -\displaystyle\frac{15}{4}x^2$
11. $\sqrt{2}x \cdot (-4x^2) = -\sqrt{2} \cdot 4 xx^2 = -4\sqrt{2}x^3$. Aqui usamos a propriedade da potenciação que diz que quando multiplicamos potências de mesma base, somam-se os expoentes.
12. $\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{5}x^2 \cdot x^3 = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{5}x^2x^3 = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{5}x^5$
Quando as letras não são iguais: Quando multiplicamos duas letras diferentes, por exemplo $x$ por $y$, não há muito o que fazer, basta escrever como "resultado" $xy$. Como não conhecemos quais são os números $x$ e $y$, indicamos a mulplicação de $x$ por $y$ por $xy$, simplesmente. Vejamos alguns exemplos:
13. $y \cdot 3x = y3x = 3xy = 3yx$. Lembre-se sempre que a multiplicação é comutativa.
14. $-5x \cdot \displaystyle\frac{2}{3}y = -5 \cdot \displaystyle\frac{2}{3}xy = -\displaystyle\frac{10}{3}xy$
15. $-\sqrt{5}y^2 \cdot (-x) = -\sqrt{5}y^2x$
16. $\displaystyle\frac{1}{2}y^3 \cdot \sqrt{3}x^5 = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}y^3x^5$
Podemos ainda ter os dois tipos de multiplicação abordados acima juntos.
17. $5xy \cdot 4xy^2 = 5 \cdot 4xyxy^3 = 5 \cdot 4 xxyy^3 = 20x^2y^3$
18. $-\displaystyle\frac{5}{6}x^5y^2 \cdot 12x^2y = 10x^7y^3$.
Observação: Fizemos os exemplos usando as letras $x$ e $y$, mas poderíamos ter feito esses mesmos exemplos com outras letras, $a$ e $b$ por exemplo. As letras em si não importam, o que importa é entender como as operações entre elas funcionam. Podemos estender essas ideias acima para um número finito de letras.
Dividindo um múltiplo de uma incógnita por um número
Como podemos fazer $3x$ dividido por $2$? Em uma expressão algébrica, essas divisões aparecem geralmente no formato de uma fração, ou seja, nesse caso teríamos $\displaystyle\frac{3x}{2}$. Dados dois números quaisquer $m$ e $n$ com $n$ diferente de $0$, temos
$$\displaystyle\frac{mx}{n} = \displaystyle\frac{m}{n}x.$$
Assim, $\displaystyle\frac{3x}{2} = \displaystyle\frac{3}{2}x$. Isso nos diz que, se for possível, dividimos o número que multiplica o $x$ e, caso contrário, deixamos como está. Vejamos alguns exemplos.
Exemplos:
19. Podemos deixar a expressão $\displaystyle\frac{4x}{5}$ como está, pois $4$ não é divisível por $5$.
20. $\displaystyle\frac{12x}{6} = \displaystyle\frac{12}{6}x = 2x$
21. $\displaystyle\frac{21}{24}x = \displaystyle\frac{7}{8}x$. Aqui não é possível dividir $21$ por $24$, mas podemos simplificar a fração $\displaystyle\frac{21}{24}$, dividindo por $3$ o numerador e o denominador, obtendo $\displaystyle\frac{7}{8}$.
22. Podemos ter uma divisão de frações também, por exemplo, $\displaystyle\frac{2x}{\frac{2}{3}}$. Nesse caso devemos lembrar como é feita a divisão de frações, copia o de cima e multiplica pelo inverso do debaixo. Assim,
$$\displaystyle\frac{2x}{\frac{2}{3}} = 2x \cdot \displaystyle\frac{3}{2} = 3x$$
23. $\displaystyle\frac{\frac{3}{5}x}{-\frac{4}{3}} = -\displaystyle\frac{3}{5}x \cdot \displaystyle\frac{3}{4} = -\displaystyle\frac{9x}{20}$
24. $\displaystyle\frac{-\sqrt[3]{5}x}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt[3]{5}x\displaystyle\frac{2}{\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{2\sqrt[3]{5}x}{\sqrt{2}}$
Observação: Nos exemplos acima poderíamos trocar o $x$ por qualquer potência dele ou ainda pelo multiplicação de mais letras que essas divisões seriam efetuadas da mesma forma.
Dividindo dois múltiplos de uma potência de uma incógnita
Como podemos fazer as divisões $\displaystyle\frac{3x^2}{2x}$, $\displaystyle\frac{-5x^6}{3x^7}$ e $\displaystyle\frac{4y}{\sqrt{2}x}$? Vamos analisar esses dois tipos de divisões separadamente.
Quando as incógnitas são iguais: Sempre devemos nos lembrar que as letras representam números, assim, as propriedades algébricas que as operações possuem com respeito aos números, também possuem com respeito às letras. A divisão $\displaystyle\frac{5^3}{5^2}$ é igual a $5$ e, obtemos esse resultado usando a seguinte propriedade de potências
$$\displaystyle\frac{5^3}{5^2} = 5^{3-2} = 5^1 = 5$$
Para as letras também vale essa propriedade de potenciação (pois elas representam números). Vejamos alguns exemplos:
Exemplos:
25. No caso particular de dividirmos um número por um múltiplo de uma letra ou uma potência dela, não há o que fazer, o resultado será uma fração com uma letra no denominador, como por exemplo
$$\frac{1}{x}, \: \frac{-\sqrt{2}}{x^3}, \: \frac{3}{5x^2}$$
26. $\displaystyle\frac{3x^4}{x^2} = 3 \displaystyle\frac{x^4}{x^2} = 3x^2$
27. $\displaystyle\frac{\sqrt{5}x^6}{2x^3} = \displaystyle\frac{\sqrt{5}}{2}x^3$
28. $\displaystyle\frac{-3x^3}{5x^7} = -\displaystyle\frac{3}{5} \cdot \displaystyle\frac{x^3}{x^7} = -\displaystyle\frac{3}{5} \cdot x^{-4} = -\displaystyle\frac{3}{5} \cdot \displaystyle\frac{1}{x^4} = -\displaystyle\frac{3}{5x^4}$.
Esse exemplo foi feito em detalhes, mas usando a propriedade de divisão de potência de mesma base, do primeiro sinal de igual, já poderíamos ter pulado para o último. Não há problema em deixar uma letra com potência negativa, se preferir.
29. $\displaystyle\frac{3x}{2x^2} = \displaystyle\frac{3}{x}$
30. $\displaystyle\frac{3x^2}{-\sqrt[3]{9}x^7} = -\displaystyle\frac{3}{\sqrt[3]{9}x^5}$
Quando as incógnitas não são iguais: Quando dividimos duas letras diferentes ou potências dela, por exemplo $x^3$ por $y^2$, não há o que fazer, basta escrever como "resultado" $\displaystyle\frac{x^3}{y^2}$. Como não conhecemos quais são os números $x$ e $y$, a divisão fica dessa forma mesmo. Vejamos alguns exemplos:
31. $\displaystyle\frac{3x}{4y}$
32. $\displaystyle\frac{6x^2}{2y} = \displaystyle\frac{3x^2}{y}$. Nesse exemplos temos podemos dividir o $6$ pelo $2$, visto que,
$$\displaystyle\frac{6x^2}{2y} = \displaystyle\frac{6}{2} \cdot \displaystyle\frac{x^2}{y} = 3\displaystyle\frac{x^2}{y} = \displaystyle\frac{3x^2}{y}.$$
33. $\displaystyle\frac{10x^3}{8y^2} = \displaystyle\frac{5x^3}{4y^2}$. Observe que $10$ não é divisível por $8$, mas podemos simplificar a fração $\displaystyle\frac{10}{8}$ dividindo do numerador e o denominador por $2$, obtendo a fração $\displaystyle\frac{5}{4}$.
Pode-se ocorrer também divisões misturando o que vimos nos exemplos anteriores, ou seja, duas ou mais incógnitas, tanto no numerador quanto no deniminador.
34. Vamos fazer esse exemplos com mais detalhes.
\begin{eqnarray} \frac{4x^4y^3}{5xy^2} &=& \frac{4}{5} \cdot \frac{x^4}{x} \cdot \frac{y^3}{y^2} \\ &=& \frac{4}{5} x^3 \cdot y \\ &=& \frac{4x^3y}{5} \end{eqnarray}
35. Vamos fazer mais esse exemplos com mais detalhes
\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{3}x^2y}{xy^3} &=& \sqrt{2} \cdot \frac{x^2}{x} \cdot \frac{y}{y^3} \\ &=& \sqrt{2} \cdot x \cdot \frac{1}{y^2} \\ &=& \frac{\sqrt{2}x}{y^2} \end{eqnarray}
36. $\displaystyle\frac{-5x^3y^5}{7xy^2z} = -\frac{5x^2y^3}{7z}$
37. $\displaystyle\frac{10x^2y^5z^2}{-3x^3y^6z} = -\frac{10z}{3xy}$
Viu só? Não é dificícil fazer as contas de multiplicação e divisão com letras, tudo se resume a propriedades operacionais que já conhecemos com os números. Nas próximas postagens veremos como simplificar expressões algébricas mais complicadas.
Resumo da postagem em vídeo com outros exemplos:
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