No post anterior começamos a estudar métodos para encontrar raízes de polinômios. Começamos bem do começo mesmo, dos polinômios de grau $1$. Nessa postagem vamos avançar em nossos estudos sobre raízes de polinômios, vamos ver uma forma de determinar se um polinômio de grau $2$ possui raízes reais e, se possuir, vamos estudar formas de determiná-las. Vamos lá!
Raízes reais de polinômios de grau 2 (equação do segundo grau)
Considere $f(x)$ um polinômio de grau $2$ sobre $\mathbb{R}$. Desse modo, $f(x)$ possui a seguinte forma:
$f(x) = ax^2+bx+c$ com $a \neq 0$.
Uma raiz de $f(x)$ é um valor de $x$ para o qual $f(x) = 0$, ou seja, uma raiz de $f(x)$ vai satisfazer a equação
$ax^2+bx+c = 0$
Qualquer equação no formato da equação acima é chamada de equação do segundo grau. Assim, as raízes de um polinômio de grau $2$ são as soluções de uma equação do segundo grau (também conhecida como equação quadrática) formada pelo polinômio igualado a $0$.
Para verificarmos se um equação do segundo grau $ax^2+bx+c=0$ possui solução real (ou equivalentemente, se um polinômio $f(x) = ax^2+bx+c$ possui raízes reais) usamos uma fórmula chamada Fórmula de Bhaskara, que é dada por
$x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
Essa fórmula também pode ser escrita em duas partes, denotando por $\Delta$ (letra maiúscula do alfabeto grego chamada Delta) o que está dentro da raiz, ficando na forma
$\Delta = b^2 - 4ac \mbox{ e } x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
Os números $a$, $b$ e $c$ que estão na fórmula de Bhaskara são os mesmos que estão na equação $ax^2+bx+c=0$.
Como estamos interessados em raízes reais ou soluções reais, é interessante usar a Fórmula de Bhaskara em duas partes. O Delta é usado para saber se uma equação do segundo grau não possui raízes reais, se possui somente uma raiz real ou se possui duas raízes reais. Ele é usado da seguinte forma:
- Se $\Delta < 0$, $f$ não possui raiz real;
- Se $\Delta = 0$, vamos ter $x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} = \displaystyle\frac{-b}{2a}$, ou seja, $f$ possui somente uma raiz $x = \displaystyle\frac{-b}{2a}$;
- Se $\Delta > 0$, vamos ter $x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$, ou seja, temos duas raízes, a saber, $x_1 = \displaystyle\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ e $x_2 = \displaystyle\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$.
Se você quiser saber mais detalhes sobre a Fórmula de Bhaskara e de onde ela veio, veja essa postagem:
Vamos ver agora alguns exemplos de como usar a Fórmula de Bhaskara para determinar as raízes de um polinômio de grau $2$.
Exemplos:
1. Determine as raízes do polinômio $f(x) = 2x^2+5x-3$.
Solução: Vamos aplicar a fórmula de Bhaskara. Para isso, precisamos saber quem são os coeficientes $a,b$ e $c$ da fórmula. Temos $f(x) = 2x^2+5x-3$, o que nos dá $a=2$, $b=5$ e $c=-3$. Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:
$$\Delta = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25+24 = 49 \mbox{ e }$$
$$x = \displaystyle\frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \displaystyle\frac{-5 \pm 7}{4}$$
$$\Rightarrow x_1 = \displaystyle\frac{-5 + 7}{4} = \displaystyle\frac{2}{4} = \displaystyle\frac{1}{2} \mbox{ e } x_2 = \displaystyle\frac{-5 - 7}{4} = \displaystyle\frac{-12}{4} = -3.$$
Portanto, $f$ possui duas raízes, $x_1 = \displaystyle\frac{1}{2}$ e $x_2 = -3$.
2. Verifique se o polinômio $g(x) = x^2+4x+5$ possui raízes reais.
Solução: Nesse exercício basta calcular $\Delta$, pois por meio dele saberemos se $g$ possui raízes reais. Nesse exemplo temo $a=1$, $b=4$ e $c=5$. Vejamos:
$$\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16-20 = -4.$$
Como $\Delta < 0$, o polinômio $g$ não possui raízes reais.
3. Calcule as raízes polinômio $f(x) = -3x^2+1$.
Solução: Basta aplicar a Fórmula de Bhaskara. Aqui nós temos $a=-3$, $b = 0$ e $c = 1$, assim:
$$\Delta = 0^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 1 = 12 \mbox{ e }$$
$$x = \displaystyle\frac{0 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot (-3)} = \displaystyle\frac{\pm 2\sqrt{3}}{-6} = \displaystyle\frac{ \mp \sqrt{3}}{3}.$$
Assim, as raízes de $f$ são $x_1 = \displaystyle\frac{-\sqrt{3}}{3}$ e $x_2 = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}$.
4. Quais são as raízes de $h(x) = x^2 - x$?
Solução: Nesse exemplo temos $a = 1$, $b = -1$ e $c =0$. Novamente, pela fórmula de Bhaskara, temos:
$$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 1 \mbox{ e }$$
$$x = \displaystyle\frac{-(-1) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \displaystyle\frac{1 \pm 1}{2}$$
Assim, as raízes de $f$ são $x_1 = 1$ e $x_2 = 0$.
5. Determine as raízes do polinômio $f(x) = \displaystyle\frac{1}{4}x^2 -3x+9$.
Solução: Aplicando a fórmula de Bhaskara para $a = \displaystyle\frac{1}{4}$, $b = -6$ e $c = 9$, temos:
$$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot \displaystyle\frac{1}{4} \cdot 9 = 9-9=0 \mbox{ e }$$
$$x = \displaystyle\frac{-(-3) \pm \sqrt{0}}{2 \cdot \frac{1}{4}} = \displaystyle\frac{3}{\frac{1}{2}} = 6.$$
Assim, $f$ possui somente uma raiz $x = 6$.
A Fórmula de Bhaskara serve para determinar as raízes de qualquer polinômio sobre $\mathbb{R}$, por esse motivo ela é muito importante. Porém, em alguns casos particulares de polinômios de grau $2$, ela não é necessária para encontrar as raízes desses polinômios, há formas mais simples de determinar as raízes. A seguir vamos ver esses casos particulares e as formas alternativas que podemos usar para determinar as raízes desses casos particulares.
Exemplos:
Função quadrática na forma $f(x) = ax^2+bx$
6. Determine as raízes do polinômio $f(x) = 2x^2+3x$.
Solução: Fazendo $2x^2+3x=0$, temos, colocando $x$ em evidência,
$$x(2x+3)=0.$$
Assim, as raízes são $x=0$ e
$$2x+3=0$$
$$2x=-3$$
$$x=-\displaystyle\frac{3}{2}.$$
Função quadrática na forma $f(x) = ax^2-c$ ($a, c \in \mathbb{R}$ com $a,c >0$ ou $a,c<0$)
7. Determine as raízes do polinômio $f(x) = 4x^2-8$.
Solução: Fazendo $4x^2 - 8 =0$, vamos ter
$$4x^2 - 8 = 0$$
$$4x^2 = 8$$
$$x^2 = \displaystyle\frac{8}{4}$$
$$x^2 = 2.$$
$$x = \pm \sqrt{2}$$
Assim, as raízes de $f$ são $x_1 = \sqrt{2}$ e $x_2 = -\sqrt{2}$.
8. Determine as raízes do polinômio $g(x) = -x^2+9$.
Solução: Fazendo $-x^2+9 =0$, vamos ter
$$-x^2 + 9 = 0$$
$$-x^2 = -9$$
$$x^2 = 9$
$$x = \pm \sqrt{9}$$
Assim, as raízes de $g$ são $x_1 = \sqrt{9}=3$ e $x_2 = -\sqrt{9}=-3$.
Soma e Produto
Além da Fórmula de Bhaskara e esses casos particulares mencionados acima, há ainda uma outra forma de determinar as raízes de um um polinômio de grau $2$ chamada Soma e Produto. Esse método para encontrar as raízes de um polinômio de grau $2$ não dispensa a Fórmula de Bhaskara, a Soma e Produto só pode ser aplicada em alguns casos. Vejamos mais detalhes sobre a Soma e Produto a seguir.
Considere um polinômio $f(x) = x^2+bx+c$, ou seja, com $a=1$. Suponha que $f$ possua duas raízes $m, n \in \mathbb{R}$ que podem ser iguais. Se $m$ e $n$ são raízes de $f$, pode ser provado (usando divisão de polinômios) que $f$ pode ser escrita na forma:
$$f(x) = (x-m)(x-n).$$
Fazendo a distributiva no segundo membro da igualdade acima, temos
$$f(x) = x^2-xn-mx+mn = x^2-(m+n)x+mn.$$
Desse modo, temos a igualdade:
$$x^2+bx+c = x^2-(m+n)x+mn,$$
que só é possível se $b = -(m+n)$ e $c = mn$. Portanto, se sabemos que $f$ possui duas raízes $m$ e $n$ ainda desconhecidas, que podem ser iguais, para determiná-las, basta encontrarmos dois números $m$ e $n$ tais que $b = -(m+n)$ e $c = mn$. Essa método é chamado Soma e Produto
Exemplos
9. Determine as raízes do polinômio $f(x) = x^2-5x+6$.
Solução: Nesse polinômio temos $b=-5$ e $c=6$. De acordo a soma e produto, se encontrarmos dois números reais $m$ e $n$ tais que $-(m+n) = -5$ e $mn = 6$, esses números são raízes de $f$. Observe que, para $m=2$ e $n=3$ valem $-(2+3) = -5$ e $2 \cdot 3 = 6$. Logo as raízes do polinômio $f$ são $x_1 = 2$ e $x_2 = 3$.
10. Determine as raízes o polinômio $f(x) = x^2 +3x-4$.
Solução: Nesse polinômio temos $b=3$ e $c=-4$. De acordo com a regra soma e produto, se encontrarmos dois números reais $m$ e $n$ tais que $-(m+n) = 3$, ou ainda $m+n=-3$ e $mn = -4$, esses números são raízes de $f$. Observe que, para $m=-4$ e $n=1$ valem $(-4+1) = -3$ e $(-4) \cdot 1 = -4$. Logo as raízes da função quadrática $f$ são $x_1 = -4$ e $x_2 = 1$.
11. Determine as raízes do polinômio $g(x) = 2x^2-3x-2$.
Solução: Aparentemente, não é possível usar soma e produto para calcular as raízes do polinômio $g$ pois $a = 2 \neq 1$. Porém podemos usar sim. Observe que a equação
$$2x^2-3x-2=0 \mbox{ é equivalente a } 2(x^2-\frac{3}{2}x-1)=0.$$
Isto é, para encontrar as raízes de $g$, basta encontrarmos as soluções da equação
$$x^2-\frac{3}{2}x-1=0.$$
Observe que podemos usar soma e produto para determinar as raízes de $h(x) = x^2-\frac{3}{2}x-1$. Note que $-(-\frac{1}{2}+ 2) = -\frac{3}{2}$ e $-\frac{1}{2} \cdot 2 = -1$. Desse modo, as soluções de $f$ são $x_1 = -\frac{3}{2}$ e $x_2 = 2$.
Exemplo em vídeo:
Observação:
(a) Apesar da soma e produto ser aparentemente mais fácil de se usar para obter as raízes de um polinômio, ela não tem o poder de nos dar a informação sobre a existência de raízes reais de um polinômio. Além disso, dependendo dos coeficientes $b$ e $c$, vai ficar difícil de encontrar as raízes por soma e produto. Então, é aconselhável saber como usar a Fórmula de Bhaskara, pois ela sempre funciona.
(b) A regra soma e produto não facilita as contas em qualquer caso, por exemplo, considere o polinômio
$$f(x) = x^2 +\sqrt{2}x-\pi.$$
Esse polinômio possui duas raízes reais distintas $m$ e $n$. Por meio de soma e produto, devemos determinar $m$ e $n$ tais que $-(m+n) = \sqrt{2}$ e $mn = \pi$. Essa com certeza não é uma tarefa fácil. Logo, nesse caso deve-se se usar a velha e boa fórmula de Bhaskara.
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