Agora que já sabemos por que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola, podemos estudar alguns elementos da parábola que podem ser obtidos à partir função quadrática que possui como gráfico esta parábola. Nesse post vamos estudar o máximo e o mínimo de uma parábola e também o vértice da parábola, vamos aprender como calcular o máximo e o mínimo de uma função quadrática e também como calcular o vértice de uma parábola. Vamos começar definindo o que é ponto de máximo e valor máximo e ponto de mínimo e valor mínimo de uma parábola.
Máximo e mínimo de uma parábola
Considere $f(x) = ax^2+bx+c$, com coeficientes reais e $a \neq 0$, uma função quadrática qualquer.
Um número real $p$ é um ponto de máximo da função $f$ se $f(p) \geq f(x)$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Nesse caso, $f(p)$ é chamado valor máximo de $f$. Em outras palavras, $p$ é um ponto de máximo da função $f$ se $f(p)$ é o maior valor possível da função $f$.
Um número real $p$ é um ponto de mínimo da função $f$ se $f(p) \leq f(x)$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Nesse caso, $f(p)$ é chamado valor mínimo de $f$. Em outras palavras, $p$ é um ponto de mínimo da função $f$ se $f(p)$ é o menor valor possível da função $f$.
Sabendo agora a definição de pontos de máximo e mínimo e valores máximo e mínimo de uma função quadrática, as perguntas que surgem são:
- Qualquer função quadrática possui um ponto de máximo ou um ponto de mínimo?
- Se uma função quadrática possui um ponto de máximo ou mínimo, como calcular os valores máximo e mínimo da função?
Antes de responder a essas perguntas, vamos escrever uma função quadrática qualquer $f(x) = ax^2+bx+c$, com $a,b,c \in \mathbb{R}$, de uma forma diferente. Vejamos
$f(x) = ax^2+bx+c$
$= ax^2+\displaystyle\frac{2ab}{2a}x+\displaystyle\frac{b^2}{4a} - \displaystyle\frac{b^2}{4a} + \displaystyle\frac{4ac}{4a}$
$=a\left(x^2+\displaystyle\frac{2b}{2a}x+\displaystyle\frac{b^2}{4a^2}\right) - \displaystyle\frac{b^2}{4a} + \displaystyle\frac{4ac}{4a}$
$=a\left(x^2+2x\displaystyle\frac{b}{2a}+\left(\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2\right) - \displaystyle\frac{b^2-4ac}{4a}$
$=a\left(x+\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2 - \displaystyle\frac{\Delta}{4a}$
onde $\Delta = b^2-4ac$. Desse modo, qualquer que seja $f(x)=ax^2+bx+c$, ela pode ser escrita na forma
$$f(x) = a\left(x+\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2 - \displaystyle\frac{\Delta}{4a}.$$
Agora vamos responder às perguntas feitas anteriormente. Para fazer isso, vamos estudar dois casos.
1º Caso: Considere uma função quadrática $f(x) = ax^2+bx+c$ com $a,b,c \in \mathbb{R}$ e $a >0$. Como acabamos de ver, podemos escrever $f$ na forma
$$f(x) = a\left(x+\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2 - \displaystyle\frac{\Delta}{4a}.$$
Observe que o número $\left(x+\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2$ sempre é maior ou igual a $0$ para qualquer $x \in \mathbb{R}$, pois é um quadrado (isso se deve ao fato que números com sinais iguais, quando multiplicados, o resultado sempre é positivo e, se um deles for zero, o resultado é zero). Assim, podemos escrever
$$a\left(x+\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2 \geq 0$$
visto que $a>0$ (pois dois números positivos multiplicados produzem um resultado positivo).
Somando, em ambos os lados da inequação acima, a expressão $-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$ obtemos
$$a\left(x+\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}\geq-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$$
Note que, no lado esquerdo da inequação acima, temos $f(x)$. Logo, podemos escrever
$$f(x)\geq-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$$
Desse modo, mostramos o seguinte: para qualquer $x \in \mathbb{R}$, temos que $f(x) \geq -\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$, ou seja, para qualquer que seja $x \in \mathbb{R}$, $f(x)$ sempre será maior ou igual a $-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$.
Agora, observe o seguinte,
$$f\left(-\displaystyle\frac{b}{2a}\right)=a\left(-\displaystyle\frac{b}{2a}+\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2-\displaystyle\frac{\Delta}{4a} = a \cdot 0 -\displaystyle\frac{\Delta}{4a} = -\displaystyle\frac{\Delta}{4a}.$$
isto é, $f\left(-\displaystyle\frac{b}{2a}\right) = -\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$. Logo
$$f\left(-\displaystyle\frac{b}{2a}\right) \leq f(x) \mbox{ para todo } x \in \mathbb{R}.$$
Portanto, $f(x) = ax^2+bx+c$, com $a >0$ possui um ponto de mínimo $p = -\displaystyle\frac{b}{2a}$ e um valor mínimo $f(p) = -\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$.
2º Caso: Considere agora uma função quadrática $f(x) = ax^2+bx+c$ com $a,b,c \in \mathbb{R}$ e $a <0$. Sabemos que podemos escrever $f$ na forma
$$f(x) = a\left(x+\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2 - \displaystyle\frac{\Delta}{4a}$$
qualquer que seja a função quadrática $f$.
Observe que o número $\left(x+\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2$ sempre é maior ou igual a $0$ para qualquer $x \in \mathbb{R}$, pois é um quadrado. Assim, podemos escrever
$$a\left(x+\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2 \leq 0$$
visto que $a<0$.
Somando, em ambos os lados da inequação acima, a expressão $-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$ obtemos
$$a\left(x+\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}\leq-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}.$$
Note que, no lado esquerdo da inequação acima, temos $f(x)$. Logo, podemos escrever
$$f(x)\leq-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}.$$
Nesse caso, o que conseguimos mostrar foi o seguinte: para qualquer $x \in \mathbb{R}$, temos que $f(x) \leq -\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$, ou seja, para qualquer que seja $x \in \mathbb{R}$, $f(x)$ sempre será menor ou igual a $-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$.
Agora, observemos o seguinte,
$$f\left(-\displaystyle\frac{b}{2a}\right)=a\left(-\displaystyle\frac{b}{2a}+\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2-\displaystyle\frac{\Delta}{4a} = a \cdot 0 -\displaystyle\frac{\Delta}{4a} = -\displaystyle\frac{\Delta}{4a}.$$
isto é, $f\left(-\displaystyle\frac{b}{2a}\right) = -\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$. Desse modo,
$$f\left(-\displaystyle\frac{b}{2a}\right) \geq f(x) \mbox{ para todo } x \in \mathbb{R}.$$
Portanto, $f(x) = ax^2+bx+c$, com $a >0$ possui um ponto de máximo $p = -\displaystyle\frac{b}{2a}$ e um valor máximo $f(p) = -\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$.
Resumindo o que vimos aqui, temos o seguinte:
Considere $f(x) = ax^2+bx+c$, com $a,b,c \in \mathbb{R}$ e $a \neq 0$. Se $a>0$, ou seja, se o gráfico de $f$ é uma parábola com concavidade para cima, então $f$ possui um ponto de mínimo $p = -\displaystyle\frac{b}{2a}$ com valor mínimo $f(p) = -\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$. Se $a<0$, isto é, se o gráfico de $f$ é uma parábola com concavidade para baixo, então $f$ possui um ponto de máximo $p = -\displaystyle\frac{b}{2a}$ com valor máximo $f(p) = -\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$.
Em qualquer caso, o ponto $p$ é chamado de ponto extremo de $f$ e $f(p)$ é chamado valor extremo de $f$.
Vértice da parábola
O vértice da parábola, que é o gráfico da função $f(x) = ax^2+bx+c$, é o ponto $(p,f(p))$ do gráfico de $f$ onde $p=-\displaystyle\frac{b}{2a}$ e $f(p) = -\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$ são ponto e valor extremos de $f$, respectivamente..
Muitas vezes, encontramos a seguinte nomenclatura e notação: o vértice da parábola é $V = (V_x,V_y)$ onde
$V_x$ é chamado $x$ do vértice onde $V_x=-\displaystyle\frac{b}{2a}$ e
$V_y$ é chamado $y$ do vértice onde $V_y=-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$.
Exemplos
1. Considere a função quadrática $f(x) = x^2+3x+2$. Calcule o valor mínimo da função $f$.
Solução:Nesse exercício está sendo pedido somente o valor mínimo de $f$. Para encontrarmos esse valor, basta usarmos o que demonstramos anteriormente, isto é, como nessa função quadrática temos $a=1>0$, seu valor mínimo será dado por $-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$. Vamos fazer as contas, temos:
$$\Delta = b^2-4ac = 3^2-4\cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1,$$
e, assim, o valor mínimo de $f$ será
$$-\displaystyle\frac{\Delta}{4a} = - \displaystyle\frac{1}{4\cdot 1} = -\displaystyle\frac{1}{4}.$$
2. Considere a função $g(x) = -2x^2+x-6$. Calcule o ponto de máximo e o valor máximo de $g$.
Solução: Na função quadrática $g$ temos $a = -2<0$, $b=1$ e $c=-6$ Logo, pelo que vimos anteriormente, seu ponto de máximo será $-\displaystyle\frac{b}{2a}$ e seu valor máximo será $-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$. Fazendo as contas, obtemos:
$$-\displaystyle\frac{b}{2a} = -\displaystyle\frac{1}{2\cdot(-2)} = \displaystyle\frac{1}{-4} = \displaystyle\frac{1}{4}$$
e
$$-\displaystyle\frac{\Delta}{4a} = -\displaystyle\frac{1^2-4\cdot (-2) \cdot (-6)}{4 \cdot (-2)} = -\displaystyle\frac{-47}{-8} = -\displaystyle\frac{47}{8}.$$
Portanto, o ponto de máximo de $f$ é $\displaystyle\frac{1}{4}$ e seu valor máximo é $-\displaystyle\frac{47}{8}$.
3. Determine o vértice da parábola que é gráfico da função quadrática $f(x) = 2x^2-3x+5$.
Solução: O vértice de uma parábola é o ponto $V=(V_x,V_y)$ onde $V_x = -\displaystyle\frac{b}{2a}$ e $V_y = -\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$. Como $a=2$, $b=-3$ e $c=5$, temos
$$V_x = -\displaystyle\frac{b}{2a} = -\displaystyle\frac{-3}{2\cdot 2} = -\displaystyle\frac{-3}{4} = \displaystyle\frac{3}{4}.$$
e
$$V_y = -\displaystyle\frac{\Delta}{4a} = -\displaystyle\frac{(-3)^2-4\cdot 2 \cdot 5}{4\cdot2} = -\displaystyle\frac{9-40}{8} = -\displaystyle\frac{-31}{8} = \displaystyle\frac{31}{8}.$$
Portanto, o vértice da parábola é o ponto $V = \left(\displaystyle\frac{3}{4},\displaystyle\frac{31}{8}\right)$.
A seguir está uma calculadora gráfica que faz o gráfico de qualquer função quadrática e calcula o vértice da parábola (e consequentemente o ponto extremo e o valor extremo que são $V_x$ e $V_y$, respectivamente).
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