Agora que já sabemos por que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola, podemos estudar alguns elementos da parábola que podem ser obtidos à partir função quadrática que possui como gráfico esta parábola. Nesse post vamos estudar o máximo e o mínimo de uma parábola e também o vértice da parábola, vamos aprender como calcular o máximo e o mínimo de uma função quadrática e também como calcular o vértice de uma parábola. Vamos começar definindo o que é ponto de máximo e valor máximo e ponto de mínimo e valor mínimo de uma parábola.
Máximo e mínimo de uma parábola
Considere f(x)=ax2+bx+c, com coeficientes reais e a≠0, uma função quadrática qualquer.
Um número real p é um ponto de máximo da função f se f(p)≥f(x) para todo x∈R. Nesse caso, f(p) é chamado valor máximo de f. Em outras palavras, p é um ponto de máximo da função f se f(p) é o maior valor possível da função f.
Um número real p é um ponto de mínimo da função f se f(p)≤f(x) para todo x∈R. Nesse caso, f(p) é chamado valor mínimo de f. Em outras palavras, p é um ponto de mínimo da função f se f(p) é o menor valor possível da função f.
Sabendo agora a definição de pontos de máximo e mínimo e valores máximo e mínimo de uma função quadrática, as perguntas que surgem são:
- Qualquer função quadrática possui um ponto de máximo ou um ponto de mínimo?
- Se uma função quadrática possui um ponto de máximo ou mínimo, como calcular os valores máximo e mínimo da função?
Antes de responder a essas perguntas, vamos escrever uma função quadrática qualquer f(x)=ax2+bx+c, com a,b,c∈R, de uma forma diferente. Vejamos
f(x)=ax2+bx+c
=ax2+2ab2ax+b24a−b24a+4ac4a
=a(x2+2b2ax+b24a2)−b24a+4ac4a
=a(x2+2xb2a+(b2a)2)−b2−4ac4a
=a(x+b2a)2−Δ4a
onde Δ=b2−4ac. Desse modo, qualquer que seja f(x)=ax2+bx+c, ela pode ser escrita na forma
f(x)=a(x+b2a)2−Δ4a.
Agora vamos responder às perguntas feitas anteriormente. Para fazer isso, vamos estudar dois casos.
1º Caso: Considere uma função quadrática f(x)=ax2+bx+c com a,b,c∈R e a>0. Como acabamos de ver, podemos escrever f na forma
f(x)=a(x+b2a)2−Δ4a.
Observe que o número (x+b2a)2 sempre é maior ou igual a 0 para qualquer x∈R, pois é um quadrado (isso se deve ao fato que números com sinais iguais, quando multiplicados, o resultado sempre é positivo e, se um deles for zero, o resultado é zero). Assim, podemos escrever
a(x+b2a)2≥0
visto que a>0 (pois dois números positivos multiplicados produzem um resultado positivo).
Somando, em ambos os lados da inequação acima, a expressão −Δ4a obtemos
a(x+b2a)2−Δ4a≥−Δ4a
Note que, no lado esquerdo da inequação acima, temos f(x). Logo, podemos escrever
f(x)≥−Δ4a
Desse modo, mostramos o seguinte: para qualquer x∈R, temos que f(x)≥−Δ4a, ou seja, para qualquer que seja x∈R, f(x) sempre será maior ou igual a −Δ4a.
Agora, observe o seguinte,
f(−b2a)=a(−b2a+b2a)2−Δ4a=a⋅0−Δ4a=−Δ4a.
isto é, f(−b2a)=−Δ4a. Logo
f(−b2a)≤f(x) para todo x∈R.
Portanto, f(x)=ax2+bx+c, com a>0 possui um ponto de mínimo p=−b2a e um valor mínimo f(p)=−Δ4a.
2º Caso: Considere agora uma função quadrática f(x)=ax2+bx+c com a,b,c∈R e a<0. Sabemos que podemos escrever f na forma
f(x)=a(x+b2a)2−Δ4a
qualquer que seja a função quadrática f.
Observe que o número (x+b2a)2 sempre é maior ou igual a 0 para qualquer x∈R, pois é um quadrado. Assim, podemos escrever
a(x+b2a)2≤0
visto que a<0.
Somando, em ambos os lados da inequação acima, a expressão −Δ4a obtemos
a(x+b2a)2−Δ4a≤−Δ4a.
Note que, no lado esquerdo da inequação acima, temos f(x). Logo, podemos escrever
f(x)≤−Δ4a.
Nesse caso, o que conseguimos mostrar foi o seguinte: para qualquer x∈R, temos que f(x)≤−Δ4a, ou seja, para qualquer que seja x∈R, f(x) sempre será menor ou igual a −Δ4a.
Agora, observemos o seguinte,
f(−b2a)=a(−b2a+b2a)2−Δ4a=a⋅0−Δ4a=−Δ4a.
isto é, f(−b2a)=−Δ4a. Desse modo,
f(−b2a)≥f(x) para todo x∈R.
Portanto, f(x)=ax2+bx+c, com a>0 possui um ponto de máximo p=−b2a e um valor máximo f(p)=−Δ4a.
Resumindo o que vimos aqui, temos o seguinte:
Considere f(x)=ax2+bx+c, com a,b,c∈R e a≠0. Se a>0, ou seja, se o gráfico de f é uma parábola com concavidade para cima, então f possui um ponto de mínimo p=−b2a com valor mínimo f(p)=−Δ4a. Se a<0, isto é, se o gráfico de f é uma parábola com concavidade para baixo, então f possui um ponto de máximo p=−b2a com valor máximo f(p)=−Δ4a.
Em qualquer caso, o ponto p é chamado de ponto extremo de f e f(p) é chamado valor extremo de f.
Vértice da parábola
O vértice da parábola, que é o gráfico da função f(x)=ax2+bx+c, é o ponto (p,f(p)) do gráfico de f onde p=−b2a e f(p)=−Δ4a são ponto e valor extremos de f, respectivamente..
Muitas vezes, encontramos a seguinte nomenclatura e notação: o vértice da parábola é V=(Vx,Vy) onde
Vx é chamado x do vértice onde Vx=−b2a e
Vy é chamado y do vértice onde Vy=−Δ4a.
Exemplos
1. Considere a função quadrática f(x)=x2+3x+2. Calcule o valor mínimo da função f.
Solução:Nesse exercício está sendo pedido somente o valor mínimo de f. Para encontrarmos esse valor, basta usarmos o que demonstramos anteriormente, isto é, como nessa função quadrática temos a=1>0, seu valor mínimo será dado por −Δ4a. Vamos fazer as contas, temos:
Δ=b2−4ac=32−4⋅1⋅2=9−8=1,
e, assim, o valor mínimo de f será
−Δ4a=−14⋅1=−14.
2. Considere a função g(x)=−2x2+x−6. Calcule o ponto de máximo e o valor máximo de g.
Solução: Na função quadrática g temos a=−2<0, b=1 e c=−6 Logo, pelo que vimos anteriormente, seu ponto de máximo será −b2a e seu valor máximo será −Δ4a. Fazendo as contas, obtemos:
−b2a=−12⋅(−2)=1−4=14
e
−Δ4a=−12−4⋅(−2)⋅(−6)4⋅(−2)=−−47−8=−478.
Portanto, o ponto de máximo de f é 14 e seu valor máximo é −478.
3. Determine o vértice da parábola que é gráfico da função quadrática f(x)=2x2−3x+5.
Solução: O vértice de uma parábola é o ponto V=(Vx,Vy) onde Vx=−b2a e Vy=−Δ4a. Como a=2, b=−3 e c=5, temos
Vx=−b2a=−−32⋅2=−−34=34.
e
Vy=−Δ4a=−(−3)2−4⋅2⋅54⋅2=−9−408=−−318=318.
Portanto, o vértice da parábola é o ponto V=(34,318).
A seguir está uma calculadora gráfica que faz o gráfico de qualquer função quadrática e calcula o vértice da parábola (e consequentemente o ponto extremo e o valor extremo que são Vx e Vy, respectivamente).
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