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Agora que já sabemos por que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola, podemos estudar alguns elementos da parábola que podem ser obtidos à partir função quadrática que possui como gráfico esta parábola. Nesse post vamos estudar o máximo e o mínimo de uma parábola e também o vértice da parábola, vamos aprender como calcular o máximo e o mínimo de uma função quadrática e também como calcular o vértice de uma parábola. Vamos começar definindo o que é ponto de máximo e valor máximo e ponto de mínimo e valor mínimo de uma parábola. 

Máximo e mínimo de uma parábola

Considere f(x)=ax2+bx+c, com coeficientes reais e a0, uma função quadrática qualquer.  

Um número real p é um ponto de máximo da função f se f(p)f(x) para todo xR. Nesse caso, f(p) é chamado valor máximo de f. Em outras palavras, p é um ponto de máximo da função f se f(p) é o maior valor possível da função f.

Um número real p é um ponto de mínimo da função f se f(p)f(x) para todo xR. Nesse caso, f(p) é chamado valor mínimo de f. Em outras palavras, p é um ponto de mínimo da função f se f(p) é o menor valor possível da função f.

Sabendo agora a definição de pontos de máximo e mínimo e valores máximo e mínimo de uma função quadrática, as perguntas que surgem são:
  • Qualquer função quadrática possui um ponto de máximo ou um ponto de mínimo?
  • Se uma função quadrática possui um ponto de máximo ou mínimo, como calcular os valores máximo e mínimo da função?
Antes de responder a essas perguntas, vamos escrever uma função quadrática qualquer f(x)=ax2+bx+c, com a,b,cR, de uma forma diferente. Vejamos
               f(x)=ax2+bx+c
                         =ax2+2ab2ax+b24ab24a+4ac4a
                         =a(x2+2b2ax+b24a2)b24a+4ac4a
                         =a(x2+2xb2a+(b2a)2)b24ac4a
                         =a(x+b2a)2Δ4a
onde Δ=b24ac. Desse modo, qualquer que seja f(x)=ax2+bx+c, ela pode ser escrita na forma
f(x)=a(x+b2a)2Δ4a.

Agora vamos responder às perguntas feitas anteriormente. Para fazer isso, vamos estudar dois casos.

1º Caso: Considere uma função quadrática f(x)=ax2+bx+c com a,b,cR e a>0. Como acabamos de ver, podemos escrever f na forma
f(x)=a(x+b2a)2Δ4a.

Observe que o número (x+b2a)2 sempre é maior ou igual a 0 para qualquer xR, pois é um quadrado (isso se deve ao fato que números com sinais iguais, quando multiplicados, o resultado sempre é positivo e, se um deles for zero, o resultado é zero). Assim, podemos escrever
a(x+b2a)20
visto que a>0 (pois dois números positivos multiplicados produzem um resultado positivo).
Somando, em ambos os lados da inequação acima, a expressão Δ4a obtemos
a(x+b2a)2Δ4aΔ4a
Note que, no lado esquerdo da inequação acima, temos f(x). Logo, podemos escrever
f(x)Δ4a
Desse modo, mostramos o seguinte: para qualquer xR, temos que f(x)Δ4a, ou seja, para qualquer que seja xR, f(x) sempre será maior ou igual a Δ4a.
Agora, observe o seguinte,
f(b2a)=a(b2a+b2a)2Δ4a=a0Δ4a=Δ4a.
isto é, f(b2a)=Δ4a. Logo 
f(b2a)f(x) para todo xR.
Portanto, f(x)=ax2+bx+c, com a>0 possui um ponto de mínimo p=b2a e um valor mínimo f(p)=Δ4a.

2º Caso: Considere agora uma função quadrática f(x)=ax2+bx+c com a,b,cR e a<0. Sabemos que podemos escrever f na forma
f(x)=a(x+b2a)2Δ4a
qualquer que seja a função quadrática f.
Observe que o número (x+b2a)2 sempre é maior ou igual a 0 para qualquer xR, pois é um quadrado. Assim, podemos escrever
a(x+b2a)20
visto que a<0.
Somando, em ambos os lados da inequação acima, a expressão Δ4a obtemos
a(x+b2a)2Δ4aΔ4a.
Note que, no lado esquerdo da inequação acima, temos f(x). Logo, podemos escrever
f(x)Δ4a.
Nesse caso, o que conseguimos mostrar foi o seguinte: para qualquer xR, temos que f(x)Δ4a, ou seja, para qualquer que seja xR, f(x) sempre será menor ou igual a Δ4a.
Agora, observemos o seguinte,
f(b2a)=a(b2a+b2a)2Δ4a=a0Δ4a=Δ4a.
isto é, f(b2a)=Δ4a. Desse modo, 
f(b2a)f(x) para todo xR.
Portanto, f(x)=ax2+bx+c, com a>0 possui um ponto de máximo p=b2a e um valor máximo f(p)=Δ4a.

Resumindo o que vimos aqui, temos o seguinte:

Considere f(x)=ax2+bx+c, com a,b,cR e a0. Se a>0, ou seja, se  o gráfico de f é uma parábola com concavidade para cima, então f possui um ponto de mínimo p=b2a com valor mínimo f(p)=Δ4a. Se a<0, isto é, se o gráfico de f é uma parábola com concavidade para baixo, então f possui um ponto de máximo p=b2a com valor máximo f(p)=Δ4a.

Em qualquer caso, o ponto p é chamado de ponto extremo de f e f(p) é chamado valor extremo de f

Vértice da parábola


O vértice da parábola, que é o gráfico da função f(x)=ax2+bx+c, é o ponto (p,f(p)) do gráfico de f onde p=b2a e f(p)=Δ4a são ponto e valor extremos de  f, respectivamente.. 



Muitas vezes, encontramos a seguinte nomenclatura e notação: o vértice da parábola é V=(Vx,Vy) onde
Vx é chamado x do vértice onde Vx=b2a e
Vy é chamado y do vértice onde Vy=Δ4a.

Exemplos

1. Considere a função quadrática f(x)=x2+3x+2. Calcule o valor mínimo da função f.
Solução:Nesse exercício está sendo pedido somente o valor mínimo de f. Para encontrarmos esse valor, basta usarmos o que demonstramos anteriormente, isto é, como nessa função quadrática temos a=1>0, seu valor mínimo será dado por Δ4a. Vamos fazer as contas, temos:
Δ=b24ac=32412=98=1,
e, assim, o valor mínimo de f será
Δ4a=141=14.

2. Considere a função g(x)=2x2+x6. Calcule o ponto de máximo e o valor máximo de g.
Solução: Na função quadrática g temos a=2<0, b=1 e c=6 Logo, pelo que vimos anteriormente, seu ponto de máximo será b2a e seu valor máximo será Δ4a. Fazendo as contas, obtemos:
b2a=12(2)=14=14
e
Δ4a=124(2)(6)4(2)=478=478.
Portanto, o ponto de máximo de f é 14 e seu valor máximo é 478.

3. Determine o vértice da parábola que é gráfico da função quadrática f(x)=2x23x+5.
Solução: O vértice de uma parábola é o ponto V=(Vx,Vy) onde Vx=b2a e Vy=Δ4a. Como a=2, b=3 e c=5, temos
Vx=b2a=322=34=34.
e
Vy=Δ4a=(3)242542=9408=318=318.

Portanto, o vértice da parábola é o ponto V=(34,318).

A seguir está uma calculadora gráfica que faz o gráfico de qualquer função quadrática e calcula o vértice da parábola (e consequentemente o ponto extremo e o valor extremo que são Vx e Vy, respectivamente).

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