Números Reais #5: Completude dos números reais

Agora que sabemos quem são os números reais e suas propriedades (inclusive o jogo de sinais), podemos ir mais a fundo no estudo dos números reais, ou seja, vamos estudar um pouco, digamos, da "estrutura" dos números reais. Nesse post vamos falar sobre a completude dos números reais. A palavra "completude" nos lembra a palavra "completo" e, essa propriedade dos números reais tem a ver mesmo com "estar completo". Bom, o que significa que o conjunto dos números reais está completo? Vamos entender isso agora.

Completude dos números reais

A noção de que um número está entre outros dois números é algo bem natural para nós, por exemplo, o número $2$ está entre o $0$ e o $3$, pois $2$ é maior que $0$ e menor que $3$. De um modo geral, dizemos que $x \in \mathbb{R}$ está entre $a \in \mathbb{R}$ e $b \in \mathbb{R}$, com $a <b$, se, e somente se, $x >a$ e $x < b$.

Agora, o que esta relação de "estar entre" tem a ver com essa história da completude dos números reais? Tem tudo a ver. A completude dos números reais significa que vale o seguinte:

Dados quaisquer números $a,b \in \mathbb{R}$ com $a <b$, sempre existe um número $x \in \mathbb{R}$ tal que $x>a$ e $x<b$.

Podemos reescrever a afirmação acima de outra forma:

No conjunto dos números reais sempre existe um número entre quaisquer outros dois números distintos.

Desse modo, o nome "completude" e a noção de "estar completo" fazem sentido, isto é, no conjunto dos números reais não há buracos. Sempre que você escolher dois números reais aleatórios distintos, vai existir um número real entre eles, por mais que esses primeiros dois números que você escolheu estejam próximos. Por exemplo, escolhendo os números $5,125342$ e $5,125343$, vemos que $5,125342 < 5,125343$ e a diferença entre eles é $0,000001$, o que significa que estão bem próximos. Entre esses dois números, está o número $5,1253425$, pois $5,1253425 > 5,125342$ e $5,1253425 < 5,125343$. Pensando de uma forma geral, dados $a,b \in \mathbb{R}$ com $a < b$, o número $x = \displaystyle\frac{a+b}{2}$, que é a média entre $a$ e $b$, sempre estará entre $a$ e $b$.  

Essa propriedade da completude dos números reais nos traz uma outra noção, a noção de que o conjunto dos números reais é "contínuo". Como observei acima, a completude nos diz que $\mathbb{R}$ não possui buracos. Podemos pensar nessa ideia de não ter buracos, também, da seguinte forma: Considere o número $0$. Qual é o número que vem em seguida do $0$, ou ainda, partindo do $0$, qual é o próximo número? Seria o $0,1$? Não, por que $0,01$ é menor que $0,1$. Mas, também não é $0,01$, pois $0,001$ é menor que $0,01$. Poderíamos continuar com esse raciocínio infinitamente. Mas o que isso significa? Significa que, no conjunto dos números reais, para "ir de um número a outro" você precisa passar por todos os números que estão entre eles e, entre esses números, como vimos, não há buracos, logo, esse caminho para ir de um número ao outro é contínuo. Por esse motivo, por essa "continuidade" é que podemos representar o conjunto dos números reais como sendo uma reta ou, até mesmo, uma régua infinita. Uma reta não tem começo e nem fim, não tem nenhum buraco. Podemos associar a cada número real um e, somente um, ponto da reta. Geometricamente, temos:

Nesse momento você pode estar pensando: Isso não funciona para todos os outros conjuntos numéricos? Não, não funciona.

Pensando nos números naturais $\mathbb{N} = \{0,1,2,3,\dots\}$, quais são os números naturais que estão entre $2$ e $3$? Não existe número natural entre $2$ e $3$. Entre outras palavras, entre $2$ e $3$ há um "buraco". Logo, a propriedade de completude não vale para o conjunto dos números naturais, as noções de "estar completo" e de "ser contínuo" não funcionam em $\mathbb{N}$.

Se considerarmos o conjunto dos números inteiros $\mathbb{Z} = \{\dots, -2,-1,0,1,2,\dots\}$, usando o mesmo argumento usado no conjunto dos números naturais, vemos que a completude não vale em $\mathbb{Z}$.

A completude também não vale no conjunto dos números racionais $\mathbb{Q} = \left\{\displaystyle\frac{a}{b}: a,b \in \mathbb{Z} \mbox{ com } b\neq 0 \right\}$. Considerando os números $3$ e $4$ em $\mathbb{Q}$, o número $\pi$, que é irracional e, portanto, não pode ser escrito como uma fração, está entre $3$ e $4$. Assim, entre $3$ e $4$, quando consideramos somente números racionais, há um "buraco" (onde está o $\pi$). 

Por último, no conjunto dos números irracionais $\mathbb{I} = \mathbb{R}-\mathbb{Q}$ (todos os reais menos os racionais), entre os números $\sqrt{2}$ e $\sqrt{3}$ está o número $1,5 = \displaystyle\frac{3}{2}$, que não é irracional. Portanto, a completude também não vale em $\mathbb{I}$.

A completude faz com que $\mathbb{R}$ seja realmente um conjunto especial. A partir disso conseguimos estudar os intervalos de números reais. A noção de intervalo só existe nos números reais, devido à sua completude. Mas não é só isso, tudo o que se estuda em Cálculo I (disciplina estudada em 95% dos cursos que possuem disciplinas de matemática), Cálculo II, Equações Diferenciais, Análise Real, e etc. depende da noção de intervalo. Por isso, vale o esforço de entender a completude dos números reais.

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Números Reais #3: Propriedades de ordem

Você já para parou para pensar sobre a ordem dos números? Bom, essa é uma ideia que aprendemos logo cedo na escola, o que faz com que essa noção de ordem dos números seja bem natural para nós. Se eu te apresentar os números $2$ e $5$ e te perguntar qual é o maior deles, acredito que você me responderá que o maior deles é o $5$ em menos de um segundo. Agora outra pergunta: Você já parou para pensar que nem todos os conjuntos numéricos ou objetos matemáticos possuem uma ordem natural como esta? Sim, nem todos os conjuntos numéricos ou objetos matemáticos podem ser colocados em ordem, ou pelo menos, na ordem natural que conhecemos. Para dar exemplos disso, precisamos ir um pouco além do ponto em que estamos. Considere os dois números complexos $2+5i$ e $1-7i$. Usando a mesma noção que temos de ordem nos números reais, quais desses números complexos é maior que o outro? Não dá para fazer essa comparação. Vamos de outro exemplo, considere os polinômios $p(x) = x^2-1$ e $q(x) = x^5-2x+7$, Qual desses polinômios é maior que o outro? Novamente, não é possível fazer essa comparação usando a noção de ordem que temos nos números reais.

E o que podemos concluir com isso? A ordem é uma característica importante que não pode ser implementada de qualquer forma em qualquer conjunto. Isso justifica a necessidade de estudá-la, pois se um conjunto possui uma ordem, ou seja, é um conjunto ordenado, ele se diferencia dos outros conjuntos e, essa ordem vai influenciar todo objeto matemático no qual esse conjunto está envolvido. Isso ficará claro na postagem sobre a completude dos números reais.

Para que o assunto tratado aqui fique claro, é bom ter o conhecimento do que é um número real e de suas propriedades algébricas.

Propriedades de ordem dos números reais

O conjunto dos números reais é ordenado, ou seja, podemos comparar dois números reais distintos dizendo se um é maior (menor) que o outro.

Vamos ver os símbolos que usamos para comparar dois números reais com relação à ordem. Sejam $a,b \in \mathbb{R}$, temos

$$ \begin{array}{|c|c|} \hline \mbox{Símbolo} & \mbox{Leitura} \\ \hline \hline a>b & a \mbox{ é maior que } b  \\ \hline a<b & a \mbox{ é menor que } b \\ \hline a \geq b & a \mbox{ é maior ou igual a } b  \\ \hline a \leq b & a \mbox{ é menor ou igual a } b \\ \hline  \end{array}$$

Os símbolos $>$, $<$, $\geq$ e $\leq$ são chamados símbolos de desigualdade.

Observação:

(i) $a$ é positivo se, e somente se, $a > 0$;

(ii) $a$ é positivo ou zero se, e somente se, $a \geq 0$;

(iii) $a$ é negativo se, e somente se, $a < 0$;

(iv) $a$ é negativo ou zero se, e somente se, $a \leq 0$.

Para todos $a,b,c \in \mathbb{R}$ temos as seguintes propriedades:

(1) $a \leq a$ (propriedade reflexiva).

(2) Se $a \leq b$ e $b \leq a$, então $a=b$ (propriedade transitiva).

(3) Se $a \leq b$ e $b \leq c$, então $a \leq c$ (propriedade transitiva).

(4) Se $a \leq b$, então $a + c \leq b+c$ para todo $c \in \mathbb{R}$ (compatibilidade da ordem com a adição).

(5) Se $a \leq b$ e $c > 0$, então $ac \leq bc$.

(6) Se $a \leq b$ e $c < 0$, então $ac \geq bc$.

(7) Se $a > 0$, então $\displaystyle\frac{1}{a} > 0$.

(8) Se $a < 0$, então $\displaystyle\frac{1}{a} < 0$.

(9) Se $a$ e $b$ são ambos negativos ou ambos positivos, então $a < b$ implica $\displaystyle\frac{1}{a} > \displaystyle\frac{1}{b}$.

As propriedades (1) e (2) continuam valendo se trocarmos o símbolo $\leq$ pelo símbolo $\geq$ e as propriedades de (3) a (6), continuam valendo se trocarmos o símbolo de $\leq$ pelos símbolos $\geq$,  $<$ ou $>$.

Vamos ver um exemplo para cada propriedade citada acima.

Exemplo

(1) $2 \leq 2$.

(2) Somente dois números iguais satisfazem a condição de ser menor ou igual e maior ou igual ao outro ao mesmo tempo, por exemplo $3 \leq 3$ e $3 \geq 3$.

(3) Temos $5 \leq 6$ e $6 \leq 10$, o que implica, $5 \leq 10$.

(4) Temos que $-1 \leq 3$. Ao somarmos o mesmo número em ambos os lados do sinal de desigualdade, o sinal irá se manter. Somando $4$ em ambos os lados da desigualdade, obtemos

$$-1 \leq 3 \Rightarrow -1+4 \leq 3+4 \Rightarrow 3 \leq 7.$$

(5) Sabemos que $-2 \leq 1$. Multiplicando por $\frac{1}{2}$ (observe que $\frac{1}{2} > 0$) em ambos os lados do símbolo de desigualdade obtemos

$$-2 \leq 1 \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot (-2) \leq \frac{1}{2} \cdot 1 \Rightarrow -1 \leq \frac{1}{2}.$$

(6) Temos que $-3 \leq 4$. Ao multiplicarmos ambos os lados do sinal de desigualdade por um número negativo, por exemplo, o $-2$, o sinal de desigualdade inverte.

$$-3 \leq 4 \Rightarrow -2 \cdot (-3) \leq -2 \cdot 4 \Rightarrow 6 \geq -8.$$

(7) Como $6 >0$, então $\displaystyle\frac{1}{6} >0.$

(8) Como $-2 < 0$, então $\displaystyle\frac{1}{-2} = -\displaystyle\frac{1}{2} <0.$

(9) Para os números $7$ e $11$ temos $7 < 11$, o que implica, $\displaystyle\frac{1}{7} > \displaystyle\frac{1}{11}$. Considerando agora $-5$ e $-6$, temos $-6 < -5$ e, assim, $-\displaystyle\frac{1}{6} > -\displaystyle\frac{1}{5}$. Podemos ver essa propriedade da seguinte forma: Quando invertemos os números envolvidos numa desigualdade, a desigualdade também inverte.

 Vamos ver alguns exemplos teóricos de como essas propriedades são aplicadas. À partir dessas propriedades obtemos outras propriedades importantes.

Mais exemplos (teóricos)

1. Sejam $x,y,z,w \in \mathbb{R}$. Mostre que, se $x \leq y$ e $z \leq w$, então $x+z \leq y+w$.

Demonstração: Por hipótese, temos que $x \leq y$. Assim, pela propriedade (4), segue que $x+z \leq y+z$. Também por hipótese, temos que $z \leq w$. Novamente pela propriedade (4), obtemos $z+y \leq w+y$, ou ainda, $y+z \leq y+w$. Desse modo, temos que $x+z \leq y+z$ e $y+z \leq y+w$ e, da propriedade (3), obtemos $x+z \leq y+w$ como queríamos demonstrar. 

2. Sejam $x,y,z,w \in \mathbb{R}$, todos maiores ou iguais a zero. Mostre que, se $x \leq y$ e $z \leq w$, então $xz \leq yw$. 

Demonstração: Por hipótese, temos que $x \leq y$ e que ambos são positivos. Assim, pela propriedade (5), segue que $xz \leq yz$. Também por hipótese, temos que $z \leq w$. Novamente pela propriedade (5), obtemos $zy \leq wy$, ou ainda, $yz \leq yw$. Desse modo, temos que $xz \leq yz$ e $yz \leq yw$ e, da propriedade (3), obtemos $xz \leq yw$ como queríamos demonstrar. 

3. Sejam $x,y \in \mathbb{R}$, todos maiores ou iguais a zero. Mostre que, se $x \leq y$ então $x^2 \leq y^2$. 

Demonstração: Temos por hipótese que $x$ e $y$ são ambos positivos e que $x \leq y$. Usando o exemplo 2 com $z=x$ e $w=y$, segue de imediato que $x^2 \leq y^2$.

Em alguns desses exemplos foram usadas as regras de jogos de sinais. Em breve explicaremos e justificaremos essas regras.

Conhecendo bem essas propriedades, você será capaz de resolver qualquer inequação ou qualquer outra coisa que envolva sinais de desigualdades.

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Números Reais #2: Propriedades algébricas

No primeiro post sobre números reais vimos a definição de números reais e seus subconjuntos importantes. Agora está na hora de começarmos a falar sobre as propriedades dos números reais. Essas propriedades são divididas em três grupos, os quais são, propriedades algébricas, propriedades de ordem e completude. As propriedades algébricas são aquelas relacionadas com as operações de soma e produto dos números reais, que são de fundamental importância para fazer cálculos, resolver equações e inequações e também para fazer demonstrações. As propriedades de ordem estão relacionadas com a ordem natural que conhecemos dos números (isto é, dados dois números, identificar qual é o menor e o maior entre eles, se não forem iguais). Esse grupo de propriedades é importante para se resolver inequações, definir e trabalhar com intervalos de números reais, analisar sinal de expressões algébricas e etc.. Por último, temos a completude dos números reais, o que tem a ver com o fato de $\mathbb{R}$ poder ser representado por uma reta (como se fosse uma régua infinita). Aqui nesse post, vamos tratar das propriedades algébricas dos números reais.

Propriedades algébricas dos números reais

No conjunto dos números reais estão definidas duas operações, a adição (ou soma), denotada por $+$, e a multiplicação (ou produto), denotada por $\cdot$. Dado um par de números $x,y \in \mathbb{R}$, a adição associa a esse par de números um único número real $x+y$ e a multiplicação associa a esse par de números um único número real $x \cdot y$ (por simplicidade, algumas vezes omitiremos o símbolo $\cdot$ e escreveremos apenas $xy$).

Dados $x,y,z \in \mathbb{R}$, temos as seguintes propriedades:

Adição

(A1) $(x+y)+z = x+(y+z)$ (propriedade associativa da adição).

(A2) $x+y = y+x$ (propriedade comutativa da adição).

(A3) Existe um elemento $0 \in \mathbb{R}$, chamado de elemento neutro da adição, tal que, para todo $x \in \mathbb{R}$ tem-se

$$x+0 = 0+x = x.$$

(A4) Para cada $x \in \mathbb{R}$, existe um elemento $-x \in \mathbb{R}$, chamado elemento oposto de $x$, tal que, 

$$x+(-x) = -x+x = 0.$$

Multiplicação

(M1) $(xy)z = x(yz)$ (propriedade associativa da multiplicação).

(M2) $xy=yx$ (propriedade comutativa da multiplicação).

(M3) Existe um elemento $1 \in \mathbb{R}$, chamado de elemento neutro da multiplicação, tal que, para todo $x \in \mathbb{R}$ tem-se

$$x \cdot 1 = 1 \cdot x = x.$$

(M4) Para cada $x \in \mathbb{R}$ diferente de zero, existe um elemento $\displaystyle\frac{1}{x} \in \mathbb{R}$, chamado elemento inverso de $x$, tal que 

$$\displaystyle\frac{1}{x} \cdot x = x \cdot \displaystyle\frac{1}{x} = 1.$$

Adição e multiplicação

(D) $x(y+z) = xy+xz$ e $(x+y)z = xz+yz$ (propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição).

Observação importante: Devido às definições de igualdade (intuitiva) e de operações (que podemos ver futuramente), dados $x,y,z \in \mathbb{R}$, se $x=y$, então $x+z = y+z$ e $xz=yz$. Isso significa que, dada uma igualdade, pode-se somar o mesmo valor e multiplicar pelo mesmo valor dos dois lados da igualdade sem alterar a igualdade. A recíproca também é verdadeira, se $x+z=y+z$, podemos somar $-z$ em ambos os lados da igualdade e, assim, vamos obter

$$x+z=y+z \Rightarrow (x+z)+(-z) = (y+z)+(-z) \Rightarrow x+(z+(-z)) = y+(z+(-z)) \Rightarrow x+0=y+0 \Rightarrow x=y.$$

Também, se $xz=yz$ com $z \neq 0$, podemos multiplicar essa igualdade por $\displaystyle\frac{1}{z}$ e, assim

$$xz=yz \Rightarrow (xz)\displaystyle\frac{1}{z} = (yz)\displaystyle\frac{1}{z} \Rightarrow x(z\displaystyle\frac{1}{z}) = y(z\displaystyle\frac{1}{z}) \Rightarrow x \cdot 1=y \cdot 1 \Rightarrow x=y.$$

Subtração e divisão

Logo acima eu mencionei que em $\mathbb{R}$ há duas operações, a adição e a multiplicação. Bom, depois disso você deve ter se perguntado: e a subtração e a divisão? Na verdade, a subtração é uma soma e a divisão é uma multiplicação, por esse motivo consideramos $\mathbb{R}$ com somente as operações de adição e multiplicação. Para essa questão ficar mais clara, vamos definir a subtração e a divisão.

Definimos a subtração (ou diferença) dos números reais $x$ e $y$ como sendo a adição de $x$ com o oposto de $y$. Denotando a subtração de $x$ e $y$ por $x-y$ temos, então, que

$$x-y = x+(-y).$$

Definimos a divisão dos números reais $x$ e $y$, com $y \neq 0$, como sendo a multiplicação de $x$ com o inverso de $y$. Denotando a divisão de $x$ e $y$ por  $x \div y$ temos, então, que

$$x \div y = x \cdot \displaystyle\frac{1}{y} = \displaystyle\frac{x}{y}.$$

Por exemplo:

$$9-5 = 9+(-5) = 4 \mbox{ e } 12-15 = 12+(-15) = -3;$$

$$4 \div 5 = 4 \cdot \displaystyle\frac{1}{5} = \displaystyle\frac{4}{5} \mbox{ e } 8 \div (-4) = 8 \cdot \displaystyle\frac{1}{-4} = \displaystyle\frac{8}{-4} = -2.$$

Vamos ver agora exemplos para cada propriedade algébrica dos números reais.

Exemplos

(A1) $(1+3)+5 = 4+5=9$ e $1+(3+5) = 1+8 = 9$.

(A2) $3+7 = 10$ e $7+3 = 10$.

(A3) $-5+0 = -5$ e $0+(-5) = -5$.

(A4) O oposto de $11$ é $-11$ pois $11+(-11) = 0$ e $-11+11 = 0$.

(M1) $(2 \cdot 3) \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30$ e $2 \cdot (3 \cdot 5) = 2 \cdot 15 = 30$.

(M2) $10 \cdot 11 = 110$ e $11 \cdot 10 = 110$.

(M3) $1 \cdot 2 = 2$ e $2 \cdot 1 = 2$.

(M4) O inverso de $6$ é $\displaystyle\frac{1}{6}$, visto que $6 \cdot \displaystyle\frac{1}{6} = 1$ e $\displaystyle\frac{1}{6} \cdot 6 = 1$.

(D) $3(x+7) = 3x+3\cdot 7 = 3x+21$ e $(2+y)5 = 2 \cdot 5 + y5 = 5y+10$.

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